第四章函数逼近81 函数的最佳逼近S2 离散数据的最佳逼近S3 Fourier逼近
§1 函数的最佳逼近 §2 离散数据的最佳逼近 第四章 函 数 逼 近 §3 Fourier逼近
82离散数据的最佳平方逼近给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是的一种手段。但在实际问题中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：①不要求过所有的点（可以减小误差影响）；②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。如：5个风景点，要修一条公路主干道S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小，而不要求公路通过所有的风景点
§2 离散数据的最佳平方逼近 给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是的一种手段。 但在实际问题中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也 包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段： ①不要求过所有的点（可以减小误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。 如：5个风景点，要修一条公路主干道S使得S为直线，且到所有风景点 的距离和最小，而不要求公路通过所有的风景点
口一个实际问题生产实践中，为了考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系，测量得到如下数据：编拉伸强度编拉伸强度编拉伸强度号号号倍数(x)倍数(x)倍数(x)(y)(y)(y)19517441. 91. 45. 5210182541. 35. 23. 53611194. 52. 11.85. 54. 2412202. 52. 56. 36. 44. 63. 55136216. 52. 72. 88.98.569814222. 72. 57. 15. 371583233. 56. 59.58. 188267242. 7103. 58.1
一个实际问题 生产实践中,为了考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系, 测量得到如下数据: 编 号 拉伸 倍数(x) 强度 (y) 编 号 拉伸 倍数(x) 强度 (y) 编 号 拉伸 倍数(x) 强度 (y) 1 1.9 1.4 9 5 5.5 17 4 4 2 2 1.3 10 5.2 5 18 4 3.5 3 2.1 1.8 11 6 5.5 19 4.5 4.2 4 2.5 2.5 12 6.3 6.4 20 4.6 3.5 5 2.7 2.8 13 6.5 6 21 8.9 8.5 6 2.7 2.5 14 7.1 5.3 22 9 8 7 3.5 3 15 8 6.5 23 9.5 8.1 8 3.5 2.7 26 8 7 24 10 8.1
9由Matlab做图（或经验公式）：0x,y之间近似存在线性关系，7即:656y(x)= β +βrx4其中β,β待定。3希望：J(x)=β+β,x与所有的473.568910数据点(x，y)越接近越好！即: 若记8, = y(x,)-y,(i=1, 2,", n),要求其在“某种标准”下”整体”最小！选它，求解它等曼心衡量标准：要求max|s,、[s,方便！即为1<i≤ni=1曲线拟合问题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y x x 0 1 ( ) 由Matlab做图(或经验公式)， x,y之间近似存在线性关系， 即： , 其中 待定。 0 1 ( ) ( , ) i i y x x x y 希望： 与所有的 0 1 数据点 越接近越好！ 衡量标准： ( ) i i i 即：若记 ( =1,2, , )， y x y i n 要求其在“ ”下 某种标准 整“ 体” 最小！ max n n i i i i n i i 2 1 =1 =1 要求 | |、 | |、 等最小 选它，求解 方便！即为 曲线拟合问 题
口线性最小二乘拟合问题设。(x),P(x),",P,(x)是C[a,b]上线性无关的函数族，对给定的数据(x,y)，要求在Φ = span(p(x),P(x),...,P,(x))=(p(x) / p(x) = aop(x)+ap(x)+ ...+a,p,(x)中找一个函数s*(x)=a,p.(x)+a'p(x)+...+a.p,(x)使得[ol, -8} =Z[s(x,) -y,了= min[s(x,)-y,了其中8=(S,S,,..,8.),m》n(一般情况下)称函数s*(x)为问题的最小二乘解
线性最小二乘拟合问题 ( ), ( ), , ( ) [ , ] , n m i i i x x x C a b x y 0 设 是 上线性无关的函数族，对给定的 0 1 数据 ， s x( ) 称函数 为问题的最小二乘解。 { ( ), ( ), , ( )} n span x x x 0 1 ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) x x a x a x a x 0 0 1 1 n n ( ) ( ) ( ) ( ) n n s x a x a x a x 0 1 要求在 使得中找一个函数 ( ) m m i i i i i s x y 2 2 2 2 0 0 其中 ( , , , ) , ( ). T 1 2 m m n 一般情况下 ( ) min ( ) 2 i i s x s x y
口求法:s*(x)=a(x)+ap(x)++a,@,(x)，其中p,(x)为基函数(已知)。..求s(x)台求ao,a,.,an,使m(., -[2. (.) -,=mink=(显然，Q是关于ao,a,…a,的二次多项式且正定因此，一定存在最小值由多元函数取得极值的必要条件，有α =0 (j= 0,1,,n)aa;aQ≥2(Z即axPr(x,)-y,)p,(x,)) = 0aa;i=0k=0
求法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 n n j s x a x a x a x x 0 1 ，其中 为基函数(已知)。 s x( ) 求 ( , , , ) ( ) 2 0 1 0 0 m n n k k i i i k Q a a a a x y min , , , 显然， 是关于 的二次多项式且正定 Q a a a 0 1 n 因此，一定存在最小值 由多元函数取得极值的必要条件，有 ( , , , ) j Q j n a 0 0 1 j Q a [ ( ( ) ) ( )] m n k k i i j i i k a x y x 0 0 即 2 0 , , , , n a a a 求 使 0 1
a甲(x,),(x,)-y,p,(x,)=0亦即k=0i=0ZaZ(x,,(x,)-Zy,,(x) j=0,1,.,nk-0i=0-Pr =(Pr(xo),Pr(x),..-Pr(x.)e R"记向量y=(yo,i,",ym)eR"20(4)(5)-(0.9)-0/0,则i=020(0)=(0. )=0lyi=0m2a,(x,);(x)=y9,(x)故j= 0,1,...,ni-(k=-0-a (,,,)=(j,),j =,..,.n--法方程组k=0
亦即 [ ( ) ( ) ( )] m n k k i j i i j i i k a x x y x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n m m k k i j i i j i k i i a x x y x j n 0 1, , , 记向量 ( ( ), ( ), , ( ))T k k k k m x x x 0 1 ( , , , )T m y y y y 0 1 则 ( ) ( ) ( , ) m T k i j i k j k j i x x 0 ( ) ( , ) m T k i i k k i x y y y 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n m m k k i j i i j i k i i a x x y x ( , ) ( , ), , ,., n k k j j k a y j n 0 0 1 m R m R 故 j n 0 1, , , -法方程组
Za(甲r,甲,)=(甲,y) j=0,1,即ao,a,...,a,应满足：k=0j=0时(Po,P)a, +(Pi,P)a +(P2,P)a, +...+(Pn.)a, =(Po,y)j=1时(Po,P)a, +(P1,P)a, +(P2,P)a, +...+(Pn,)a, =(Pi,y)(Po,P2)a +(P,P)a +(P2,P)a, +...+(PnP)a, =(P2, y)j=2时j=n时(Po,Pn)a, +(P,,)a +(P2,Pn)a, +...+(PnPn)a, =(Pn,y)表示为矩阵形式，有ao((Po, y))(PP)(P,甲)(Po,P)...(o,)(q,y)(Pi,P,)(P1,)(Pi,Pn)a,(P,甲,)(P2,y)(P2,P)(P2,)..(P2,n)az(2,P2)-(Pn,P)(Pn)(Pn)...(PnPn)))((n,y)(an)一-法方程组的内积形式
( , ) ( , ), , ,., n k k j j k a y j n 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n 0 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0 a a a a y j 0时 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n 0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 a a a a y j 1时 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n 0 2 0 1 2 1 2 2 2 2 2 a a a a y j 2时 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n 0 0 1 1 2 2 a a a a y j n 时 . , , , n a a a 即 应满足： 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) . . . . . . ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) n n n n n n n n n a y a y a y a 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 1 2 . ( , ) n y 表示为矩阵形式，有 -法方程组的内积形式
p,(x))P(x.)9(x)9(x),(x)P(x)...G=(go P.... P.)再记：：.......P(x.) ... P.(x.)P.(x.)0(... .of ... .则2-/9G'G=.0..TP.p. P.on ... Phe..pr(o,p)(o,q)... (Po,P,)(P,P)(P,P)... (,甲n)...(n,Pn)(Pn,P.)(Pn,P)oyof(po,y)·法方程组的内积形式qf(pi,y)qfyG'Ga=Gy..*...phyo"(Pn,y)一一法方程组的矩阵形式
再记： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m n m x x x x x x G x x x 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 则 T T T n T n G G 0 1 0 1 . . . . . . T T T n T T T n T T T n n n n n n 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) . . . ( , ) ( , ) . ( , ) n n n n n n 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 T T T T n G y y 0 1 T T T n y y y 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) n y y y 0 1 法方程组的内积形式 T T G Ga G y -法方程组的矩阵形式 0 1 n
口几点备注1、法方程组GTGa=GIy一定有解！证明：往证 R(G'G)=R(G'G,G'y)由线性代数可知下式成立R(G) = R(GT) = R(GTG)又因为R(G'G)≤ R(G'G,G'y) = R(GT (G,y)≤ R(GT) = R(G'G)所以R(G'G)= R(GTG,GTy)
几点备注 T T 1、法方程组 一定有解！ G Ga G y 证明： ( ) ( , ) T T T 往证 R G G R G G G y 由线性代数可知下式成立 ( ) ( ) ( ) T T R G R G R G G 又因为 ( ) ( , ) T T T R G G R G G G y , ( ) T T R G G y R G ( ) T R G G 所以 ( ) ( , ) T T T R G G R G G G y