广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.2 基于截尾样本的最大似然估计

第七章参数估计第二节基于截尾样本的最大似然估计一、基本概念二、基于截尾样本的最大似然估计三、小结概率论与数理统计（第4版）

第二节 基于截尾样本的最大 似然估计 一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结

72基于截尾样本的最大似然信针一、基本概念(1)寿命分布的定义产品寿命T是一个随机变量，它的分布称为寿命分布(2)完全样本的定义将随机抽取的n个产品在时间t=0时，同时投入试验直到每个产品都失效.记录每一个产品的失效时间，这样得到的样本(即由所有产品的失效时间0≤t,≤t,≤…≤t，所组成的样本)叫完全样本。（一种典型的寿命试验

(1) 寿命分布的定义 (2) 完全样本的定义 一、基本概念 产品寿命T是一个随机变量, 命分布. 它的分布称为寿 将随机抽取的n个产品在时间 t = 0时, 同时 投入试验直到每个产品都失效. 记录每一个产品 的失效时间, 这样得到的样本(即由所有产品的失 效时间0  t 1  t 2   tn 所组成的样本)叫完全 样本. (一种典型的寿命试验)

72基于截尾样本的最大似然信针如果不能得到完全样本，就考虑截尾寿命试验两种常见的截尾寿命试验(3)P①定时截尾寿命试验假设将随机抽取的n个产品在时间t=0时同时投入试验试验进行到事先规定的截尾时间t.停正，如试验截正时共有m个产品失效，它们的失效时间分别为0≤t, ≤t,≤≤tm≤to，此时m是一个随机变量,所得的样本ti,t2,,tm称为定时截尾样本

如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验. (3) 两种常见的截尾寿命试验 ① 定时截尾寿命试验 假设将随机抽取的n个产品在时间t = 0时同 时投入试验,试验进行到事先规定的截尾时间t 0停 止, 如试验截止时共有m 个产品失效,它们的失效 0 , 1 2 0 t t t t 时间分别为     m  此时m 是一 个随机变量, 所得的样本t 1 , t 2 ,  , tm 称为定时截 尾样本

72基于截尾样本的最大似然信针定数截尾寿命试验假设将随机抽取的n个产品在时间t=0时同时投入试验，试验进行到有m个(m是事先规定的m<n)产品失效时停止,m个产品的失效时间分别为0≤t,≤t≤..≤tm这里tm是第m个产品的失效时间，所得的样本t,t2，…,tm称为定数截尾样本

② 定数截尾寿命试验 假设将随机抽取的n个产品在时间t = 0时同 时投入试验, 试验进行到有m 个(m 是事先规定的, m  n)产品失效时停止,m 个产品的失效时间分 0 , 1 2 m 别为  t  t   t 这里tm 是第m个产品的 失效时间, 所得的样本t 1 , t 2 ,  , tm 称为定数截尾 样本

72基于截尾样本的最大似然信针二、基于截尾样本的最大似然估计设产品的寿命分布是指数分布，其概率密度为t>000>0未知f(t)=0.t≤0,(1)定数截尾样本的最大似然估计设有n个产品投入定数截尾试验，截尾数为m，得定数截尾样本0≤t≤t,≤.≤tm,现在要利用

二、基于截尾样本的最大似然估计 设产品的寿命分布是指数分布, 为   0 未知. 其概率密度 f (t) = e , 1   t − t  0,  0, t  0,   (1) 定数截尾样本的最大似然估计 设有n个产品投入定数截尾试验, 截尾数为m, 得定数截尾样本 0 , 1 2 m  t  t    t 现在要利用

72基于截尾样本的最大似然信针这一样本估计未知参数即产品的平均寿命）而有n-m个产品在t时尚未失效即有n-m个产品的寿命超过tm利用最大似然估计法来估计9为了确定似然函数，观察上述结果出现的概率产品在(t,t,+dtl失效的概率近似地为(t)dt, =ge'dt, i = ,2,.. m.L1K

这一样本估计未知参数 (即产品的平均寿命) . 而有 个产品在 时尚未失效, m n − m t . m 即 有n − m 个产品的寿命超过t 利用最大似然估计法来估计 , 为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率. 产品在( , d ]失效的概率近似地为 i i i t t + t e d , 1,2, , . 1 f (t )dt t i i m t i i i = =  −  

72基于截尾样本的最大似然信计其余n-m个产品寿命超过t.的概率为n-m(r.al)= (e-tm/)n-m故上述观察结果出现的概率近似地为(a /0n-me-tm/édtmm/0n1gl++++.+(n-m)tm)二dt,dt,...dtm'Omm其中dt.,dt,…,dtm为常数R

其 余 个产品寿命超过 的概率为 m n − m t n m t t m t −  −        e d 1   (e ) , −tm n−m =  故上述观察结果出现的概率近似地为 t n m m t t tm m t t t m n − − − − −                         e d (e ) 1 e d 1 e d 1 1 2 1  2        e d d d , 1 1 2 [ ( ) ] 1 1 2 m t t t n m t m t t t m n m m  − + ++ + −         = d , d , , d . 其中 t 1 t 2  tm 为常数

72基于截尾样本的最大似然信针取似然函数为[ti+t2+..+tm+(n-m)tm]L(①) =Dh对数似然函数为In L(0)= -mln 0 .+t, +...+tm +(n-m)tm)匠di +t, +...+tm +(n-m)tmlCHde-= 0福

取似然函数为 L( ) 对数似然函数为 ln L( ) [ ( ) ] 1 ln 1 2 m m = −m − t + t ++ t + n − m t   e . 1 [ ( ) ] 1 t1 t2 tm n m tm m − + + + + − =    ln ( ) d d   L [ ( ) ] 1 2 1 2 m m t t t n m t m − + + + + + −   令 = = 0

72基于截尾样本的最大似然估针于是得到e的最大似然估计值为= s(tm)m其中 s(tm)=t +t,+...+tm+(n-m)tm称为总试验时间，它表示直到时刻.为止n个产品的试验时间的总和

 ˆ = ( ) 1 2 m m = t + t ++ t + n − m t 验时间,它表示直到时刻tm 为 止n个产品的试验 时间的总和. . ( ) m s tm 其中 s(tm ) 称为总试 于是得到 的最大似然估计值为

72基于截尾样本的景大似然估针(2)定时截尾样本的最大似然估计设定时截尾样本0≤t,≤tz≤≤tm≤to,(其中to是截尾时间与上面讨论类似，可得似然函数为[ti+t2+...+tm+(n-m)to]L(0) = m-é = s(to)?的最大似然估计值为m其中 s(to)=ti +t, +.….+tm+(n-m)to称为总试验时间，它表示直到时刻t。为止n个产品的试验时间的总和

(2) 定时截尾样本的最大似然估计 设定时截尾样本 0 , 1 2 0 t t t t      m  ( ) 其中t 0 是截尾时间 与上面讨论类似, 可得似然函数为 e , 1 [ ( ) ] 1 1 2 0 t t t n m t m − + + + m + − =     的最大似然估计值为 , ( ) 0 m s t = L( )  ˆ 验时间,它表示直到时刻 t 0 为 止n个产品的试验 时间的总和. ( ) 1 2 0 t t t n m t 其中 s(t 0 ) = + ++ m + − 称为总试