数列极限习题课第四讲数列极限的存在数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங আ֚ઔ ֨ஒङߢӧރ
习题课数列极限单调有界定理数列(an）单调、有界，则(an）收敛，且lima,=sup[an)·若a单调递增、有界，有a,≤liman,所以n=1,2,.n->0 lima,=inf·若a单调递减、有界，有n =1,2,.a, ≥liman,所以n-0数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ऩ䇗᳝⬠ᅮ⧚ ᭄߫^ ` anऩ䇗ǃ᳝⬠ˈ · 㢹^ ` anऩ䇗䗦ǃ᳝⬠ˈ᳝lim sup n n ^ ` n a a ˈ of · 㢹^ ` anऩ䇗䗦ޣǃ᳝⬠ˈ᳝lim inf n n ^ ` n a a of ˈ ^ `n ߭aᬊᬯˈϨ ᠔ҹ lim , n n n a a of d ᠔ҹ lim , n n n a a of t n 1 2, , n 1 2, ,
习题课数列极限数列(1+)")单调递增、有界，且 lim(1+)"=e单调递减、有界，且lim(1+)"=e数列 (1+))故(1+)"<e<(1+)"+推得1n+1n数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᭄߫^ ` ऩ䇗䗦ǃ᳝⬠ˈϨ 1 1 n n 1 lim 1 n n n e of ᭄߫^ ` ऩ䇗䗦ޣǃ᳝⬠ˈϨ 1 1 1 n n 1 1 lim 1 n n n e of ᬙ 1 1 1 1 1 n n n n e ᕫ 1 1 1 1 1 ln n n n
习题课数列极限例1.设inn?2nlimc,7求证存在。n00由证明In(1+)<0,6n+1n+1有6n+数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 1. 䆒 䆕ᯢ lim n n c of 1 1 1 2 c n n ln n ∖䆕 ᄬ 1 1 1 1 1 n n ln n c c n 1 . n n c c ᳝ 0, ⬅
习题课数列极限由k+1k令k=1,2,.…,n-1，然后相加，得到In(n+1故In(n+1)-Inn<cn,数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᬙ 1 1 1 1 2 ln , n n 1 Ҹk n 12 1 , , ˈ✊ৢⳌࡴˈᕫࠄ 1 1 1 1 1 ln k k k ⬅ ln ln , 1 n nc n
习题课数列极限(cn}收敛.由单调有界定理注其中{c,的极限称为欧拉常数，即limc. = c = 0.5772156649..n>0由此1+Inn+c+&.-2nlime. = 0n>00数学分析习题课高等教育出版社
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习题课数列极限因为limc, = limC2n = cn>00n→00故O = lim2nn+2n+n->0In 2.0数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங Ў 2 lim lim n n n n c cc of of ᬙ 2 0 lim n n n c c of 11 1 2 12 2 lim ln . nof nn n § · ¨ ¸ © ¹ 11 1 2 12 2 lim ln , nof nn n § · ¨ ¸ © ¹ l 1 2
数列极限习题课数列子列性质数列（an）收敛的充要条件是(an）的任何子列均收敛并极限值均相等利用上述性质，我们可以判别一些数列的发散性数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᭄߫ᄤ߫ ᭄߫^ ` an ᬊᬯⱘܙ㽕ᴵӊᰃ ᄤ߫ഛᬊᬯᑊᵕ䰤ؐഛⳌㄝ. ˈϞ䗄ᗻ䋼⫼߽ ᗻ䋼 ^ `n a ⱘӏԩ ៥Ӏৃҹ߸߿ϔѯ᭄߫ⱘথᬷᗻ.
习题课数列极限n元lim sin不存在.例2.证明4n>00证明设n元sina.n4则=0=1agn+2 =ast故（a有两个子列趋于不同值，说明该数列的发散数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 2. 䆕ᯢϡᄬ 䆕ᯢ 4 limsin n nS of ߭ 4 n sin n a S 8 0 n a 8 2 1 n a ᬙ^ ` an ᳝ϸϾᄤ߫䍟Ѣϡৠؐˈ 䇈ᯢ䆹᭄߫ⱘথᬷ. 䆒
习题课数列极限(an)无界，证明存在子列(an）有例3.设数列lima,=8.nkn-00证明数列（a无界的定义：VM >0, n e N,an>M等价的有[an/>MVNeN,En.>N,VM >0,数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 3. 䆒᭄߫᮴⬠ˈ䆕ᯢᄬᄤ᳝߫ lim = . n nk a of f ᭄߫^ ` an᮴⬠ⱘᅮН˖ ^ `n a 0 n , ㄝӋⱘ᳝ ^ ` nk a 0 > . n a M 䆕ᯢ ! M 0, 0 > . n a M ! M 0, N , n N 0> ,