复变函数从技术上的角度上看，19世纪数学中最独特的创造是单复变函数论。它在19世纪的数学中的地位就象18世纪中的微积分一样。他被认为是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数理论的研究起源于部分分式的积分、对数函数（在负数上的取值）、保形变换、实系数多项式的分解等问题。复变函数就是自变量为复数的函数（有时也简称为复函数），可以视为实函数的一种自然的推广。实函数论中的所有概念都可以平行地搬到复函数中来，例如极限、连续、导数、积分、级数收敛性等等。此外，它还有复数集自身的结构所导致的独特的理论。从结构上讲，复数集和实数集都是域（最简单的代数结构），都是完备的（对于收敛序列取极限封闭）。二者的差别是：实数集是全序集而复数集不是；复数集是代数封闭的（任一多项式在其中皆有根）而实数集不是。我们将着重介绍复函数与实函数的不同之处。1.积分：欧拉在1776年之后直到去世（1883年）写了一系列用复函数计算实函数的积分的论文，这些论文都在他去世之后才发表。他发现的一个重要事实是：如果一个实函数中的变元用复数代替，则得到的复函数的实部和虚部之间存在密切的联系。详言之，设Z(z)为一个实函数，令=+iy（则Z(z)=Z(r+iy）的值通常是复数)，再令Z(a+iy)=M(a,y）+iN(r,y)，则M(c,y）和N(α,y）这两个实二元函数必满足以下的关系：amOnOM_an(*)r-oyayar欧拉的推导是简单的。他考虑积分Z(2)dz = V当z=+iy时，V也是复函数。记V=Pr,y)+iQ(r,y)，其中P(r,y)和Q(r,y)为二元实函数，则有P+iQ = / (M + iN)(dr + idy).取复共轭，就有P-iQ = /(M-iN)(da -idy).由以上二式就解得P :Mdr-Ndy,Q=Ndr + Mdy所以amaNdrdyamaN.(-drdy)-P-drdydydryaxardyamandrdyOyOr1
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如果当初的函数f（）是连续的（欧拉考的都是连续的），并且开始的积分路径取为闭路径，则P二0。由闭路径的任意性即知二重积分号下的函数为0。对于积分Q做同样的讨论就得到（*）式。这就是现在我们熟知的哥西－黎曼方程。达朗贝尔在1752年的论文《关于流体阻力的一个新理论试论》中在研究理想流体的运动时就已经遇到过满足哥西-黎曼方程的函数。无论是达朗贝尔还是欧拉都没有对于复函数进行深入的讨论。最早对于复变函数论作出贡献的是高斯。1811年他在给贝塞尔（Bessel)(1784-1846的信中针对贝塞尔关于对数积分的一篇论文指出：函数Φ（）（其表达式可能是实的）沿复平面上一条路径C作定积分Jcd(c)da，得到的结果可能不仅仅被积分的上下限所决定，有时会因为积分路径的不同而改变。这是复函数与实函数的一个主要差别之一。（一元实函数的定积分只有一条路径，因而不会发生这个问题）。他断言：只要@）（是单值的并且）不变为0，则积分与路径无关（他说这个事实的证明并不难，以后将写出证明。但事实上他一直没有发表这个证明）。如果(）变为0，则积分可以由于路径的不同而取许多值。积分了如果从1出发，路径不包围0，则得出的积分是唯一的，如果路径包围0，则要在不包围0的情形所得到的值上加或减去2元i。这样，对于一个给定的复数a十bi，就有很多对数函数值log(a十bi）。（按后来的函数的定义，他关于积分与路径无关的条件当然不够，应当加上函数（）连续的条件。但是按照当时对函数的理解，即函数是初等函数的有限表达式，他的说法是正确的）。泊哇松在1820年的一篇论文中也谈到了积分与路径之间可能有关。他也以对数积分为例，考虑J，一，令=ei°，其中θ由(2n+1)元变到0。则cl d(e) =iTde=-(2n+1)元i.J-1eio-1 rJ(2n+1)m高斯与泊哇松并没有发表过关于复变函数的更重要的结果。复变函数的系统理论是哥西、外尔斯特拉斯、黎曼建立的。哥西在1814-1825年间由矩形区域出发过渡到一般的区域，由实函数过渡到复函数，逐步证明了只要(2）在由zo到两条路径围成区域上连续，则积分J(2)dz与路径无关。在这过程中，他说：在“严格并且直接由实到虚的过渡”时，他心中想的是（上面（*）式中的）两个方程。哥西在很长时间内（1839年前）认为连续函数都是可微的。（黎曼严格区分了可微和连续。由导数的定义出发容易推导出：如果一个复函数f(z）=f（α十iy）=M(r,y)+iN(a,y)，其中M(r,y)，N(a,y)为，y的二元可微实函数，则复函数f(z)可微当且仅当M(α,y)，N(αy）满足哥西-黎曼方程。）哥西还研究了函数不连续的情形。如果f（z）以z=z1为单极点，即f(z1）为无穷但极限lim(z一z1)f(2)=F(z1)≠00，两条路径围成的区域包含z1，且f(2)在此区域中只有21这一个极点，则沿着两条路径的积分相差2元iF。哥西将此F称为f（z）在21处的留数。哥西的这个结果本质上就是现在所说的留数定理。他后来给出了留数定理的现代的形式，即F(z1)=2元Jf(2)dz，其中的积分路径是沿包围 z1的小圆周。1831年哥西证明了解析函数在一点处的值可以用包含这个点的一个圆周上的积分表示2
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出来，他的公式是()f(2) =-do2元J一元z—2其中z三ZeiΦ，而Z是f在点z处（马克劳林）级数展开的收敛半径。这实际上就是现在的哥西积分公式（f(z）=『d，（按正方向经由包含的一条闭路，在此闭路包围的区域内于解析）。哥西还研究了多值复函数。但是这方面的理论是由黎曼奠定的。哥西在差不多25年中（直到1843年）单独一人发展了复函数理论。2.解析延拓.外尔斯特文。他最主要的贡献是创立了解析开拓的理论该半径对应的圆C上存在个或儿个点使得泰发散的点处该函数仍然可以进行泰收敛半径对应的圆周又可以重范围，这就是外尔斯特拉斯在184数展开式（这对于实正明可微复函数的导函数是不成V函数仍然可微则在该区域中无穷数和具有泰勒展开的函数都是一回次可微所以对于事。通常也将复可微函数称为复解析函数，外尔斯特拉斯还有基本重要性的工作3.黎曼可么了，但是并不完整，主要的问题是多值函数的困扰。黎曼给出了定义域，使得多值函数单值化，这就是所谓的黎受面，V2是二值的。黎曼对于此函数这轴切开，并添加一个无穷远点0，将两个这样构造了他的定义域：将复平面沿实轴的样的带缝的扩充了的复平面叠在一起，然后把上面的复平面的的幅角大于0小于号的部分相邻的实轴切缝与下面的复平面的的幅角接近2元的部分相邻的实轴粘合起来，文把下面的复平面的的幅角大于0小于的部分相邻的实轴切缝与上面的复平面的的幅角接近2π的部分相邻的实轴粘合起来，同时将两个00粘合。这样就得到幅角范围为0到4元的一个双层复平面。当2在上面的一层复平面上时，就让它的平方根W取幅角在0到π之间的值，而当z在下面的复平面上时，就让W取幅角在π到2元之间的值。这样就使得W成为了z的单值函数。接着黎曼研究了给定的黎曼面上的单值解析函数，他所定义的单值解析函数实际上是我们现在所说的半纯函数。所以这种函数在黎曼面的儿乎所有点处都可微并且满足哥西－黎曼方程。黎曼在给出了满足一些限制条件（主要是极点处的性状）的（黎曼面上的）半纯函数。反过来，他相信黎曼面上的单值解析函数会导出与黎曼面相关联的二元代数方程，此方程定义的代数曲线经过适当处理后（奇性化解到高维复射影空间中的光滑代数曲线）可以等同（解析同胚）于当初的黎曼面，但是关于它对于这个导出过程他并没有说清楚。他进一步研究了这种代数曲线的连通性（单联通或多连通）以及亏格的计算公式，成为后来的黎曼洛克定理的主要组成部分。他的这些工作奠定了现代的紧致黎曼曲面（也就是复代数曲线）理论的基础。4．椭圆积分.椭圆弧长的计算难倒了数学家。椭圆弧长的积分无法写成初等函数。事实上，柳维尔在1883年证明了椭圆弧长的积分不可能有初等表达式。3
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椭圆+=1由点(0,b)到横坐标为(0≤≤a)的点的弧长为(1 - k2r2)dau=aV(1-2)(1-k2r2)其中k=1-些， t=椭圆积分的权威性工作是由勒让德（Legendre)（1752-1833）做出的。他引入了三类椭圆积分，即drV(1 -2)(1- k22)r?drV(1- r2)(1 - k2r2)dr(r -a) V(1 - a2)(1 - k2r2)在他之前欧拉得到了椭圆积分的加法定理。勒让德通过变量（替换例如=sin），将上述积分化为简单的形式，例如第一类椭圆积分就变成了dsu(= F(k,Φ)) :V1 - k? sin? @这个积分很象 arcsin =Jo，arcsin 的反函数 sin 是一个周期函数，而且有加法公式等算术性质。于是阿贝尔（Abel)(1802-1829）从另一个角度考虑椭圆积分：把积分的变上限视为弧长u的函数，进一步地将@视为弧长u的函数。这个想法也出现在雅可比（Jacobi)(1804-1851）的工作中。雅可比引入了函数amu=d他引入的其他函数记号后来被简化为k? sin?dn u=sn u=r,cn u = cos@,1其中的k称为椭圆积分的“模”(0<k<1)。这些函数被称为椭圆函数(sn、cn和dn分别称为椭圆正弦、椭圆余弦和椭圆）。容易看出sn?u+cn?u=1,dn?u+ ksn?u以及amu，snu都是奇函数，cnu，dnu都是偶函数。直观上容易看出动点的坐标（或幅角）是椭圆弧长的周期函数。所以定积分Cdrdp7K :F(k,2V(1 - r2)(1 - k2t2)V1 - k? sin?@1104
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出椭圆函数的由期有关（贡高k斯闭一k表代替此式最的k分没得到的F（k6来出由表同塞期有关单事实上分言u欧Q言u寻诱续进为由期分言u论2进为由期。到此为s分切他在实数范围14论的。阿贝尔对（步将椭圆函数信针到『数上。研引+闭言u欧斯事u欧斯欧Qu欧6言6欧信欧6欧足关同u欧斯“关同u欧斯“关同言u欧斯则最函数自变量时积的k阻k期函椭圆积分的尔。阿贝尔对就实的椭圆函数数而不了加法定如：言u言，裁言＋言，表言u裁言uu+.6一欧你中同Q言u表信一裁裹言，装言u+6中欧团一传表言装中同信u言-k装亨u比表言装言信u+600中同P可高为些公式就变论定能是的『数实α十拉得椭圆函数沿。对而阿贝尔而不了读论2进期由期分Q信实论2（进+进斯为国期分实论续进期由期上就他一i取椭函数过有路个由期分而且为路个由期过他实）性无关的。为施阿贝尔的径C作行。就他为些椭圆函数就完定程积积上的分当的积。四边虑上的得沿没到定，上*C部分结果来程雅不熟仅被地得到了分一他研在827年的7限限连所（决最没高的的限有方法不时人会因。时来分研采高了不同的为点。研定能了四个同函数分高研改变论将上*的个椭圆函数表达出来。为四个同函数他,6条（-闭因e烟我e因b同6同同只文同因会条只（一因e生通）望我e谢佳欧6同（6同(我同（堤同会@同条总生遇我e厂！6S6借欧我只表同表同因会条只e因我因bo6雕6胞同只6同因会雅不熟给出了为些函数的的无情加数阻无情或积的表达式分研改过减π得αb很。o尔g按拉g高加数定能了椭圆函数分主然他没义的o尔g按拉g件函数：闭闭闭+条件实欧同实(实++1+.足明消表表因会确泊泊表确泊箱公5
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其中wi和w2是两个实线性无关的复数。(z）和它的导函数都是以W1和2为周期的椭圆函数，并且任一以Wi和W2为周期的椭圆函数都可以表示成wi和W2的有理分式，椭圆函数在分析、几何、数论、物理、力学、天文、大地测量等众多学科中都被广泛地使用。5.保形映射.将解析函数W=f（z）看作由z（复）平面到W（复）平面的映射，则将平面上的一个区域D映成W平面上的一个区域D1。这种映射有一个明显的特点，即：如果Zo为区域D中的一点，且f(zo）≠0，则从Zo出发的一条射线1的像在f(zo)处的切线的倾角等于1的倾角加上于（20）的幅角，并且20在各个方向上的增量的绝对值在映射下的伸缩程度也基本相同（这因为△W=f'(zo)△z十o(△2)）。于是区域D中任一点处的两条相交的光滑曲线之间的夹角在映射下保持不变。所以解析映射具有保角性。但这并不是说直线映成直线，通常讲来，直线只是映成光滑曲线。例如在映射W=e2元iz下z平面上的实轴就变为W平面上的单位圆周（无穷多层螺旋形）。如果f(2）在Zo导数为0，则可以出现复杂的情形。这种“坏”的情形有时非常有用。例如，1(W=(e+)称为茹科夫斯基函数，它在2=土1处导数为零。设K为平面上过点z=土1的圆周其圆心O位于虚轴上(O=ai，α>O)，K'为与K相切于z=1处的包含K的圆。则在茹科夫斯基函数下，K变为连接1和-1的一段（向上凸起的）圆弧L（这因为：过圆内一定点的弦被交点所分成的两部分乘积为定值），而K'就变成在点1处与L相切的一条封闭曲线L'，其形状很象飞机机翼的剖面。这个变换对于计算飞机在飞行时的升力很有用。虚数本来是难以被人们接受的虚无缥缈的量，于是复数也是如此，复变函数就更不可琢磨。但是这种函数却有很多理论上和实际上的应用。这体现了数学的一个特点：从公理出发，经过正确的逻辑推理，得到的结论由它的真实性6
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