广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第八章 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验

第八章假设检验第二节正态总体均值的假设检验一、单个总体均值从的检验二、两个总体均值差的检验(t检验三、基于成对数据的检验(t检验）四、小结概率论与数理统计（第4版）

第二节 正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值 的检验 二、两个总体均值差的检验(t 检验) 三、基于成对数据的检验(t 检验)  四、小结

8.2正态总体询值的假设检验一、单个总体N(μ,α2)均值μ的检验1.2为已知，关于u的检验(Z检验)在上节中讨论过正态总体N（u,α）当为已知时，关于μ=μ的检验问题：(1)假设检验H:u=uo，H:uuo;假设检验 H:μ≤ μo,H, :μ>μ;(2)亻(3) 假设检验 H:μ≥μo,H,:μ<μo .K

一、单个总体 N(, 2 ) 均值 的检验 1. , ( )  2 为已知 关于的检验 Z 检验 ( , ) , 2 在上节中讨论过正态总体 N   : 当 2为已知时, 关 于 = 0的检验问题 (1) 假设检验 : , H0  = 0 : ; H1   0 (2) 假设检验 : , H0   0 : ; H1   0 (3) 假设检验 : , H0   0 : . H1   0

8.2正态总体询值的假设检验在这些检验问题中，我们都是利用统计量X-μo来确定拒绝域的，这种检验法称为Z-g//nZ检验法一个有用的结论当显著性水平均为α时检验问题 H,:μ≤μ，H:μ>μ,和检验问题H。:μ=μo，H:μ>μo有相同的拒绝域

一个有用的结论 检验问题 H0 :   0 , H1 :   0和检验问题 0 0 1 0 H :  =  , H :    有相同的拒绝域. 当显著性水平均为 时, , / 0 来确定拒绝域的 n X Z  −  = 这种检验法称为 Z 检验法. 在这些检验问题中，我们都是利用统计量

8.2正态总体询值的假设检验证明在检验间题 H,:μ≤μo，H,:μ>μ中,因为H,中的μ都比H,中的u小从直观上看，合理的检验法则是：若观察值x与的差x-过分大,即x-≥，则我们拒绝H，接受H拒绝域的形式x-μ,≥k,(k待定)由标准正态分布的分布函数@（的单调性可知P(拒绝 H。/ H为真)= Pu≤μ(X-μo ≥k)

证明 , 因为H0 中的 都比 H1中的 小 : , : , 在检验问题 H0   0 H1   0中 从直观上看, , 若观察值 x 与0 的差 x − 0 过分大 . 则我们拒绝H0 接受H1 , ( ). 拒绝域的形式 x − 0  k k 待定 { | } P 拒绝 H0 H0 为真 ( ) = P0 x − 0  k 由标准正态分布的分布函数 ( 的单调性可知 •) , 合理的检验法则是: , 即 x − 0  k

8.2正态总体询值的假设检验x-μoo+k-μPUspog/na//n(μo +k)- μμ-(μo + k)=1-Φ=Φg//ng//nusuousoμo -(μuo +k)-k≤@=Φ(a//ng//n因此要控制P拒绝HH,为真}≤α,-k≤α,即 k=(α / /n)zα,只需令Φa//nK

      + −  − =  n k n x P / / 0 0 0        0 / ( ) 1 0              + − = − n k 0 / ( ) 0              − + = n k       − +  n k / ( ) 0 0     , /       − = n k   { | } , 因此要控制P 拒 绝 H0 H0 为 真   , /          −  n k 只需令 ( / ) ,   即 k = n z

8.2正态总体询值的假设检验检验问题 H:μ≤ μo，H,:μ>μ 的拒绝域为X-o即x-μ, ≥(α / /n)zα,≥zαg/ vn比较正态总体V(μ,α)在方差已知时，对均值u的两种检验问题H, : μ= o, H, : μ> μ 和H : μ≤ μo, H,: μ> μo ,尽管原假设H.的形式不同,实际意义也不同，但对于相同的显著性水平α，它们的拒绝域相同第二类形式的检验问题可归结为第一类形式讨论

检验问题 H0 :   0 , H1 :   0 的拒绝域为 ( / ) , 0   x −  n z . / 0    z n x  − 即 ( , ) , 比较正态总体N   2 在方差 2已知时 : , : : , : , H0  = 0 H1   0 和 H0   0 H1   0 , 尽管原假设H0的形式不同 第二类形式的检验问题可归结为第一类形式讨论. 的两种检验问题 对均值 于相同的显著性水平, 实际意义也不同, 但对 它们的拒绝域相同

8.2正态总体询值的假设检验2. α2为未知, 关于μu的检验(t检验)设总体X～N(u,α),其中u,α未知，我们来求检验问题H: u= uo, H, : μ μo;的拒绝域（显著性水平为α）设 Xi,X2,,X,为来自总体X的样本,由于X-Mo来确定拒绝域.。2未知，现在不能利用a//n注意到s?是？的无偏估计，我们用S来代替

2. , ( ) 2为未知 关于 的检验 t 检验 , , , , 设 X1 X2  Xn 为来自总体X 的样本 ~ ( , ), 2 设总体X N   , , 其中 2未知 (显著性水平为). 我们 来求检验问题: , H0  = 0 : ; H1   0 的拒绝域 由于. / 现在不能利用 0 来确定拒绝域 n X−  , 注意到S2 是 2 的无偏估计 我们用S 来代替 , , 2 未知

8.2正态总体询值的假设检验采用X- μot=S/nx-o过分大来作为检验统计量.当观察值s//n时就拒绝H，拒绝域的形式为x-μo≥ k.t=s//n根据第六章S2定理三定理三X-μo ~ t(n-1), 故由当H为真时，S/VnK

采用 / 0 S n X t −  = 来作为检验统计量. / 当观察值 0 过分大 s n x t −  = , 时就拒绝H0 拒绝域的形式为 k . s n x t / − 0 =  , 当H0为真时 根据第六章§2定理三 ~ ( 1), / 0 − − t n S n X  故由 定理三

8.2正态总体询值的假设检验X-Ho≥k/=αP当H为真，拒绝H=P山S//n得 k = tα/2(n -1), 即得x-μo拒绝域为t=≥ tα/2(n-1).s//n，关于对于正态总体N(u,α2)，当。未知时,u的单边检验的拒绝域在表8.1中给出上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的检验问题R

{ , } P 当H0 为真 拒绝 H0        − k S n X P / 0 0   ( 1), 得 k = t / 2 n − / 0 s n x t −  拒绝域为 = 即得 ( 1) .  t / 2 n − ( , ), 2 对于正态总体N   , 当 2未知时  的单边检验的拒绝域在表 8.1中给出. 关于 = =  , 上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法. 我们常用t 检验法来检验关于正态总体均值的 在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以 检验问题

8.2正态总体询值的假设检验例1某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布，μ,α2均为未知．现测得16只元件的寿命如下：159280101212379179264224222170362168250149260485问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？解依题意需检验假设Ho : μ≤ μo = 225, H, : μ>225,取 α = 0.05, n =16, x= 241.5, s = 98.7259

均为未知. 现测得16只元件的寿命 222 362 168 250 149 260 485 170 159 280 101 212 224 379 179 264 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 2 , 例1 解 : 225, : 225, H0   0 = H1   依题意需检验假设 取 = 0.05, n = 16, x = 241.5, s = 98.7259, 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态 如下: 分布