陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）1.6 复变函数的极限和连续性

陕品师聚大學乐数学与信息科学学院?SHAANXLNORMALUNIVERS第六节复变函数的极限和连续性一、函数的极限二、函数的连续性三、小结与思考

第六节 复变函数的极限 和连续性 一、函数的极限 二、函数的连续性 三、小结与思考

该中怀数的极限与信息科学学院HA1.函数极限的定义：设函数w= f(z)定义在z.的去心邻域00相应地必有一正数S()使得当0<z-z<(0<≤p)时,有If(z2)- A<那末称A为f(）当z趋向于z.时的极限记作 lim f(z)= A. (或 f(z)—→A)注意：定义中z→z的方式是任意的

一、函数的极限 1.函数极限的定义: ( ) . ( ) ( ) 0 (0 ) , 0, 0 , , ( ) 0 0 0 0 那末称 为 当 趋向于 时的极限 使得当 时 有 对于任意给定的 相应地必有一正数 内 如果有一确定的数 存在 设函数 定义在 的去心邻域 A f z z z f z A z z z z A w f z z                     lim ( ) .( ( ) ) 0 0 f z A f z A z z 记作 zz  或   注意: . 定义中 z  z0 的方式是任意的

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院HOANXT2.极限计算的定理定理一设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u. +iv.z.= x +iy，那末 lim f(z)= A的充要条件是limu(x,y)=u, limv(x, y) = v.y证(1) 必要性. 如果 lim f(z)= A, 则对于任ZZ0意>0,存取>0.使得当0<-z<8时(即当0<(x+iy)-(x +iy)<时),有(u+iv)-(uo+ivo)<e

2. 极限计算的定理 定理一 lim ( , ) , lim ( , ) . , lim ( ) ( ) ( , ) ( , ), , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v z x iy f z A f z u x y iv x y A u iv y y x x y y x x z z              那末  的充要条件是 设 证 lim ( ) , 0 f z A z z   如果 则对于任 0 ( ) ( ) ), 当  x  iy  x 0  iy 0   时 ( ) ( ) , 0 0 u  iv  u  iv   (1) 必要性.   0,存取  0,使得当 有 意 0 (  z  z 0   时 即

陕西师大学陈数学与信息科学学院或当 00,存在S>0,使得当 0<(x-x)+(y-y)<8时,有8C22

0 ( ) ( ) , 2 0 2 或当  x  x0  y  y   时 ( ) ( ) , 0 0 u  u  i v  v   , , 0 0  u  u   v  v   lim ( , ) , lim ( , ) . 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v y y x x y y x x       故 lim ( , ) , lim ( , ) , 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v y y x x y y x x       (2) 充分性. 若 则对于任意   0,存在  0,使得 当 0  (x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   时, 有 , 2 , 2 0 0   u  u  v  v 

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1Nf(z)-A= (u-u)+i(v-v)≤u-uo| +[v-vo故当 0<-z<时,f(z)-A<,[证毕]所以 lim f(z) = A.Z→Zo说明该定理将求复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的极限问题，转化为求两个二元实变函数u(x，J）和v(x,y)的极限问题

( ) ( ) ( ) 0 0 f z  A  u  u  i v  v 0 0  u  u  v  v 0 , 故当  z  z0   时 f (z)  A   , lim ( ) . 0 f z A z z   所以 [证毕] 说明 ( , ) . , ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 和 的极限问题 的极限问题 转化为求两个二元实变 函数 该定理将求复变函数 v x y u x y f z  u x y  iv x y

陕西师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNORM定理二设 lim f(z) = A, lim g(z)= B, 那末Z→Z0Z-→Z0(1) lim[f(z)±g(z) = A±B;Z→>ZO(2)lim[f(z)g(z)]= AB;Z→ZoAf(z)(3) lim(B ±0).Bg(z)Z→>Z与实变函数的极限运算法则类似

定理二 ( 0). ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) , lim ( ) , 0 0 0 0 0              B B A g z f z f z g z AB f z g z A B f z A g z B z z z z z z z z z z 设 那末 与实变函数的极限运算法则类似

陕西师大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORM1NRe(z)当z →0时的极限例1 证明函数 f(z) =不存在。x证(一)令z=x+iy,则 f(z)=/x?+yxu(x,y) =v(x,y) = 0,x?+y当z沿直线y=kx趋于零时，xxlimu(x, y) = limlim22x-0x-→0x-02 +(kx)+yXJ=kxVxy=kx+

例1 证 (一) . 0 Re( ) ( ) 不存在 证明函数  当 z  时的极限 z z f z 令 z  x  iy, ( ) , 2 2 x y x f z  则  ( , ) , ( , ) 0, 2 2    v x y x y x u x y 当 z 沿直线 y  kx 趋于零时, 2 2 0 0 lim ( , ) lim x y x u x y y kx x y kx x     2 2 0 ( ) lim x kx x x   

陕品师大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALNEI1xlim=±x=0 /x*(1+ k2)随k值的变化而变化，lim v(x,y) = 0,所以 lim u(x,y)不存在,x→xox→xoy-→yoy→yo根据定理一可知，lim f(z)不存在。Z-0证(二)令z=r(coso+isin)rcos则 f(z)=T=cosO,r

(1 ) lim 2 2 0 x k x x    , 1 1 2  k   随 k 值的变化而变化, lim ( , ) , 0 0 所以 u x y 不存在 y y x x   lim ( , ) 0, 0 0    v x y y y x x 根据定理一可知, lim ( ) . 0 f z 不存在 z 证 (二) 令 z  r(cos  isin ), r r f z cos 则 ( )   cos

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAN当z沿不同的射线 argz=趋于零时,f(z)趋于不同的值。例如z沿正实轴argz=0趋于零时，f(z)→1l元一趋于零时，f(z)→0,沿argz =2故 limf(z)不存在。7-0

当 z 沿不同的射线 arg z   趋于零时, f (z)趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴 arg z  0 趋于零时, f (z)  1, , 2 π 沿 arg z  趋于零时 f (z)  0, lim ( ) . 0 故 f z 不存在 z

陕西师大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N例2 证明函数 f(z)==(z 0)当z→0时的极限不存在。证 令z=x+iy，f(z)=u+iv,x? - y22xy则 u(x,y) =v(x,y) =2x?+y?x"+y2当z沿直线y=kx趋于零时2k2xylim v(x, y) = lim1+k20x+y2x-0y=kxy=kx

例2 证 . ( ) ( 0) 0 限不存在 证明函数  z  当 z  时的极 z z f z 令 z  x  iy, f (z)  u  iv, ( , ) , 2 2 2 2 x y x y u x y   则  , 2 ( , ) 2 2 x y xy v x y   当 z 沿直线 y  kx 趋于零时, 2 2 0 0 2 lim ( , ) lim x y xy v x y y kx x y kx x     , 1 2 2 k k  