习题课数集的界与确界第一讲数集的界与确界数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ Эங ࣙЉगࣩࣙ୳ݤ আ▲ઔ ރதङउЊेउ
习题课数集的界与确界有界数集的概念·非空集合S是有界集合：存在正数M，使得对任意的xES，有 Ix|≤M.注 有界集的几何意义是它位于某闭区间内，非空集合S是有上界集合：存在正数M，使得对任意的 xES，有 x≤M.数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ Эங ᳝⬠᭄䲚ⱘὖᗉ e䴲ぎ䲚ড়Sᰃ᳝⬠䲚ড়˖ ᇍӏᛣⱘ x S ˈ ᳝⬠䲚ⱘԩᛣНᰃ ᇍӏᛣⱘx S ˈ᳝x M d. ࣙЉगࣩࣙ୳ݤ ᄬℷ᭄MˈՓ ᕫ ᳝|| . x Md ⊼ e䴲ぎ䲚ড়Sᰃ᳝Ϟ⬠䲚ড়˖ᄬ ℷ᭄MˈՓ ᕫ ݙᅗԡѢᶤ䯁ऎ䯈
习题课数列极限·非空集合S是有下界集合：存在正数M，使得对任意的 xE S，有 x≥-M.注集合有界的充要条件是既有上界又有下界注 若 M是S的上界，比M 大的数均为 S上界思考集合无界（无上界、下界）该如何刻划？数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங 䲚ড়᳝⬠ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ ᇍӏᛣⱘx S ˈ᳝x M t. 㢹MᰃSⱘϞ⬠ˈ 䲚ড়᮴⬠˄᮴Ϟ⬠ǃϟ⬠˅䆹བԩߦࠏ˛ e䴲ぎ䲚ড়Sᰃ᳝ϟ⬠䲚ড়˖ᄬ ℷ᭄MˈՓᕫ ⊼ ⊼ ↨Mⱘ᭄ഛЎSϞ⬠ ᗱ㗗 ᮶᳝Ϟ⬠জ᳝ϟ⬠
数列极限习题课例1.求证集合S既有上界又有下界，其中S ={/2" +3"|n=1,2,..j证明 取 M=6，则/2" +3"≤/2.3"≤6同理可证有下界注这里所取上界不一定是最佳，我们并不强调其最佳性数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 1. ∖䆕䲚ড়᮶᳝Ϟ⬠জ᳝ϟ⬠ˈ݊Ё { 2 3 | 1, 2, } n n n S n S পM 6ˈ߭ 2 3 23 n n nn n d ৠ⧚ৃ䆕᳝ϟ⬠ 䖭䞠᠔পϞ⬠ϡϔᅮᰃ᳔Շˈ 䆕ᯢ d 6 ⊼ ៥Ӏᑊϡᔎ䇗᳔݊Շᗻ
习题课数列极限例2.证明 S={(1+(-1)")n|n=1,2,无上界证明VM>1,取x。 = 4[M +1] E S.则 x>M.注这里必须保证XES数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 2. 䆕ᯢ᮴Ϟ⬠ M!1, প ߭ {(1 ( 1) ) | 1,2, } n S nn 0 x M 4 1 [ ] 0 x M! . 䖭䞠ᖙ乏ֱ䆕x S 0 䆕ᯢ ⊼ S,
习题课数列极限例3.设S是一个无限数集，常数8>0.如果对 Va,bS，只要a≠b，有 la-b≥ 成立求证：S是无界集合证明（反证法）假设S是有界集，则存在 M>0，使得VxES，Jx≤M.取自然数n：<S.将-M,Ml等分成2n个闭区间：数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 3. 䆒ᰃϔϾ᮴䰤᭄䲚ˈᐌ᭄བᵰ ᇍ ab S ,ˈা㽕ˈ᳝៤ゟ S G ! 0 a b z a b t G ∖䆕˖Sᰃ᮴⬠䲚ড় ؛䆒Sᰃ᳝⬠䲚ˈ Փᕫ x S, ᇚ>M M , @ ㄝߚ៤2nϾ䯁ऎ䯈˖ 䆕ᯢ ߭ᄬ ˄ড䆕⊩˅ M ! 0, x Md . M . প㞾✊᭄ n ˖n G
习题课数列极限[-M,-M+T[-M+,-M+2M]..,[-,0][O,],[,2M],..因 S是无限集，上面的闭区间中至少有一个包含S的两个不同元素a,b，此时有M≤=<8,n产生矛盾，因此 S是无界集数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங 1 2 0, , M MM n M n nn n M 1 n ˈ ˈ ˈ ª º ª º ª º ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ Ϟ䴶ⱘ䯁ऎ䯈Ё㟇ᇥ᳝ϔϾ ࣙSⱘϸϾϡৠܗ㋴a b , ˈ M a b n d ℸSᰃ᮴⬠䲚 2 , , , , , ,0 , M M MM MM M M n nn n ª ºª º ª º ¬ ¼¬ ¼ ¬ ¼ M n Sᰃ᮴䰤䲚ˈ ℸᯊ᳝ G , ѻ⫳Ⳓˈ
习题课数列极限数集确界的概念数n是非空集合S的上确界是指：1)对VxES,有x≤n;2）对αα即n是s的最小上界，记作n = sup s数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᭄䲚⹂⬠ⱘὖᗉ ᭄ Kᰃ䴲ぎ䲚ড় SⱘϞ⹂⬠ᰃᣛ˖ ˅ᇍx S ˈ᳝xdK˗ ˅ᇍ D Kˈ 0 x S ˈ े KᰃSⱘ᳔ᇣϞ⬠ˈ K sup S 0 Փᕫ x !D. 䆄
数列极限习题课其中条件2）相当于2’）对ε>0,xS，使得xo>n-8数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ݊Ёᴵӊ˅ⳌᔧѢ ÿ˅ᇍH!0ˈ 0 x S , 0 x ! K H Փᕫ
习题课数列极限数是非空集合S的下确界是指1)对VxES,有 x≥n;2）对 Vβ>，x。ES,使得 x<β即是S的最大下界，记作S=inf S数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᭄[ᰃ䴲ぎ䲚ড়Sⱘϟ⹂⬠ᰃᣛ˖ ˅ᇍx S ˈ᳝ x tK ; ˅ᇍ E ![ˈx S 0, [ inf S े[ᰃSⱘ᳔ϟ⬠ˈ 0 Փᕫ x E. 䆄