高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）43 44 第四章 函数的连续性 s07习题课八 函数的一致连续性

函数的连续性习题课第八讲函数的一致连续性数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性函数连续的柯西准则函数在区间I上连续xI,>0, =(xo,)>0,使得Vxi, x, eU(xo,o), 1f(x)- f(x2)/0, 3S=S()>0, Vxi,X, I,只要 1x,-x<,就有 1f(x)-f(x)/<数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性·非一致连续函数f在区间I上非一致连续>0,对于 S>0,x,,I,虽然 1x x1<,但是 1f(x)f(x)≥01例如 课堂上我们学习了函数 f(x)=二x在区间（0,1)上连续，但是非一致连续数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性例1.设函数f在区间I上满足利普希兹条件，即由存在常数L>0，使得Vx,x,EI，有I f(x)-f(x2)/≤L/x -x2 1证明f在I上一致连续8证明对任意 ε>0，取=一Vx,x, EI,L+1由利普希兹条件，可得8I f(x)-f(x2)/≤LIx, -x2 I ≤L<8.L+1因此在I上一致连续数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性例 2.求证函数 f(x)= sin2x在（-o0,+8o）上一致连续.证明由于 Vxi,x, E(-0,+)f(x)- f(x2)= sinx; -sinx,(sin x, -sin x,).(sin’x, + sin X, ·sin x, + sin x2数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性所以I f(x)-f(x,)/≤3|sinx -sinx, IX, +X2X,一X2=3×2sincos122X2X<3≤6≤6sin1-x122因此f在（-0,+o）上满足利普希兹条件故f在（-,+o）上一致连续数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性例3.求证 f(x)= x2在（-o0,+0)上非一致连续分析即证 >0，对于>0,x1, X, =(-00,+ 00), 1x, -x2 /<8, Ix2 -x2 1≥ 80.注意到Ix-x[=x -X2 1 Ix +x 182+X2=x,Xi-X2=一分别令28即可.数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性1证明取%对于 s>0,2S1S18,+8)分别令X2一x,44S8S则[xi -<8,2Ix?-x2[=xi -x,1/ x +x,1828022S因此 f(x)=x2在（-0,+）上非一致连续数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性一致连续性定理(康托定理)若函数f在闭区间「a,b上连续则f在「a,b]上一致连续例如 函数f(x)=x2在（-o0,+）上连续，因此在每个闭区间「a,bl上一致连续但是 f(x)=x2在（-o0,+）上非一致连续数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性例4．若函数f在开区间(a,b)上连续求证：f在（a,b）上一致连续的充要条件是f(a+0),f(b-0) 均存在.证明(充分性)设 f(a+0),f(b-0)均存在.令f(a+0), x=a,F(x)=} f(x), xe(a,b),f(b-0), x=b则F在[a,b]上连续数学分析习题课高等教育出版社

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