柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限第八讲不定式极限（二）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 不定式极限（二） 第八讲 不定式极限
柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限2.二型不定式极限8定理6.8若函数f和g满足：(i) lim g(x) = 00;x-→xo(ii)在点x。的某右邻域U°(x)内二者均可导，且 g(x)± 0;f'(x)=A（A可以为实数，±0,8)lim(ii)g'(x)x-→xo则f(x)f(x)limAg'(x)g(x)x-→xtx-→xt数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 定理6.8 . 2. ∞ 型不定式极限 若函数 f 和 g满足： 0 (i) lim ( ) x x g x → + = ∞； 0 0 (ii) ( ) x Ux 在点 的某右邻域 + 内二者均可导， 且 g x ′() ; ≠ 0 ( ) 0 + ( ) (iii) lim , , . x x ( ) f x A A → g x ′ = ±∞ ∞ ′ 可以为实数 则 0 0 () () lim lim . x x () () x x fx f x A gx g x → → + + ′ = = ′ 不定式极限
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限分析要证明,对V>0,>0,当x0，3x, U'(x,),满足不等式x<x<x,的每一个x,f'(x)- A|<82g(x)由柯西中值定理，存在(x,x)(xo,x)，使f(x)-f(x) -'()g(x)-g(x) g()数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 分析 ( ) . ( ) f x A A g x − ε 0, ∃ > δ 0, 当x xx 0, ( ), x1 U x0 ∃ ∈ + 1 1 ( ) () () . ( ) () () fx fx f gx gx g ξ ξ − ′ = − ′ 使 不定式极限
柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限从而有f(x)- f(x)f'()a(1)2g()g(x )- g(x)于是f(x)_f(x)g(x)8g(x) g(x) 八 g(x)-g(x)2f(x)-f(x) f'()8(2)A+2)g'()g(x) -g(x)g(x)因为 lim三1，所以由保号性，存在正数g(x)- g(x)x→xot S(<xi -x),使得当x<x<x+,<x,时,数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 从而有 1 1 ( ) () () , (1) ( ) () () 2 fx fx f A A gx gx g ξ ε ξ − ′ −= −< − ′ 不定式极限 于是 2 A ε − < 1 1 () ( ) ( ) . (2) () ( ) () 2 fx fx f A gx gx g ξ ε ξ − ′ = = <+ − ′ + 0 1 ( ) lim 1, x x () ( ) g x → gx gx = − 因为 所以由保号性,存在正数 1 1 () ( ) () () () () ( ) f x f x gx gx gx gx gx − − 1 10 δ ( ) < − x x ， 0 01 1 使得当x xx x << + < δ 时
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限g(x)> 0,g(x) - g(x)从(2)式得f(x)-f(x)(-4)4-) g(x)g(x)(- (3g(x)由 lim g(x) = o, 得x-→>xo8f(x)- g(x))A-%lim+Lg(x)g(x)2x→x,f(x)(1-g( (4+号)88lim=A++g(x)2g(x)x→x数学分析第六章德微分中值定理及其应用?高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 从(2)式得 不定式极限 1 ( ) 0, () ( ) g x gx gx > − 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) f x f x g x A A gx gx gx gx ε ε −< − < + − 1 1 () () ( ) 1 () 2 () () g x f x f x A g x gx gx ε − −+ < 1 1 () () 1 . (3) () 2 () g x f x A g x g x ε <− + + + 0 lim ( ) , x x 由 g x 得 → = ∞ + 0 1 1 () () lim 1 x x () 2 () g x f x A g x g x ε → − −+ ; 2 A ε = − + 0 1 1 () () lim 1 x x () 2 () g x f x A g x g x ε → − ++ ; 2 A ε = +
柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限再由保号性得知，存在正数S(<S),当x<x<x+时f(x)A-8<=.A+&.g(x)f(x)这就证明了limA.g(x)x→xot思考：若A=+o0，一8或80，应该如何证明？注 这里的x→可以用x→x，x→xx→+80，x→-80，x→80 来替换.当然定理的条件要作相应的改变数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 再由保号性得知， ( ) . ( ) f x A A g x −< < + ε ε → + = 0 ( ) lim . x x ( ) f x A g x 这就证明了 思考：若A = +∞ − ∞ ∞ ， 或 , 应该如何证明？ 不定式极限 < << + 10 0 存在正数δ δ ( ), 当x xx δ 时 注 0 00 x x x xx x 这里的 可以用 ， ， → →→ + − 件要作相应的改变. x → +∞, x x → −∞ → ∞ ， 来替换 当然定理的条
柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限Inx求 lim例7x-→+x8解这是一型不定式18Inxxlimlim= 0.1x-→+00→+0xet例8 求 lim3x-→>+00xtettet解limlimlimJlim三.33x26x→+o 6xx-→+00x-→+0x→+0x=+8.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例7 ln lim . x x →+∞ x 求 解 . ∞ ∞ 这是 型不定式 1 ln lim lim x x 1 x x →+∞ x →+∞ = 不定式极限 例8 3 e lim . x x→+∞ x 求 解 3 2 e e lim lim 3 x x x x →+∞ →+∞ x x = e lim 6 x x→+∞ x = e lim 6 x x→+∞ = = +∞. = 0
不定式极限柯西中值定理62柯西中值定理和不定式极限2x + sinx例9 求极限limx->002x -sinx8解这是一个=型不定式.如果用洛必达法则，82x +sin x2+ cos x(4)limlimx→ 2x - sin xx→0 2-coSx2+cosx不存在，但是原极限而极限 limx→8 2-cosx1sin.x2 +2x + sin xx=1limJimx→o 2 - sinxx→ 2x - sin xxf'(x)f(x)不存在时,不能推出 lim不存在。ling(x)x>0g(x)Q数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例9 2 sin lim . x 2 sin x x x x →∞ + − 求极限 解 这是一个 型不定式. 如果用洛必达法则, ∞ ∞ 2 sin 2 cos lim lim . (4) 2 sin 2 cos x x xx x →∞ xx x →∞ + + = − − 2 cos lim , 2 cos x x →∞ x + − 而极限 不存在 但是原极限 不定式极限 sin sin 2 sin 2 lim lim 1. 2 sin 2 x x x x x x x x →∞ x x →∞ + + = = − − →∞ →∞ ′ ∴ ′ ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x x f x f x g x g x 不存在时,不能推出 不存在
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限arctanx例10 求极限 A= limx-→+ arctan2x元元解 因为Jlim arctanx =lim arctan2x :2'2x-→>+x→+00所以A= 1.若错误使用洛必达法则：1+4x21arctanxlim= lim=2x-+0 1 + x?2x-→+ arctan2x这就产生了错误的结果.这说明：在使用洛必达法或二型.则前，必须首先要判别它究竟是否是一08数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例10 arctan lim . arctan 2 x x A x →+∞ 求极限 = 解 π π lim arctan , lim arctan2 , x x 2 2 x x →+∞ →+∞ 因为 = = 不定式极限 所以 A = 1. →+∞ arctan lim x arctan2 x x 这就产生了错误的结果. 则前，必须首先要判别它究竟是否是 0 . 0 ∞ 或 型 若错误使用洛必达法则： →+∞ + = ⋅= + 2 2 1 14 lim 2, x 1 2 x x 这说明: 在使用洛必达法