第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征习题课一、重点与难点二、主要内容三、典型例题概率论与数理统计（第4版）
一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 第四章 随机变量的数字特征 习 题 课
第4幸习题课一、重点与难点1.重点数学期望的性质和计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算2.难点数字特征的计算
一、重点与难点 1.重点 数学期望的性质和计算 2.难点 数字特征的计算 方差的性质和计算 相关系数的性质和计算
第4章习题课二、主要内容定义方计算差二维随机变量的数学期望数学期望性质性质离散型连续型协方差与相关系数定义协方差的性质随机变量函数的数学相关系数期望定理
二、主要内容 数学期望 方差 离散型 连续型 性质 协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望 定 义 计 算 性 质 随机变量函数的数学 期望 定 义 协方差的 性质 相关系数 定理
第4章习题课离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量X的分布律为P(X =x,}= pk, k =1,2,...880ZT若级数xsP,绝对收敛，则称级数XkPkk=1k=1为随机变量X的数学期望，记为E(X)8Z即E(X)=XkPk.k=1
离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 P{X = x } = p , k = 1,2, . k k , 1 若级数 绝对收敛 k= xk pk 为随机变量X的数学期望, 记为 E(X), ( ) . 1 = = k 即 E X xk pk k=1 则称级数 xk pk
第4幸习题课连续型随机变量的数学期望X是连续型随机变量它的概率密度为f(x)，若积分(~xf(x)dx绝对收敛，则称此积分值为连续型随机变量X的数学期望记为E(X)即 E(X)= [xf(x) dx
连续型随机变量的数学期望 ( ), , ( ) d , E X X xf x x 记 为 则称此积分值为连续型随机变量 的数学期望 若积分 绝对收敛 + − E(X) xf (x) dx. + − 即 = X 是连续型随机变量,它的概率密度为f (x)
第4幸习题课随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望为若 Y = g(X), 且 P(X = x,} = Pk, (k =1,2,..)80则有E(g(X)=g(x)Pk..k=1若X是连续型的,它的分布密度为f(x),则有E(g(X) = /~g(x)f(x)dx.K
随机变量函数的数学期望 离散型随机变量函数的数学期望为 Y = g(X), P{X = x } = p , (k = 1,2, ) 若 且 k k 则有 ( ( )) ( ) . 1 = = k k k E g X g x p E(g(X)) g(x) f (x)dx. − = 若 X 是连续型的,它的分布密度为f (x), 则有
第4幸习题课数学期望的性质1. 设C是常数，则有E(C)= C.2.设x是一个随机变量，C是常数，则有E(CX) = CE(X)3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X +Y) = E(X)+ E(Y)4．设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY) = E(X)E(Y)
数学期望的性质 1. 设C是常数, 则有 E(C) = C. 2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有 E(CX) = CE(X). 3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有 E(XY ) = E(X)E(Y )
第4幸习题课二维随机变量的数学期望设(X,Y)为二维随机变量,若 E(X),E(Y)都存在，则其期望值定义为(ZZx;Pi，(X,Y)的概率分布为pj;一iE(X)=["~x(x,y)dxdy,(X,Y)的密度为f(x,y).同理可得EJyiPij，(X,Y)的概率分布为pj;1E(Y)=[~ ~ yf(x, y)dxdy, (X,Y)的密度为f(x,y)
二维随机变量的数学期望 = − − ( , )d d , , ( ) xf x y x y x p E X i j i ij 同理可得 存 在 则其期望值定义为 设 为二维随机变量 若 都 , (X,Y ) , E(X), E(Y ) ( , ) ; X Y 的概率分布为pij (X,Y )的密度为f (x, y). = − − ( , )d d , , ( ) yf x y x y y p E Y i j i ij ( , ) ; X Y 的概率分布为pij (X,Y )的密度为f (x, y)
第4幸习题课1.若X,Y为离散型随机变量,g(x,y)是二元函数，则 E[g(X,Y)]= EEg(xi,y,)Pj,当(X,Y)的联合概率分布为pi·2.若X,Y为连续型随机变量,g(x,y)是二元函数则 E[g(X,Y)] = [" g(x,y)f(x, y)dxdy,当(X,Y)的联合分布密度为f(x,y).大
1.若 X,Y 为离散型随机变量, g(x, y)是二元函数, [ ( , )] = ( , ) , i ij j E g X Y g xi y j p ( , ) . 当 X Y 的联合概率分布为pij E[g(X,Y )] g(x, y)f (x, y)dxdy, − − = 则则 2.若 X,Y 为连续型随机变量, g(x, y)是二元函数, 当(X,Y )的联合分布密度为f (x, y)
第4幸习题课方差的定义设X是一个随机变量，若EIX-E(X)存在则称EIX-E(X)是X的方差，记作D(X)或 Var(X),即D(X) = Var(X) = E([X - E(X)}}称/D(X)为标准差或均方差，记为α(X)
方差的定义 ( ) , ( ). ( ) Var( ) {[ ( )] }, ( ) Var( ), {[ ( )] } , , {[ ( )] } , 2 2 2 D X X D X X E X E X D X X E X E X X X E X E X 称 为标准差或均方差 记 为 即 或 则 称 是 的方差 记 作 设 是一个随机变量 若 存 在 = = − − −