广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理 5.2 中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理第二节中心极限定理一、问题的引入二、 基本定理三、典型例题四、小结概率论与数理统计（第4版）

第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结

5.2中心极限定理一、问题的引入实例：考察射击命中点与靶心距离的偏差这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和，这些因素包括：瞄准误差、测量误差子弹制造过程方面（如外形、重量等）的误差以及射击时武器的振动、气象因素（如风速、风向、能见度、温度等）的作用，所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的，并且它们中每一个对总和产生的影响不大

一、问题的引入 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小 误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、 子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及 射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能 见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起 的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总 和产生的影响不大

5.2中心极限定理问题：某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的，其概率分布情况如何呢？

其概率分布情况如何呢？ 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的 随机变量相加而成的

5.2中心极限定理二、 基本定理定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X,X,，·…,X，…相互独立,服从同一分布，且具有数学期望和方差：E(X,)=μ，D(X)=α2>0 (k=1,2,),则随机变量之和的ZX-EZEx,-nμXkk=1K一k=l标准化变量Y.=ngXkDk=K

            − =    = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1   n X n n k  k − =1 = 二、基本定理 定理一（独立同分布的中心极限定理） , 设随机变量X1 ( ) 0 ( 1,2, ), D Xk =  2  k =  同一分布, , X2  , Xn , 相互独立, 服从 且具有数学期望和方差： ( ) =  , E Xk 则随机变量之和的

5.2中心极限定理的分布函数F（x）对于任意x满足Zx--nμk=1limF,(x) = lim P≤xn-8n-→00Vng2dt = dΦ(x)12元定理一表明：当n→，随机变量序列Y,的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数

的分布函数Fn (x) 对于任意x满足 − x − t e dt 2π 1 2 2                 − = → x n X n P n k k n   1 limFn (x) lim n→ Φ( x). = = = 定理一表明: 于标准正态分布的分布函 数. 当n → , 随机变量序列Yn 的分布函数收敛

5.2中心极限定理定理二（李雅普诺夫定理）李雅普诺夫设随机变量Xj,X2，…,X，….相互独立，它们具有数学期望和方差：E(Xr) = μk, D(Xr)=ok+0(k = 1,2,..),记 B, =o,k=1若存在正数,使得当n→8时11ZE(I X, - μr 2+8} →0,B,+8k=1K

{| | } 0, 1 1 2 2  − → = + + n k k k n E X B    定理二(李雅普诺夫定理) , 设随机变量X1 , X2  ,Xn , 相互独立, 们具有数学期望和方差： ( ) , E Xk = k 若存在正数 , , 1 2 2 = = n k 记 Bn  k ( ) 0 ( 1,2, ), 2 D Xk =  k  k =  使得当n →  时, 它 李雅普诺夫

5.2中心极限定理则随机变量之和的标准化变量ZZx,-EEXi-EuXkk=1k=k=1k=1Z, =Bn(2XD的分布函数F,(x)对于任意x满足Zx-Zuak=1k=1lim F,(x)=lim PBnn>00n0= Φ(x)K

则随机变量之和的标准化变量 Zn n n k k n k k B X  = = − 1 1  的分布函数Fn (x) 对于任意x满足 limF (x) n n→ − x − t e dt 2π 1 2 2 Φ( x).                 −  = = → x B X P n n k k n k k n 1 1 lim  = =             −    = = = n k k n k k n k k D X X E X 1 1 1 = = =

5.2中心极限定理定理二表明：无论各个随机变量X,X..,X,…服从什么nEXk分布，只要满足定理的条件那么它们的和k=l当n很大时，近似地服从正态分布（如实例中射击偏差服从正态分布）下面介绍的定理三是定理一的特殊情况K

定理二表明: (如实例中射击偏差服从正态分布) 下面介绍的定理三是定理一的特殊情况. 无论各个随机变量X1 , X2 ,  , Xn , 服从什么 分布, 只要满足定理的条件, = n k Xk 1 那么它们的和 当n 很大时, 近似地服从正态分布

5.2中心极限定理定理三（棣莫弗一拉普拉斯定理）莫弗拉普拉斯设随机变量n,(n=1,2,)服从参数为n,p(0o0(/np(1 - p)证明nn=Xk,其中Xi,X2,…,X,相互独立且k=1服从同一(0-1)分布。PX, = i) =p'(1 - p)l-i, i= 0, 1

(n 1,2, ) n, 设随机变量n =  服从参数为 证明 , 1 = = n k n Xk 其中 X1 , X2 ,  , Xn 相互独立且 P{X i} k = 定理三(棣莫弗－拉普拉斯定理)        − − → x np p np P n n (1 ) lim  (0  p  1)的二项分布, p 恒有 − x − t e dt 2π 1 2 2 Φ( x). 则对于任意x , (1 ) , i 1 i p p − − i = 0, 1. = = = 服从同一(0 − 1) 分布 . 棣莫弗 拉普拉斯

5.2中心极限定理因为E(X,) = p, D(X,) = p(1 - p) (k =1,2,..,n),根据定理一得Zx,-npnn-npk=1lim Plim P≤x≤x=/np(1 - p)n-→>n-→0np(1- p)一e 2 dt = @(x)2元定理三表明：正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时可以利用该定理来计算二项分布的概率

( ) 因为E Xk ( ) D Xk 根据定理一得        − − → x np p np P n n (1 ) lim                 −  − = → x np p X np P n k k n (1 ) lim 1 − x − t e dt 2π 1 2 2 Φ( x). = p(1 − p) (k = 1,2,  ,n), p, = = = = 定理三表明: 可以利用该定理来计算二项分布的概率. 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时