陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.7 解析函数与调和函数的关系

陕品师乾大学味数学与信息科学学院SHAANXLNORMAIUNIVERS第七节解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考

第七节 解析函数与调和函数 的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考

陕品师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXIORMA调和函数的定义定义如果二元实变函数β(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程ap. a'pax?a1那末称β(x，y）为区域D内的调和函数拉普拉斯调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用

一、调和函数的定义 定义 ( , ) . 0, , ( , ) 2 2 2 2 那末称 为区域 内的调和函数 有二阶连续偏导数 并且满足拉普拉斯方程 如果二元实变函数 在区域 内具 x y D x y x y D           调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用. 拉普拉斯

陕西师大學陈数学与信息科学学院SHAANXOR解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数证 设w=f(z)=u+iv为D内的一个解析函数,avOuOvQu那末axaxOyOya'uaa'ua2从而ax?ay2ayaxaxay

二、解析函数与调和函数的关系 1. 两者的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 证 设 w  f (z)  u  iv 为 D内的一个解析函数 , , . x v y u y v x u            那末 , . 2 2 2 2 2 2 x y v y u y x v x u              从而

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMAUNIVE根据解析函数高阶导数定理u与v具有任意阶的连续偏导数a?avayaxaxaya'ua'uava2y从而同理0,:0.X22axayaxay[证毕]因此u与都是调和函数

根据解析函数高阶导数定理, u与v 具有任意阶的连续偏导 数, , 2 2 x y v y x v        0, 2 2 2 2       y u x u 从而 0, 2 2 2 2       y v x v 同理 因此 u与v 都是调和函数. [证毕]

陕品师大學乐数学与信息科学学院SHAANN2.共轭调和函数的定义设u(x,y)为区域 D内给定的调和函数，我们把使u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.OvOuOvQu的换句话说,在D内满足方程axayaxay两个调和函数中，称为u的共轭调和函数区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数

, . , , 两个调和函数中 称为 的共轭调和函数 换句话说 在 内满足方程 的 v u x v y u y v x u D            2. 共轭调和函数的定义 ( , ) ( , ) . ( , ) , 称为 的共轭调和函数 们把使 在 内构成解析函数的调和 函数 设 为区域 内给定的调和函数 我 v x y u x y u iv D u x y D  区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院HAANXINORMAI3.偏积分法如果已知一个调和函数u，那末就可以利用柯西一黎曼方程求得它的共轭调和函数从而构成一个解析函数u+i.这种方法称为偏积分法例1 证明u(x,y)= y3-3x2y为调和函数,并求其共轭调和函数 v(x,)和由它们构成的解析函数.a'u解 因为-6xyax?a'u2-3x2,3y6yayay

3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法. 解 例1 . ( , ) ( , ) 3 , 3 2 数 其共轭调和函数 和由它们构成的解析函 证明 为调和函数 并求 v x y u x y  y  x y 6xy, x u     因为 6 , 2 2 y x u     3 3 , 2 2 y x y u     6 , 2 2 y y u   

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVEIa"uau于是0,故u(x,y)为调和函数,Qy?ax?QuOv因为-6xy,ayaxv = -6[ xydy= -3xy2 + g(x),av= -3y2 + g(x),axavdu又因为-3y2+3x2axay

0, 2 2 2 2       y u x u 于是 故 u(x, y)为调和函数. 6xy, x u y v        因为  v  6 xydy 3 ( ), 2   xy  g x 3 ( ), 2 y g x x v       y u x v       又因为 3 3 , 2 2   y  x

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院NOA-3y2 + g'(x)= -3y2 +3x2,((c为任意常数）故 g(x) = [3x’dx= x3 +c, v(x,y)= x3 -3xy2 +c,得一个解析函数w=3-3x2y+i(x3-3xy2+c)这个函数可以化为 w= f(z)=i(z +c)课堂练习证明uxJ)=x3-6x-3xy2+2为调和函数，并求其共轭调和函数答案v(x,y)=3xy-6xy2- y3 +2x +c.（c为任意常数）

 g( x)  3x dx 故 2 , 3  x  c ( , ) 3 , 3 2 v x y  x  xy  c 3 ( ) 2  y  g x 3 3 , 2 2   y  x 得一个解析函数 3 ( 3 ). 3 2 3 2 w  y  x y  i x  xy  c 这个函数可以化为 ( ) ( ). 3 w  f z  i z  c 答案 课堂练习 , . ( , ) 6 3 2 3 2 2 3 调和函数 并求其共轭调和函数 证明 u x y  x  x y  xy  y 为 ( , ) 3 6 2 . 2 2 3 3 v x y  x y  xy  y  x  c (c 为任意常数) (c 为任意常数)

陕西师報大學味数学与信息科学学院例2 已知v(x,y)=e*(ycos y+xsin y)+x+y为调和函数，求一解析函数 f(z)=u+iv,使f(O)=0.av解e*(ycos y+ xsin y + sin y)+1,axave*(cos y- ysin y+ xcosy)+l,ayQuav由e*(cos y-ysin y+xcos y)+l,ayax得u=[[e*(cos y-ysin y+xcos y)+1]dx

例2 , ( ) , (0) 0. ( , ) ( cos sin )        f z u iv f v x y e y y x y x y x 和函数 求一解析函数 使 已知 为调 解  ( cos  sin  sin )  1,   e y y x y y x v x  (cos  sin  cos )  1,   e y y y x y y v x y v x u      由  e (cos y  y sin y  xcos y)  1, x  u  e y  y y  x y  x x 得 [ (cos sin cos ) 1]d

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMALNEe'(xcos y- ysin y)+x+g(y)u=OvQu得由axaye*(ycos y + xsin y + sin y)+l= e*(xsin y+ ycos y+ sin y)- g'(y),故 g(y)=-y+c,于是u=e*(xcosy-ysiny)+x-y+c

u e (xcos y y sin y) x g( y), x     由 ,得 y u x v       e ( y cos y  xsin y  sin y)  1 x e (xsin y y cos y sin y) g ( y), x      故 g( y)   y  c, u e (xcos y y sin y) x y c, x 于是     