实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性第二讲聚点定理数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 第二讲 聚点定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性聚点定理定义2设S为数轴上的非空点集，为直线上的一个定点(当然可以属于 S,也可以不属于S).若对于任意正数ε,在（-+)中含有S的无限个点，即U(;ε)I S=无限集，则称是 S 的一个聚点的一个聚点;比如:0是S=n的两个聚点-1, 1是 S =3(-1)" +=n数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义2 设 S 为数轴上的非空点集, ξ 为直线上的一个定点 (当然可以属于 S, 也可以不属于S). 数 ε ,在 (ξ− ε, ξ +ε) 中含有S 的无限个点, 1 0 S n = 比如: 是 的一个聚点; 聚点定理 U S (;) ξ ε I = 无限集 , 则称ξ 是 S 的一个聚点. 即 1 1, 1 ( 1) . n S n − =− + 是 的两个聚点 聚点定理与有限覆盖定理 若对于任意正
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性若设 S是[0,1I中的无理数全体，则 S的聚点集合S(称为 S的导集)为闭区间[0,1].为了便于应用，下面介绍两个与定义2等价的定义定义2V设O±SCR,ER.若对于任意ε>0.U;ε)I S≠の,那么称是 S的一个聚点定义2"若存在各项互异的收敛数列(x,}C S,那么极限 limx，=称为S的一个聚点。n->0下面简单叙述一下这三个定义的等价性数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义2” 定义2’ 为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义. 设 ∅≠ ⊂ ∈ SR R , . ξ ε 若对于任意 > 0, 若存在各项互异的收敛数列 {x } S, n ⊂ 那么极限 lim x 称为S的一个聚点. n n = ξ →∞ 若设 S 是 [0, 1]中的无理数全体, US S (; ) , ξ ε ≠ ∅ ξ . o I 那么称 是 的一个聚点 (称为 S 的导集) 为闭区间 [0, 1]. 则 S 的聚点集合 S′ 下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定义2 定义2'由定义直接得到因为>0, U(;)nS0,定义2'定义2″取ε = 1, 三x, U(;1)NS;取82 = min[1/2,x -), 3x, e U(5;82)NS;取e, = min(1/n,x,-- - ), Ex, e U°(5;s,)nS;这样就得到一列(x,}C S.由ε,的取法,{x,两两互异,并且0<5-xn<8,≤一n由此 limx,=5.由极限的定义可知这是显然的定义2"→定义2数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义2 定义2′ 由定义直接得到. 定义2′ 定义2″ ; . 因为∀ε > 0, U S ( ; ) 0, ξ ε ≠ 1, 取ε 1 = 1 ∃ ∈ xU S ( ;1) ; ξ 取ε ξ 2 1 = min 1 2, , { x − } 2 2 ∃ ∈ xU S (; ) ; ξ ε min{1 , }, 取ε n = n x n−1 − ξ (; ) ; n n ∃ ∈ xU S ξ ε { } . ,{ } nn n 这样就得到一列 由 的取法 两两 xS x ⊂ ε 互异,并且 , 1 0 n < ξ − xn < ε n ≤ lim . n n x ξ →∞ 由此 = 定义2″→定义2 由极限的定义可知这是显然的. 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定理7.2（聚点定理）实数轴上的任意有界无限点集必有聚点这里再次使用区间套定理来证明聚点定理，请务必要注意在区间套的构成中所建立的性质 (ii)证因为S为有界点集，所以存在正数M,使Sc[-M,M], 且记[a,b]=[-M, M]现将[aj,bi]等分为两个子区间[ai,cil，[Ci,bil,+b其中c =那么[α,cl,[cj,b]中至少有一2个区间含有S的无限多个点，数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定理7.2（聚点定理） 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. 这里再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必 证 因为S为有界点集, 1 1 S MM a b MM ⊂ −[ , ], [ , ] [ , ]. 且记 = − 现将 [a1, b1] 等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1], 要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). 所以存在正数 M, 使 . 2 1 1 1 a b c + 其中 = 11 11 那么[ , ], [ , ] ac cb 中至少有一 个区间含有 S 的无限多个点. 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性记该区间为[a2,b].显然有[a,b,][az,b,],2 -a, =2(b, -a,)= M.b.2再将[α2,b2]等分为两个子区间．同样至少有一个子区间含有 S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3l显然又有[a,,b,][a2,b,] [a,,b,]Mb.-a.= =(b. 22无限重复这个过程，就可得到一列闭区间a,,b,满足 (i) [an,b,]2[an+1, bu+il, n=1, 2, ... ;M(ii) bn-an→0;2"-2数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 记该区间为[a2, b2]. [ , ] [ , ], 显然有 a1 b1 ⊃ a2 b2 再将[a2, b2]等分为两个子区间. 区间含有 S 的无限多个点, 将这个区间记为[a3, b3]. ( ) 2 1 b3 − a3 = b2 − a2 同样至少有一个子 11 2 2 显然又有[,] [, ] ab ab ⊃ 3 3 ⊃ [ , ], a b ( ) 2 1 b2 − a2 = b1 − a1 = M. . 2 M = 无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间{[ , ]}, n n a b 满足 聚点定理与有限覆盖定理 2 (ii) 0 ; 2 n n n M b a − −= → 1 1 (i) [ , ] [ , ], 1, 2, ; nn n n ab a b n ⊃ = + +
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性(ii)每个闭区间[an，b,l 均含S 的无限多个点由区间套定理,存在唯一的E[a,，b,l,n=1,2,…由定理7.1的推论：对于任意的正数ε，存在N，使[an, blcU(5; 8),所以由所建立的性质(i)：U(;)ns[a,bns=无限集这就证明了是S的一个聚点定理7.2有一个非常重要的推论（致密性定理）数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点. , [ , ], n n 由区间套定理 存在唯一的ξ ∈ a b n = 1, 2, . [ , ] ( ; ), N N ab U ⊂ ξ ε 所以由所建立的性质(iii)， 这就证明了ξ 是 S 的一个聚点. 由定理7.1的推论：对于任意的正数ε , 存在N, 使 (;) [ , ] U S ab S N N ξ ε ⊃ = 无限集. 聚点定理与有限覆盖定理 定理7.2 有一个非常重要的推论(致密性定理)
实数完备性基本区间套定理61关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列证 设α,为有界数列，若α,中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛的若数列x，不含有无限多个相等的项，则α，作为点集是有界的．由聚点原理,可设是α,，的一个聚点，那么再由定义2",可知{x}中有一个子列收敛于.致密性定理是聚点定理的特殊情形聚点定理也可以用致密性定理证明数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 推论（致密性定理） 证 设{xn}为有界数列, 这些相等的项可成一个子列. 若数列{xn} 不含有无限多个相等的项, 由聚点原理, 可设ξ 是{xn} 的一个 有界数列必有收敛子列. 收敛于 ξ . 那么再由定义 2 ″ ,可知{ xn } 中有一个子列 若{xn} 中有无限项相等, 取 该子列显然是收敛的. 则{xn}作为 点集是有界的. 聚点, 聚点定理与有限覆盖定理 聚点定理也可以用致密性定理证明. 致密性定理是聚点定理的特殊情形
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性例2 设 f(x)在[a,b]上连续,(x,} c[a,b].如果limf(x,)= A,那么存在 xE[a,b],使 f(x)= A证 因(x,} [a,b],故[x,}有界.由致密性定理,{x,}存在一个收敛子列(xm}。设limx=x.k>0又因a≤xn≤b，由极限的不等式性质,可得a ≤ x, ≤ b.由于f(x)在点x,连续，根据归结原理A= lim f(x.) = lim f(x)= f(x)数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 0 0 lim ( ) , [ , ], ( ) . n n f x A x ab f x A →∞ = ∈= 那么存在 使 a x b, nk 又因 ≤ ≤ 由极限的不等式性质, 可得 . a ≤ x0 ≤ b 例2 ( ) [ , ] { } [ , ]. n 设 在 上连续， f x ab x ab ⊂ 如果 证 { } [ , ], n 因 x ab ⊂ {} . n 故 x 有界 由致密性定理， { } { }. n nk x x 存在一个收敛子列 lim . x nk x0 k = 设 →∞ 由于f (x)在点x0 连续，根据归结原理 lim ( ) k nk A f x →∞ = lim ( ) 0 f x x→ x = ( ). x0 = f 聚点定理与有限覆盖定理