浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第五章留数及其应用结运回D束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第五章 留数及其应用
第2页第五章留数及其应用s 3 留数在计算定积分中的应用本节主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算2元1、形如R(cosθ,sinの)d的积分：02、形如R(x)dx的积分;83、形如R(x)eaixdx的积分(a > 0)8结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第2页 §3 留数在计算定积分中的应用 本节主要内容： 考察三种类型的实函数的定积分的计算. 2 0 1 (cos ,sin ) ; R d 、形如 的积分 2 R x dx ( ) ; + − 、形如 的积分 3 ( ) ( 0). aix R x e dx a + − 、形如 的积分
第3页第五章留数及其应用?2T1、形如I =R(cos θ,sin )d0的积分这里R(sinQ,cosの)为sinO,cosθ的有理函数，且在[0,2元]上连续这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分。dz令 z=ei,则 dz =deio =izdo,de :ize-ioz2-1eioeio-iz2 +1e+sin=cosO2i2iz22z则f(z)为z的有理函数，设f(z)=R2z2iz7且1f(z)dz结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第3页 2 0 1 (cos ,sin ) I R d = 、形如 的积分 这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分. 令 z = e i ,则 [0,2 ] . (sin ,cos ) sin , cos 在 上连续 这 里 为 的有理函数，且 R , dz de izd i = = , i z dz d = = − = − i e e i i 2 sin , 2 1 2 iz z − = + = − 2 cos i i e e , 2 1 2 z z + 设 则f z 为z的有理函数， z i z z i z z f z R , ( ) 1 ) 2 1 , 2 1 ( ) ( 2 2 − + = = = | | 1 ( ) . z 且 I f z dz
第4页第五章留数及其应用Rde2T例1 I=(a > 1)a+cos在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解下面用复变函数的方法求解该题解：由于a>1,故a+cos±0.令z=ei,则i0-ioe+ecosO:22716.1dzz2+1 iz[z=1 a +2z结回D束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第4页 在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解. 下面用复变函数的方法求解该题. 解： 2 0 ( 1). cos d I a a = + 例 1 令 z = e i ,则 由于a a + 1, cos 0. 故 ), 1 ( 2 1 2 cos z z e e i i = + + = − 2 1 1 1 1 2 z I dz z i z a z = = + +
第5页第五章留数及其应用?1$ f(z)dz.-2ibdz = l2l-1 z + 2az +1[z/=1法则3单极点)，f(z)在lzl=1内有一个极点zo=于是Re s[f(z), z0] = 2z+2a1-ava-Z=12Va?.2元-2i因此I=2元i-T结回00束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第5页 2 0 f z z z a a ( ) | | 1 1 ( ), 在 = = − + − 内有一个极点 单极点 2 1 | | 1 1 2 ( ) . 2 1 z z i dz f z dz z az = = = − = + + 于是 2 1 0 2 2 1 Re [ ( ), ] z a z a a s f z z + =− + − = = 因此 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) i a a I i − − − = = 2 1 2 1 a − = 法则3
第6页第五章留数及其应用cos 20例2 1=[。1d0(0<p<1)1-2pcos+p解：由于0<p<1,故1-2pcos+p2±0.令z=ei,则-i0eio+ecosO =221e2i-2i0+ecos20 =21+72z2 +1z=2D2z结回D束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第6页 解： 2 2 0 cos 2 (0 1). 1 2 cos I d p p p = − + 例2 令 z = e i ,则 0 1, 1 2 cos 0. 2 由于 p 故 − p + p ), 1 ( 2 1 2 cos 2 2 2 2 2 z z e e i i = + + = − ), 1 ( 2 1 2 cos z z e e i i = + + = − dz i z p z z p z z I z = − + + − + = 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
第7页第五章留数及其应用1+ zf f(z)dz.dz =4, 21 2(1- p2)(z- p)[z/=1f(z)在lzl=1内有两个极点z =0(2级极点)z=p(单极点)法则1于是1+ p4Re s[f(z), pl lim(z- p) f(z)2i p(1-p")1+z4Re s[f(z), O] =lim[z f(z)]: liml2i(1- pz)(z - p)01 + p2法则22i p?2元p21+ p41+因此 =2元i[1- p2i p(1-p2)2ip结束00运回
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第7页 4 2 0 0 1 Re [ ( ),0] lim[ ( )]' lim[ ]' 2 (1 )( ) z z z s f z z f z → → i pz z p + = = − − ( ) | | 1 0(2 ), ( ) f z z z z p = = = 在 内有两个极点 级极点 单极点 ， = = = − − + = 1 | | 1 2 4 ( ) . 2 (1 )( ) 1 z z dz f z dz i z pz z p z 于是 Re [ ( ), ] lim( ) ( ) z p s f z p z p f z → = − 因此 4 2 2 2 2 1 1 2 [ ] 2 (1 ) 2 p p I i i p p i p + + = − − 4 2 2 1 , 2 (1 ) p i p p + = − 2 2 1 , 2 p i p + = − 2 2 2 . 1 p p = − 法则1 法则2
第8页留数及其应用第五章P元cos mxdx=？m为正整数思考：I5-4cosx0提示：令z=e,则ei +e-ixmixmixe+e(z+-)cosx :cosmx22227z2m +12元cosmx= Φ f(z)dz.d7dx8 Jiz/=15-4cosx2J0z/=1zm(z-2)(z -1f(z)在|z=1内有两个极点z=0(m级极点),z==(单极点),.2iRe s[f(z),l= lim(z-2127Re s[f(z), O] :2m元I =2元i(-2-m +2+223.2m12结00回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第8页 ? . 5 4cos cos 0 思考： dx m为正整数 x mx I = − = 2 [ ( 2 2 ) (2 2 )] . 12 12 3 2 m m m m m i i I i − − = − + − + = 1 1 cos ( ), 2 2 ix ix e e x z z − + = = + 1 1 cos ( ), 2 2 mix mix m m e e mx z z − + = = + 2 0 1 cos 2 5 4cos m x I dx x = − 2 | | 1 1 8 1 ( 2)( ) 2 m z m i z dz z z z = + = − − 1 1 0 2 f z z z m z ( ) | | ( ), ( ) 在 = = = 内有两个极点 级极点 单极点 ， | | 1 ( ) . z f z dz = = , ix 提示： 令 z e = 则 1 2 1 1 2 2 / Re [ ( ), ] lim ( ) ( ) z s f z z f z → = − (2 2 ) 12 i m m− = − + Re [ ( ), ] s f z 0 = ( 2 2 ) 12 i −m m − +
第9页第五章留数及其应用2、形如I =R(x)dx的积分这里R(x)为x的有理函数，且分母的次数至少比分子的次数高次并且，当R(z)在实轴上没有奇点时积分是存在的现在来说明其求法不失一般性，设z"+a,zn-1+aR(z) = -m-n≥2zm +b,zm-1 +...+b,分子、分母互质，且"+b,zm-1+...+b.=0没有实数解结回DO束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第9页 2 I R x dx ( ) + − = 、形如 的积分 不失一般性，设 2 . ( ) 至少比分子的次数高 次 这 里R x 为x的有理函数，且分母的次 数 . ( ) , . 现在来说明其求法 并且，当R z 在实轴上没有奇点时积分是存在的 ( ) , 2. 1 1 1 1 − + + + + + + = − − m n z b z b z a z a R z m m m n n n . 0 1 1 没有实数解 分子、分母互质，且 + + + = − m m m z b z b
第10页第五章留数及其应用我们取积分路径如图所示，其中C,是以原点为圆心，R为半径的上半圆周CR当R充分大时，Z.2可使R(z)上半平面内T的所有极点z都包含xR-R0在该半圆内根据留数定理，得到CRR(x)dx +R(z)dz = 2元 iRes[R(z),z]. (1)RRk这个等式不因C，的半径的增大而改变结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第10页 ( ) ( ) Re [ ( ), ]. ( ) 2 1 R R k R C k R x dx R z dz i s R z z − + = 根据留数定理，得到 x y . 3 z . . . . . z2 1 z CR . CR R 我们取积分路径如图所示，其中 是以原点 为圆心， 为半径的上半圆周 . ( ) 在该半圆内 的所有极点 都包含 可 使 上半平面内 当 充分大时， k z R z R . 这个等式不因C R R 的半径 的增大而改变 -R O R