陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.2 函数解析的充要条件

陕品师大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMALUNIVERSI第二节函数解析的充要条件一、主要定理二、典型例题三、小结与思考

第二节 函数解析的充要条件 一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考

陕西师敦大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMA主要定理定理一设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D内有定义,则 f(z)在 D内一点 z= x+ yi可导的充要条件是: u(x,y)与v(x,J)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西一黎曼方程柯西介绍ouvuav黎曼介绍OxOxay'Qy

一、主要定理 定理一 . ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x v y u y v x u u x y v x y x y f z D z x yi f z u x y iv x y D                , : , , 点满足柯西－黎曼方程 件是 与 在点 可微 并且在该 定义 则 在 内一点 可导的充要条 设函数 在区域 内有 柯西介绍 黎曼介绍

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院HAANX证 (1) 必要性,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 D内一点z= x+yi可导，则存在>0,使得当0z时，有f(z + △z) - f(z) = f'(z2)△z + p(z)△z其中 lim p(△z)=0,令 f(z+z)- f(z) = △u+iv,f'(z)=a+ib, p(△z)=p +ip.

证 (1) 必要性. 时 有 可导 则存在 使得当 设 在 内一点 ， z x yi f z u x y iv x y D 0 | z | , 0, , ( ) ( , ) ( , )           f (z  z)  f (z)  f (z)z  (z)z, lim ( ) 0, 其中 z0  z  令 f (z  z)  f (z)  u  iv, f (z)  a  ib, ( ) ,  1 2 z   i

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院HOANXI所以 △u+讼v= (a +ib)(△x +iy) +(p +ip (△x +iy)= (ax - bAy+ p△x-p,Ay)+i(bAx + aAy+ pAx + pAy)于是 △u=aAr-bAy+p,Ax-P2AyAv=bAr+aAy+P,Ar+PiAy因为 lim p(△z)=0, 所以 lim Pi = lim P2= 0,Ar→0Ar-0470Ay→0Ay->0

所以 u  iv ( )( ) ( )( ) 1 2  a  ib x  iy    i x  iy ( ) ( ) 2 1 1 2 i b x a y x y a x b y x y                     , 1 2 于是 u  ax  by   x   y . 2 1 v  bx  ay   x   y lim ( ) 0, 0     z z 因为  1 0 0 lim      y x 所以 2 0 0 lim       y x  0

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERQuouOvOv-h从而，=aaxayayax由此可知 u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微QuOvuOv且满足方程axay' yax

从而 , b x v a y v x u               y u , 由此可知 u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微, , . x v y u y v x u            且满足方程

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAUNIVER(2) 充分性。 由于f(z + △z) - f(z) = u(x + Ax, y+ Ay) -u(x, y)+ilv(x + Ax, y + Ay) -v(x, y)= Au + iv,又因为 u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微

(2) 充分性. f (z  z)  f (z)  [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) i v x x y y v x y u x x y y u x y             u  iv, 由于 又因为 u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微

陕品师大学乐数学与信息科学学院SHAANXINORMA1NQuQu于是 △uAx +Ay +eAr + 8,Ay,axayavOvAV=Ax+Ay + &Ax + 8Ay,ayax其中 lim &= 0,(k = 1,2,3,4)Ar->0Ay->0因此 f(z+△z)- f(z)=QuavduOvAx+Ay+(8+i8)Ax+(82+i8)AyX+axayaxay

, 1 2 y x y y u x x u u            于是     , 3 4 y x y y v x x v v                lim 0, ( 1,2,3,4) 0 0       k k y x 其中  因此 f (z  z)  f (z)  ( ) ( ) . 1 3 2 4 y i x i y y v i y u x x v i x u                                 

陕品师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINUEQuOvQuOy:2 0v由柯西一黎曼方程axaxy'ayaxf(z+△z)- f(z) =Quav(Ax +iy)+(8 +ic)Ar +(e2 +i8)Ayaxaxf(z+△z) - f(z)AzavQuAx1+(2+i)i83F(8axaxAzAz

f (z  z)  f (z)                 ( x i y) x v i x u ( ) ( ) . 1 3 2 4   i x    i y , , 2 x v i x v y u y v x u               由柯西－黎曼方程      z f (z z) f (z)       x v i x u ( ) ( ) . 1 3 2 4 z y i z x i           

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXENORMANUEAxAy因为≤1,AzAzAx1lim018Azz.△z->0avQuf(z +△z)- f(z)所以 f(z)= lim+AzaxaxAz-0即函数 f(z)=u(x,j)+iv(x,J)在点z=x+yi可导[证毕]

1,  1,      z y z x 因为 lim ( ) ( ) 0, 1 3 2 4 0                 z y i z x i z              z f z z f z f z z ( ) ( ) ( ) lim 0 所以 . x v i x u      即函数 f (z)  u(x, y)  iv(x, y) 在点 z  x  yi 可导. [证毕]

陕西师大學乐数学与信息科学学院HAAN根据定理一,可得函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,J)在点z=x+yi处的导数公式：QuOv1audf(z) =axiayaxd函数在区域D内解析的充要条件定理二函数 f(z)=u(x,J)+iv(x,J)在其定义域D内解析的充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在D内可微，并且满足柯西一黎曼方程

: , ( ) ( , ) ( , ) 点 处的导数公式 根据定理一 可得函数 在 z x yi f z u x y iv x y     . 1 ( ) y v y u x i v i x u f z              函数在区域 D内解析的充要条件 , . : ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 内可微 并且满足柯西－黎曼方 程 域 内解析的充要条件是 与 在 定理二 函数 在其定义 D D u x y v x y f z  u x y  iv x y