数列极限习题课第三讲数列极限数学分析习题课高等教育出版社
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习题课数列极限极限的定义lima,=a V>O,NeN,Vn>N,n-→00有an-a0，在（a-8,a+s)外至多有有限项．这些有限项的最大下标为N，n>N时,an(a-8,a+）．直观上(an）中的项凝聚在a的周围.数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᵕ䰤ⱘᅮН H ! 0, ᇍӏᛣⱘH>0ˈ 䖭ѯ᳝䰤乍ⱘ᳔ϟᷛЎ Nˈn N > ⱘ਼ೈ Ⳉ㾖Ϟ^ ` n Ёⱘ乍ޱ㘮 a a lim n n a a of ԩᛣН a a -, + H H㟇 ᳝᳝䰤乍 ᯊˈa aa n -, + H H N , n N ! , - <. n ᳝a a H
习题课数列极限发散的定义注意到（a）发散是指，对任何实数a，liman≠aVaeR, 3,>O, VNeN,(an)发散台En>N,an-a≥8.几何方法对任何实数a，存在>0，(a-8,a+）外只有有限多项数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங থᬷⱘᅮН 0 - . n a a t H ⊼ᛣࠄ ` ^anথᬷᰃᣛˈ lim n n a a of z ᇍӏԩᅲ᭄aˈ 0 0 a a - ,+ H H া᳝᳝䰤乍. ᇍӏԩᅲ᭄aˈ ^an`থᬷ a , 0 H ! 0, N , n N ! , ԩᮍ⊩ ᄬH0>0ˈ
习题课数列极限例1.用ε-N定义证明5n2+n-25lim33n2-2n->00证明5+n-23n+45n33n2-23n--24n2Z<8,3×2n23n数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 1. ⫼ᅮН䆕ᯢ 䆕ᯢ 2 2 5 + -2 5 = 3 -2 3 lim n n n of n H -N 2 2 2 5 + -2 5 3 +4 - = 3 -2 3 3 3 -2 nn n n n 2 4 3 2 n n d u 2 = 3n 4 n
习题课数列极限取N=max38当 n>N 时,5n2+n-233n2-2注意这里运用了“放大法”lan-a<G(n)<数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங প 䖭䞠䖤⫼њĀᬒ⊩ā 2 = ,1 3 N max H ½ ® ¾ ¯ ¿ ᔧn N >ᯊˈ 2 2 5 + -2 5 - <. 3 -2 3 n n n H ⊼ᛣ a a Gn n - < <. H
习题课数列极限例 2.证明 limsin n 不存在n-0证明VAεR，不妨 A≥0,ε=号，VN>0在开区间（2N元+元,2N元+元）中取自然数n，TOT元5则12sin n-A=A-sin n。>AZ602数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 2. 䆕ᯢlimsin ϡᄬ n n of A ˈϡོAt0ˈ 2 0 2 H = ˈN >0 ߭ 5 7 4 4 ᓔऎ䯈2 + ,2 + N N SSSSЁ 0 0 sin sin nA A n - =- 䆕ᯢ প㞾✊᭄n0ˈ 0 2 > + 2 A t H 7 5 1 4 42 S S S !
习题课数列极限例3.设lima,=a，对任意正整数k，证明n→lim an+k =a.n→0注意这里(antk）是数列(an)删去前面 k 项所得.证明lima,=a= V>0,3NeN,Vn>N,有a,-aN ，所以8[an+k -alim a n+k =a.1n-→8数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 3. 䆒ˈᇍӏᛣℷᭈ᭄ˈ䆕ᯢ 䆕ᯢ lim n = n a a of ⊼ᛣ 䖭䞠ᰃ᭄߫ߴএࠡ䴶 乍᠔ᕫ k lim + = . n k n a a of ^ ` n k+ a ^ `n a k 0, , , - ˈ + - <. n k a a H lim + = . n k n a a of ? lim n n a a of ᠔ҹ
习题课数列极限例4.设lima,=a≠0，求证：lim(-1)"a,不存在n-80证明（采用几何方法予以证明）不妨设 a>0，由lim,=a，对%=>0,NeN, Vn> N, 有a,e(a-8o,a+)对 VAR，不妨A>O，当n>N时，(-1)2"- a2n- E(-a-80,-a+80)数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 4. 䆒ˈ∖䆕˖ϡᄬ ˄䞛⫼ԩᮍ⊩ќҹ䆕ᯢ˅ lim = 0 n n a a of z 0 0 - ,+ . n ᳝a aa H H ϡོ䆒a>0ˈ lim -1 n n n a of ᔧn N> ᯊˈ 2 -1 2 -1 0 0 -1 - - ,- + n n a aa H H 䆕ᯢ lim n n a a of ⬅ 0= 0 2 , a ᇍH ! N , ! n N, ᇍAˈϡོA>0ˈ
习题课数列极限而(-a-80,-a+8)n(A-80,A+8)=Φ故在（A-80,A+）外有（(-1)"a）的无穷多项说明lim(-1)" a, ± A.lim(-1)"an不存在由此可得数学分析习题课高等教育出版社
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习题课数列极限数列极限的性质我们已经学习了数列极限的一些重要性质1.唯一性2.有界性3.保号性5.迫敛性6.四则运算4.保不等式性数学分析习题课高等教育出版社
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