华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第2章 数列极限

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限第二章数列极限81数列极限概念一、数列极限的定义函数f:N→R,nHf(n)称为数列。f(n)通常记作a,a,.,a.....或简单地记作(a,}，其中a,称为该数列的通项。111例如：(a:1...，通项a.=2"n"n如何描述一个数列“随着n的无限增大，α，无限地接近某一常数”。下面给出数列极限的精确定义。定义1设(a)为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有lan-a0，因为a,-c=c-c=0N时，便有la,-c<1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 一、数列极限的定义 中国矿业大学数学学院 1 函数 f : , N nf ( )   R  n 称为数列。 f ( ) n 通常记作 1 2 , n aa a   或简单地记作 ，其中 称为该数列的 an }{ an 通项。 例如： 1 1 { }:1, , , , 2 n a n  ，通项 1 n a n  。 如何描述一个数列“随着 的无限增大， 无限地接近某一常数”。下面给出数列极限 的精确定义。 n n a 定义 1 设 为数列， an }{ a 为定数．若对任给的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，有 N n N n a a    则称数列 收敛于 an }{ a ，定数 称为数列 的 a an }{ 极限，并记作 n aa n   lim ，或 naa  )( n 读作“当 n 趋于无穷大时，an的极限等于 或 趋于 ”． a an a 若数列 没有极限，则称 不收敛，或称 为 an }{ an }{ an }{ 发散数列． 【注】该定义通常称为数列极限的“  N 定义”。 例 1 设 （常数），证明 n a c  lim n n a c   . 证 对   0，因为 0 n a c cc    恒成立，因此，只要取 ，当 N 1 n  N 时，便有 n a c   

华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限这就证得limc=c.1例2lim-=0(α>0).n→n证对>0，要：6只要取N则当n>N时，便有+1117-=0。这就证得lim二m-ann例3lim1n-→ n+1证因为nntin+11对V>0，取N：则当n>N时，便有+1，L]n0，G>0，当n>G时，有a,α。【2】定义中a,-a0为常数）。即>0，N>0，当>N时，有a-≤c。2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 这就证得 lim . n c c   例 2 1 lim 0 n n  ( 0   ) . 证 对   0，要 1 1 0 n n     只要 1 n   只要取 1 N 1          ，则当 时，便有  Nn 1 1 0 n n     这就证得 1 lim 0 n n  。 例 3 lim 1 n 1 n  n   . 证 因为 1 1 1 1 1 n n n n      对   0，取 1 N 1          ，则当 时，便有  Nn 1 1 1 1 1 n n nn       这就证得 lim 1 n 1 n  n   。 关于数列极限的“  N 定义”，作以下几点说明： 【1】定义中 不一定取正整数，可换成某个正实数。 N 即    0，G  0 ，当n  G 时，有 n a a    。 【2】定义中 n a a    可换成： n a ac    （ 为常数）。 c  0 即    0，N  0 ，当 时，有 n N  n a ac    。 中国矿业大学数学学院 2

华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限【3】定义中>0可换成：V06。1例4证明lim-=0，这里α为正数.1-→na对>0，要证1.08nan只要1n>la1（注：上式用到幂函数x(x>0)是增函数)。1只要取N=则当n>N时，便有lla,10=na例5证明limq"=0，这里|ql0，有Iql1Iq"-0Hq"=(1 + h)"由(1+h)”≥1+nh（二项展开或伯努利不等式）得到11Iq≤I+nhnh1对任给的ε>0,只要取N=则当n>N时，便有lq"-0k。ch证法22利用对数函数y=lgx的严格增性来证明。设00（不妨设Ig/q lIgo（注意分子分母都是负数）。于是，只要取N=一即可。IgIql3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 【3】定义中   0可换成： 0 0     。 例 4 证明 0 1 lim    n n ，这里 为正数. 证 对   0，要 1 1 0 n n       只要 1/ 1 n    （注：上式用到幂函数 1 x x( 0   ) 是增函数）。 只要取 1/ 1 N    ，则当 时，便有  Nn 1 1 0 n n       例 5 证明 ，这里 lim 0 || 0（不妨设 <1），为使   ，只要 n n qq |||0| qn  lg||lg  即 lg lg | | n q   （注意分子分母都是负数）。于是，只要取 ||lg lg q N   即可。 中国矿业大学数学学院 3

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限例6证明lima=1，其中a>0。证（1）当a=1时，结论显然成立（2）当a>1时，记α=αn-1，则α>0（因为α增，αl/n>α°=1）由a=(1+α)" ≥1+nα=1+n(al/n_1)得1q"-l≤a-1na-1任给>0，取N=时，则当n>N，便有8qln-1≤a-11，从而a-- -1/b利用（2）的结果，得证。例7证明lim/n=1证设n≥2。记h,=/n-1>0则有（由二项展开）n=(1+h,) =1+nh, +"(n-1),n(n-l)22h...h. ≥224得20N时，有Sh,=n-1<6下面是数列极限“ε-N定义”，否定形式4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 例 6 证明  1lim n n a ，其中a >0。 证 （1）当 a  1时，结论显然成立. （2）当 时，记 a  1 ，则 1/ 1 n    a   0（因为 x a 增， ）.由 1/ 0 1 n a a   1/ (1 ) 1 1 ( 1) n n a nn        a 得 1 1 1 n a a n    任给  0 ，取 a 1 N    时，则当 n  N ，便有 1/ 1 1 n a a n      （3）当  a  10 时，令b a １>1，从而 1 1 1 n n n n b a b b      利用（2）的结果，得证。 例 7 证明lim 1 n n n   . 证 设 。记 n  2 1 0 n n h n    则有（由二项展开）       2 2 2 1 1 1 1 2 2 n nn n n n n n n n n h nh h h           2 4 n h 得 2 0 n h n   取 2 4 N max 2,       ，则当 时，有 n N  1 n n h n     下面是数列极限“  N 定义”，否定形式： 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限数列(a)不以a为极限的定义：3>0,VNN，En>N，使得am-a≥8数列(a，发散的定义：VaeR,3>0,VNeN,,n>N,使得am-a≥%h3lim-0例8n+l证因为n+nn所以，取=1，对VNN，取n=N+1>N，有ng+1-0=1+↓≥6 =1nono例9证明((-1)"是发散数列证对任何aER，当α≥0时，取6=1，则对所有奇数n，有(-1"-α=1+a≥8当α0，若在U(a,s)之外数列(a,)中的项至多只有有限个，则称数列(a,)收敛于极限α.其否定形式：若存在常数8>0，使得数列(a,)中有无穷多个项落在U(a,ε)之外，则(a,)一定不以a为极限.例10设limx=limy=a，做数列（z）如下：(zn:X1,yi,X2.y2,*,Xn,yn,..5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 数列an 不以 a 为极限的定义： 0    0 ， ， ，使得   N N 0   n N 0 n 0 a a    。 数列an 发散的定义：  a R ， 0    0 ，  N N ， 0 n N  ，使得 0 n 0 a a    。 例 8 lim 0 n 1 n  n   . 证 因为 1 1 01 1 n n n     所以，取 0  1，对 ，取   N N 0 nN N   1 ，有 0 0 0 0 1 1 01 1 n n n       例 9 证明( 1)  n  是发散数列． 证 对任何a R， 当 时，取 a  0  0  1，则对所有奇数 ，有 n 0 ( 1) 1 n     a a  当 时，取 a  0  0  1，对所有偶数 ，有 n 0 ( 1) 1 n     a a  二、数列极限“几何定义” 画图对定义 1 作几何解释（待补）。 定义 2 任给 >0，若在 U( , ) a  之外数列an 中的项至多只有有限个，则称数列  收敛于极限 ． an a 其否定形式： 若存在常数 0   0 ，使得数列 中有无穷多个项落在 }{an U( , ) a  之外，则 }一定不 以 为极限． an { a 例 10 设 n ayx ，做数列 如下： n n n   limlim }{ n z .,:}{ n 2211  yxyxyxz nn  中国矿业大学数学学院 5

华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限证明limz,=a.证因limx,=limy,=a，故对任给的>0，数列(x,)和(y)中落在U(a,8)之外的项都至多只有有限个所以数列（，中落在U(a,6)之外的项也至多只有有限个故由定义2证得limz，=a.【注】上面例题是以后常用的结论。下面用子列的概念改写成定理。定理对于数列(a,)，如果它的奇子列与偶子列都收敛于同一个数α，则a,)也收敛于a。即如果lima2,=lima2m-1=a，则lima,=a。例11设(a,)为给定的数列，{b,}为对(a,)增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列(b,)与{α,}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等证设(a,)为收敛数列，且lima,=α，按定义2，对任给的ε>0，数列(a,}中落在U(a,ε)之外的项至多只有有限个。而数列(b,)是对(a,)增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，(b,}中的每一项都是(a,}中确定的一项，所以(b,)中落在U(a,)之外的项也至多只有有限个．这就证得limb，=a.设(α,)发散.倘若(b,)收敛，则因(α,}可看成是对(b,)增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{α,}收敛，矛盾．所以当(α,)发散时，(b,}也发散。三、无穷小与无穷大，有界与无界在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义3(1）若lima，=0，则称(a,)为无穷小数列（2）VG>0,3NeN+，当n>N时，有a,>G，则称(a)为正无穷大数列，记作lima,=+o0。（3）类似可定义：lima，=-006中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 证明 n az .limn   证 因lim lim n n n n x y a     ，故对任给的  0 ，数列 xn }{ 和{ yn }中落在 U( , ) a  之外 的项都至多只有有限个. 所以数列 中落在 }{ n z U( , a  ) 之外的项也至多只有有限个．故由定 义 2 证得 ．azn  lim n 【注】上面例题是以后常用的结论。下面用子列的概念改写成定理。 定理 对于数列an  ，如果它的奇子列与偶子列都收敛于同一个数 ，则 a an  也收敛 于 。即如果 a 2n li ，则 n n a 2 1 lim m n a      a lim n n a a   。 例 11 设 为给定的数列， 为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数 列．证明：数列 与 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等． }{an }{bn }{bn }{an }{an 证 设 为收敛数列，且 }{an n aa n  lim ．按定义 2，对任给的 >0，数列 中落在 U( }{an a; )之外的项至多只有有限个．而数列 是对 增加、减少或改变有限项之后得到 的，故从某一项开始， 中的每一项都是 中确定的一项，所以 中落在 } }n {bn {a }{an }{bn } bn { U(a, )  之 外的项也至多只有有限个．这就证得 bn a n  lim ． 设 发散．倘若{ 收敛，则因{ a 看成是对{b 加、减少或改变有限项之后 得到的数列，故由刚才所证，{a 敛，矛盾．所以当{a 散时，{bn 发散． }{an } bn }n 可 增 收 发 也 }n }n }n } 三、无穷小与无穷大，有界与无界 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义 3 （1）若  0lim n n a ，则称 为 an }{ 无穷小数列． （2） 当 时, 有 ，则称 为正无穷大数列，记作 。 G NN 0, ,     n N  n a G }{an lim n n a    （3）类似可定义： lim n n a    中国矿业大学数学学院 6

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限（4）类似可定义：lima，=00。定义4如果(a,）有界（同函数有界），即EM>0，VnEN，都有a,≤M则称(a,}是有界数列。类似可定义：无界数列，有上界，无上界等。下面列几个显然成立的结论（作为习题）：(1)lima,=a(a,-a为无穷小数列.1(2)是无穷大。(a,)(a,0)为无穷小[an](3)lima,=+o=(a)无上界，但反之不然。(4)无穷小数列与有界数列的乘积仍是无穷小数列。最后再举几个例题，这些例题都是以后常用的结论。例12lima,=a=liman=al。反之不然。证设lima,=a，据定义>0,N，当n>N时，有,-a从而a,|-a≤a-a，即lima,=al。反之，设（a：1,-1,1,-1,。显然lima|=1，但{a)发散。【注】 lima, =0 lim|a,|=0。例13 设lim=A(4±0,b,0),如果lima,=0,则imb,=0。limb,[a,limA>0，据定义，对6。=，A>0,N,N,当n>N时，有证由上例，hm[6b.][4-4+4A[b.即14[6,] <1a,]号4[6,]7中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 （4）类似可定义： lim n 。 n a    定义 4 如果 有界（同函数有界），即 }{an   M 0 ，n N   ，都有 n a M 则称{an }是有界数列。 类似可定义：无界数列，有上界，无上界等。 下面列几个显然成立的结论（作为习题）： （1） lim n n a a    aa }{ n  为无穷小数列． （2） { } a a n n ( 0)  为无穷小 1 n a        是无穷大。 （3） lim n   n a     n a 无上界，但反之不然。 （4） 无穷小数列与有界数列的乘积仍是无穷小数列。 最后再举几个例题，这些例题都是以后常用的结论。 例 12 lim lim n n n n aa a a      。反之不然。 证 设 ，据定义 lim n n a   a    0, , N N 当 时 n N  , 有 n a a    ， 从而 n n a a aa     ，即 lim n n a a   。 反之，设  :1, 1,1, 1, n a   。显然 lim 1 n n a   ，但an  发散。 【注】 lim 0 lim 0 n n n n a a     。 例 13 设lim ( 0, 0) n n n n a AA b  b  ，如果 lim 0 n n a   ，则 lim 0 n n b   。 证 由上例，lim 0 n n n a A  b   ，据定义，对 0 1 1 0, , 2    A N N 当 时 n N  1 , 有 1 1 2 2 n n a AA A b    A 即 1 3 2 2 A n n n b a Ab   中国矿业大学数学学院 7

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限再由lima,=0，据定义对V>0,N,N当n>N,时，有a,N时，有号[4[6,] 0,,n>a-从而当n>N,时，有[(a -a)+(a, -a)+...+(a, -a)a, +a,+...+an2ha-a+a,-a+..+an-aan+-a+an+-a+...+an,-annA.(n-N)A.E2n2n其中A=-a+,-a+.一是一个定数。AA=O，知N,E，当>,时，有再由lim有Lnn取N=max(N,,N)，则当n>N时,有a +a, +...+anA666=8222nn4+a, +a=0.【注】该结论反之不成立。例如a，=(-1)"不收敛，但limn中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 再由 lim 0 n ，据定义对 n a   2     0, , N N 当 时 n N  2 , 有 n a   。 于是，取 N N  max{ , } 1 2 N ，则当 时，有 n N  1 2 Ab a n n    2 n b A    按定义这就证明了 lim 0 n 。 n b   例 14 设lim ,证明: n n a   a 1 2 lim n n aa a a  n      . 证 因为lim n n a   a ，于是有 1 1 0, , , 2 N N n Na a n          从而当 时，有 1 n N  1 2 1 2 ( )( ) ( n n aa a aa a a a a a n n         ) 11 1 1 1 2 NN N N 1 1 aaa a a a a aa a a a n n               1 ( ) 2 2 A A n N nn n      其中 1 A 1 2 N      aaa a a a  是一个定数。 再由 lim 0 n A  n  ，知  N N 2  ，当 时，有 2 n N  2 A n   . 取 ，则当 时,有 N N  max( , ) 1 2 N n N  1 2 n aa a a n    222 A n       【注】该结论反之不成立。例如 ( 1)n n a   不收敛，但 1 2 lim 0 n n aa a  n      。 中国矿业大学数学学院 8

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限S2收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列（α，收敛，则它只有一个极限证设a是(a的一个极限我们证明：对任何数b≠a,b不是（a的极限.事实上，11b-αl，则按定义，在U(a;8)之外至多只有(a,中有限项，从而在U(b,8）若取8。2内至多只有【a,）中有限个项；所以b不是(a,)的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限定理2（有界性）若数列(a)收敛，则(a，)为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，都有Ja,|≤M证设lima，=a，取s=1，存在正数N，对一切n>N，有a,-a0，则对任何a'e(0,a)，存在正数N，使得当n>N时，有a,>α证取=a-α>0，则N>0，使得当n>N时，有a,>a-8=a'类似地有当aN。时，有an<bn，则9中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 §2 收敛数列的性质 定理 1（唯一性） 若数列 收敛，则它只有一个极限． }{an 证 设 是 的一个极限．我们证明：对任何数 a }{an  ,bab 不是 的极限．事实上， 若取 }{an | b  a | 2 1  0  ，则按定义，在 U( a ); 0  之外至多只有 中有限项，从而在 }{ U( an 0 b; ) 内至多只有{ 中有限个项；所以b 不是 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极 限 } an { } an 定理 2（有界性） 若数列 收敛，则 为有界数列，即存在正数 }{an }{an M ，使得对一 切正整数 n ，都有 n a M 证 设 n aa n   lim ，取  1，存在正数 ，对一切 N n  N ，有 1 n a a   ，即 1  n  aaa  .1 记 |},1||,1||,||,||,max{| M  21  N  aaaaa  则对一切正整数 ，都有 n n a  M ． 定理 3（保号性） 若 lim  0，则对任何  n aa n  aa ),0( ，存在正数 ，使得当 时，有 ． N  Nn n  aa  证 取 0    a a 0 ，则 ，使得当 时，有   N 0  Nn n 0 aa a     类似地有当 时的保号性． a  0 【注】在应用保号性时，经常取 2 a a  . 定理 4（保不等式性） 设an 与bn 均为收敛数列．若存在正数 ，使得当 时，有 ，则 N0  Nn 0  ba nn 中国矿业大学数学学院 9

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限lima,≤limb,证设lima，=a,limb,=b.任给s>0,分别存在正数N,与Nz，使得当n>N,时，有(1)a-sN,时有(2)b.N时，按假设及不等式(1)和(2)有a-0，存在正数N，使得当n>N时有a0，则有Ja, -ala, -alNa,- Va=Yan +VaVa任给>0，由lima，=a，存在正数N，使得当n>N时有Jan-a<Vas,从而Va,-va<.(3)式得证。10中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 lim lim n n n n a b    证 设   ,0.lim,lim  bbaa 任给 n n n n 分别存在正数 时， 有 与NN ，使得当n 1 1 2  N   aa n  ， （1） 当 时有  Nn 2  bb   n . ( 2 ) 取    ,max NNNN 210 ，则当 时，按假设及不等式  Nn (1)和(2)有      bbaa   , nn 由此得到 a b   2 。由 的任意性推得  ba ，即 lim lim n n n a   n  b 。 【思考】如果把定理中的条件  ba nn 换成严格不等式 an  bn ，那么能否把结论换成 lim lim n n ？ n n a b    例如： 1 0, n n a b n   例 1 设a n n   0 1, 2,   ．证明：若 n aa ,limn   则 lim aa . n n   （3） 证 由保不等式性得 a  .0 若 a  0 ，则由  0lim ，任给  n n a   0 ，存在正数 ，使得当 时有 N  Nn an  ，从而 2    an ，即 0 , 中国矿业大学数学学院 10 n a    故有 lim .0 n  an  若 ，则有 a  0 a aa aa aa aa n n n n      . 任给  0 ，由 n aa ，存在正数 N，使得当 时有 n  lim  Nn aaa  , n  从而 aa   n ．(3)式得证．