实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性第三讲有限覆盖定理实数完备性基本定理之间的等价性数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 第三讲 有限覆盖定理 实数完备性基本定理 之间的等价性
实数完备性基本S1关于实数集完备性的基本定理区间套定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性有限覆盖定理定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间的集合(即H中的元素均为形如(α,β)的开区间).若对于任意 x E S,都存在(α,β)EH,使 x E(α,β)则称H是S的一个开覆盖若H是 S的一个开覆盖,并且H 中的元素(开区间)仅有有限个，则称H是S的一个有限开覆盖1例如H=n=1, 2,是区间(0,1)的(n+2n)一个开覆盖数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间的集合 (即 H 中的元素均为形如 ( , ) ). α β 的开区间 若对于任意 都存在 x S ∈ ∈∈ , ( , ) , ( , ), α β H x 使 α β 则称 H 是 S 的一个开覆盖. 若 H是 S 的一个开覆盖, 并且H 中的元素(开区间) 仅有有限个, 则称 H 是 S 的一个有限开覆盖. 聚点定理与有限覆盖定理 有限覆盖定理 1 1, 1, 2, (0, 1) 2 H n n n 例如 是区间 的 = = + 一个开覆盖
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定理7.3（海涅一博雷尔有限覆盖定理）设H是闭区间[a,bl的一个开覆盖，则从H中可选出有限个开区间,构成闭区间[a,bl 的一个子覆盖证证明该定理有多种方法.这里还是运用区间套定理来证明，仍然要注意区间套的取法海涅Heine,H.E博雷尔（Borel,E.1871-1956，法国1821-1881德国）数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定理7.3(海涅—博雷尔有限覆盖定理) 设 H是闭区间 [a, b] 的一个开覆盖, 证 证明该定理有多种 海涅( Heine,H.E. 博雷尔 1821-1881,德国 ) ( Borel,E.1871-1956, 法国 ) 出有限个开区间,构成闭区间 [a, b] 的一个子覆盖. 要注意区间套的取法. 间套定理来证明, 仍然 方法. 这里还是运用区 则从 H 中可选 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性若定理不成立，也就是说[a,b不能被H中任何有限个开区间所覆盖.将区间[a,b等分成两个子区间那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖．设该区间为[ai,b,l，显然有[α,b] c[a,b], 并且b, -a, ==(b -a),再将[ai,b]等分成两个子区间，其中至少有一个不能被H中有限个开区间所覆盖设该区间为[a2,b2].同样有[a2,b,]c[,b], 并且b, -a, =亏(b2数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 也就是说 [a, b]不能被 H 中任何有 再将 [a1, b1] 等分成两个子区间, 将区间[a, b]等分成两个子区间, 那么这两个子区间中至少有一个不能被 H中任意有 限个开区间所覆盖. 能被 H 中有限个开区间所覆盖. 显然有 若定理不成立, 限个开区间所覆盖. [a1 , b1 设该区间为 ], 1 1 [ , ] [ , ], a b ab ⊂ 1 1 1 ( ). 2 并且b a ba −= − 其中至少有一个不 设该区间为 [a2 ,b2]. 同样有 2 2 11 [ , ] [ , ], ab ab ⊂ 22 11 1 ( ) 2 并且ba ba −= − 聚点定理与有限覆盖定理 2 1 ( ). 2 = − b a
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性将上述过程无限进行下去，可得一列闭区间[an，b,]满足下列三个性质：(i) [an+1, bn+ilc[an, b,l, n =l, 2, ...;(ii) b, -a, =(b-a) →0, n -→ o0 ;n2(iii) 对每一个闭区间[an,b,l,都不能被H 中有限个开区间所覆盖.由区间套定理，存在惟一的三，使S e[an, bl, n =1, 2, ....因ε[a,b,l,H覆盖了[a,b],故存在(α,β)εH,使ε(α,β)。 取=minβ-,α-},由定理7.1的数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 1 1 (i) [ , ] [ , ], 1, 2, ; n n nn a b ab n + + ⊂ = (iii) 对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被 H 中有限个 满足下列三个性质: 将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间[, ] n n a b 1 (ii) ( ) 0, 2 n n n b a ba −= −→ n → ∞ ; [ , ], 1, 2, . n n ξ ∈ = ab n 开区间所覆盖. 由区间套定理,存在惟一的ξ , 使 1 1 因ξ ∈[ , ], a b H ab 覆盖了[ , ], 故存在(, ) , α β ∈ H 使ξ αβ ∈( , ). 取ε β ξα ξ 0 = −− min{ , }, 由定理7.1的 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性推论，存在N,使[a,blcU(;)(α,β)这就是说[a，bnl被H中的一个开区间所覆盖与(ii)矛盾.注 定理7.3中的闭区间不可以改为开区间覆盖了比如开区间集H = 1, 2, :Y区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不能覆盖 (0,1)数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 这就是说 [aN , bN] 被 H 中的一个开区间所覆盖, 与(iii)矛盾. 推论，存在N，使[,] ; ab U N N ⊂ (ξ ε 0 ) ⊂ ( , ). α β 1 1 12 1 H n n = = + 比如开区间集 ， ， 覆盖了 区间 (0, 1). 注 定理7.3中的闭区间不可以改为开区间. 能覆盖 (0, 1). 很明显, H 中的任何有限个开区间均不 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理61关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性例3用定理7.3证明闭区间上连续函数的有界性定理证 设 f(x)在闭区间[a,bl上连续，则 Vx E[a,b]=M,>0, 及 8. >0, 使当 x'e[a,b]U(x;S,)时,有lf(x)<M：作开区间集H=((x-S, x+s)Ixe[a,bl,If(x')<≤ Mrx'e[a, b]nU(x;))显然H覆盖了[a,b]．根据有限覆盖定理，存在H中有限个开区间覆盖了[a,bl，设这些区间为(x -ox,Xi +8x),(x2 -ox,,X, +8x,),.,(xn-8x,,xn +8x.)x令M = max[M,,M2,".,M,}, 则有 If(x) < M, x E[a,b].数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 例3 用定理7.3证明闭区间上连续函数的有界性定理. 证 设 f (x) 在闭区间[a, b]上连续, ( )| . x 有|fx M ′ ≤ {( , ) | [ , ], | ( ) | , H x x x ab f x M x x x =− + ∈ ≤ δ δ ′ 11 2 2 11 2 2 ( , ), ( , ), , ( , ) n n x x x x n xn x xx xx x x −+ −+ − + δδ δδ δ δ 令M MM M = max{ , , , }, 1 2 n 有限个开区间覆盖了[a, b]， 则 ∀ ∈x ab [ , ]. 0, ∃ > M x 0, x 及 δ > 使当 [, ] (; ) x x ab Ux ′∈ ∩ δ 时， 作开区间集 [ , ] ( ; )} x x ab Ux ′∈ ∩ δ 显然H覆盖了[a, b]. 根据有限覆盖定理，存在H中 则有|f x M x ab ( ) | , [ , ]. ≤ ∈ 聚点定理与有限覆盖定理 设这些区间为
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性实数完备性基本定理之间的等价性我们已经学习了关于实数完备性的六个定理，它们是:确界定理单调有界定理区间套定理聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则下面证明这六个定理是等价的数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它 实数完备性基本定理之间的等价性 确界定理 下面证明这六个定理是等价的. 们是: 聚点定理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理 柯西收敛准则 实数完备性基本 定理之间的等价性
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性h确界定理柯西收敛准则1聚点定理单调有界定理有限覆盖定理区间套定理定理2.11用致密性定理证明了柯西准则，成立所以在上图的等价性关系中，仅4和6尚未证明这里给出④的证明，の请大家自已阅读教材数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 柯西收敛准则 区间套定理 聚点定理 确界定理 有限覆盖定理 单调有界定理 6 5 4 3 2 1 所以在上图的等价性关系中, 仅 4 和 6 尚未证明. 这里给出 4 的证明, 6 请大家自己阅读教材. 实数完备性基本 定理之间的等价性 定理2.11用致密性定理证明了柯西准则，5 成立
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性例3用有限覆盖定理证明聚点定理证设S是无限有界点集，则存在M>0.使得Sc[-M,M]若S的聚点集合S'=,那么，任给xE[-M,M]，x都不是聚点.这就是说存在S.>0(S.表示与x有关)使得(x-,x+)S=有限集设开区间集H=1(x-8r,x+)IxeI-M, Ml,8. >0(x-8,x+8)ns=有限集)数学分析第七章实实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 例3 用有限覆盖定理证明聚点定理. 证 设 S 是无限有界点集, S MM ⊂ −[ , ]. 则存在 M > 0, 使得 若S S 的聚点集合 ′ = ∅, 那么,任给 x MM ∈ −[ , ], x 都不是聚点. 0( ) x x 这就是说存在δ δ > 表示与x有关 ， (,) . x x 使得 xx S − + ∩= δ δ 有限集 {( , ) | [ , ], 0, H x x x MM x x x = − + ∈− > δδ δ ( , ) }. x x xx S − + ∩= δ δ 有限集 设开区间集 实数完备性基本 定理之间的等价性