华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第1章 实数集与函数

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数第一章实数集与函数$1实数一、集合集合是现代数学一个最基本的概念。集合论的奠基人是Cantor。数学的各个分支普遍地运用集合的符号和方法，我们要养成用集合的语言来表述数学命题的习惯。1、集合的概念具有某种性质的事物的全体称为一个集合，组成集合的每一个事物称为该集合的元素。解释下面记号：aeA,aA,O“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。2、集合的关系解释下面记号：ACB(BDA)，A=B（定义是ACB,BCA）3、映射设V和V是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T，使得对VαEV，在V'中有唯一的元素α'与之对应，则称T是V到V"的一个映射。记为T.V-,αHα'.称α'为α在T下的象，记为T(α)=α，并称α为α在T下的一个原象。记T(V)={T(α)IαeV)cV"它表示V在映射T下象的集合。记T-'(α)=(α|T(α)=α)cV它表示αeV在映射T下原象的集合。如果T(V）=V，即V"中的所有元素都有原象，则称T是V到V的满射如果V中任意两个不同的元素在V中的象也不同，即当T（α）=T（β)时，必有α=β1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 第一章 实数集与函数 §1 实数 一、集合 集合是现代数学一个最基本的概念。集合论的奠基人是 Cantor。数学的各个分支普遍地 运用集合的符号和方法，我们要养成用集合的语言来表述数学命题的习惯。 1、集合的概念 具有某种性质的事物的全体称为一个集合，组成集合的每一个事物称为该集合的元素。 解释下面记号： a Aa A   , , “集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系 解释下面记号： A BB A   ( )， A B  （定义是 A BB A   , ） 3、映射 设V 和V是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对   V ，在 中 有唯一的元素 V 与之对应，则称T 是V 到V的一个映射。记为 TV V : ,     。 称为 在T 下的象，记为T( )  ，并称 为在T 下的一个原象。 记 TV T V V ( ) ( )|         它表示V 在映射T 下象的集合。 记   1 T T ( ) |()          V 它表示V 在映射 下原象的集合。 T 如果TV V ( )  ，即V中的所有元素都有原象，则称T 是V 到V的满射。 如果V 中任意两个不同的元素在V中的象也不同，即当T T () ()    时，必有   ， 中国矿业大学数学学院 1

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数则称T是V到V"的单射。如果T既是满射又是单射，则称T是V到V的双射或一一对应当T是V到V的一一对应，则对Vα'eV"，则有唯一的αEV与之对应，这样定义了V的映射，称为T的递映射，记为T-":V'→V,α'Hα。4、可数集与不可数集引例：古阿拉伯人，只会数1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？凡是能建立一一对应关系的两个集合，我们说它们“一样多”。比如，正整数(1,2,3,与偶数[2,4,6,…“一样多”。凡是能与正整数(1,2,3建立一一对应的集合，称为可数（无穷）集，也称可列（无穷）集。如果一个无穷集不能与正整数建立一一对应关系，则称为不可数集，或不可列集。可以证明：（1）有理数是可数的；（2）无理数与实数不可数；（3）任何区间中的无理数或实数与全体实数“一样多”。5、集合的运算及运算律定义：AUB≤(x|xeAorxeB)ANB≤(x|xe A and xeB)A\B=(xxEAandxB（也记为A-B）A°QIA（是全集）（也记为A）推广：（设I是一指标集，可以不可数）UA.会(存在某个αel,使得xEA)，特别地，UA,UA,6n4(对任何αel,都有xA)，特别地，4,n4运算律：2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 则称T 是V 到V的单射。 如果T 既是满射又是单射，则称T 是V 到V的双射或一一对应。 当T 是V 到V的一一对应，则对V ，则有唯一的 V 与之对应，这样定义了 V  映射，称为T 的逆映射 中国矿业大学数学学院 2 的 ，记为T 1 : , V   V      。 4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？ 凡是能建立一一对应关系的两个集合，我们说它们“一样多”。比如，正整数1, 2,3, 与偶数2, 4,6,“一样多”。 凡是能与正整数1, 2,3,建立一一对应的集合，称为可数（无穷）集，也称可列（无 穷）集。如果一个无穷集不能与正整数建立一一对应关系，则称为不可数集，或不可列集。 可以证明： （1）有理数是可数的； （2）无理数与实数不可数； （3）任何区间中的无理数或实数与全体实数“一样多”。 5、集合的运算及运算律 定义： A  B xx A x B    or  A  B xx A x B    and  A\ B xx A x B     and （也记为 A B ） c A   \ A （ 是全集）（也记为 A ） 推广：（设 I 是一指标集，可以不可数）  ,  I A x I xA        存在某个 使得   ，特别地， 1 1 , N n n n n A A       ,  I A x I xA        对任何 都有   ，特别地， 1 1 , N n n n n A A      运算律：

华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数1°AUA=A,ANA=A（幂等律）2°AUB=BUA,ANB=BNA（交换律）3°(AUB)UC=AU(BUC),(ANB)NC=AN(BNC)（结合律）4°(AUB)NC=(ANC)U(BUC),(ANB)UC=(AUC)N(BUC)（分配律)5°(UAa）=n4(nAa)=UA（deMorgan律，对偶律）【作为作业】6、常用符号→：“蕴涵”，“推得”，“若，则”台：“充分必要”，“当且仅当”，“等价”V：“任意”，“任一个”“对任一个”，Any日：“存在”，“能找到”，Exist3：使得[不常用]R：实数全体Q：有理数全体Z：整数全体N.：正整全体2x,=x+x+...+xi=1Ix =xx..x..i=l二、实数及其性质1、实数公理实数是满足（I）域公理、（II）序公理和（III）连续性公理的集合。（I）域公理：加法公理、乘法公理和分配律（A）加法公理：（A）Vx,yER=x+yER（封闭性）3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 1 o A  A AA A A  ,  （幂等律） 2 o A   B B AA B B A   , （交换律） 3 o   A    B C A BC AB C A BC    ,    （结合律） 4 o   A    B C AC BC AB C AC BC      ,      （分配律） 5 o     c c c , I II I A AA c    A            （de Morgan律，对偶律）【作为作业】 6、常用符号 ：“蕴涵”，“推得”，“若.，则.”  ：“充分必要”，“当且仅当”，“等价”  ：“任意”，“任一个”，“对任一个”，A ．ny  ：“存在”，“能找到”，E ．xist  ：使得[不常用] R ：实数全体 Q ：有理数全体 Z ：整数全体 N ：正整全体 1 2 1 n i n i x xx x     1 2 1 n i n i x xx x     二、实数及其性质 1、实数公理 实数是满足（I）域公理、（II）序公理和（III）连续性公理的集合。 （I）域公理：加法公理、乘法公理和分配律 （A）加法公理： （ A1）  x, yR xyR （封闭性） 中国矿业大学数学学院 3

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数（A）Vx,yER=x+y=y+x（交换律）(A）Vx,y,zeR=(x+y)+z=x+(y+z)（结合律）（A）存在唯一零元0eR，VxER，满足0+x=x（A）VxER，存在唯一负元-xER，满足x+（-x)=0（M）乘法公理：（M,）Vx,yER=xyER（封闭性）（M,）Vx,yeR=xy=yx（交换律）（A）Vx,y,zER=(xy)z=x(y）（结合律）（A）存在唯一单位元leR，VxER，满足1x=x（A）Vx±0eR，存在唯一逆元xeR，满足xx-=1(D）分配律：x(y+z)=xy+xz(II）序公理：（1）三歧性：xy三者必居其一，也只居其一(2)传递性：x0=xc<yc,（IⅢ）连续性公理：戴德金（Dedekind）切割原理设A,ACR满足：1°A+0, A'+0;2° AUA'=R;3°VxeA,Vx'eA',都有x<x',则称A与A'是R的一个切割，记为（A|A)。戴德金切割原理：对于R的任何一个切割（AIA)，都存在唯一的xeR，使得对VxEA,Vx'eA',都有x≤x<x。4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 （ ）A2   x, yR xy yx （交换律） （ ）A3      x, ( ) ( ) yz R x y z x y z （结合律） （ ）存在唯一零元0 A4  R ，x R ，满足0  x  x （ ）A5  x R ，存在唯一负元 x R ，满足 x x  ()0   （M）乘法公理： （ M1 ）   x, y R xy R （封闭性） （ M2 ）   x, y R xy yx （交换律） （ ）A3    x, ( ) ( ) y z R xy z x yz （结合律） （ ）存在唯一单位元1 A4  R ，x R ，满足1x  x （ ）A5   x 0 R ，存在唯一逆元 1 x R   ，满足 1 xx 1   （D）分配律： x( ) y z xy xz   （II）序公理： （1）三歧性： x  yx yx y , , 三者必居其一，也只居其一 （2）传递性： x   yy z x z , （3）保序性： x     y x z y z x y c xc yc , ,0 , （III）连续性公理:戴德金（Dedekind）切割原理 设 满足： A A,   R 1° ， A   A   ； 2° AA R    ； 3°   x Ax A ,   ，都有 x  x ， 则称 A 与 A是 R 的一个切割，记为( | A A)。 戴德金切割原理：对于 R 的任何一个切割 (| ) A A ，都存在唯一的 ，使得对 * x R    x Ax A ,   ，都有 * x   x x 。 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数【注】戴德金切割原理形象地描述了“实数是连续不断的，没有任何空隙”。通俗地说：如果用一把没有厚度的理想的刀砍一下实数轴，那么不论砍在哪里，总要碰着数轴上的一个点（即一个实数）。另外，实数还具有下面性质：（1）实数具有阿基米德Archimedes)性，即Va,beR,若b>a>O，则3neZ，使得na>b。（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。2、绝对值实数α的绝对值定义为a,a≥0al-a,a0)4°对于任何α、beR有如下的三角形不等式：[a-]a±≤a+6]5°a≤c≤b= /c|≤max(al,[b)6°[ab| = [a[6][al_ al(b#0)70同间3、常用不等式10伯努利（Bernoulli）不等式：设x≥-l,neN，则(1+x)"≥1+nx5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 【注】戴德金切割原理形象地描述了“实数是连续不断的，没有任何空隙”。通俗地说： 如果用一把没有厚度的理想的刀砍一下实数轴，那么不论砍在哪里，总要碰着数轴上的一个 点（即一个实数）。 另外，实数还具有下面性质： （1）实数具有阿基米德(Archimedes)性，即ab R , ,  若 ，则 ，使得 。 b a   0  n Z na b  （2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数， 也有无理数。 2、绝对值 实数 a 的绝对值定义为 , 0 , 0 a a a a a       从数轴上看，数 的绝对值 a a 就是点 到原点的距离． a 实数的绝对值有如下一些性质： 1 o  aa  0；当且仅当 a  0 时有 a  0 2 o  a  a  a 3 o a  h  hah ； hhahha  0 4 o 对于任何a 、b R有如下的三角形不等式： a b ab a b    5 o a c b c ab   max( , ) 6 o  baab 7 o   b  0 b a b a 3、常用不等式 1o 伯努利（Bernoulli）不等式：设 x   1,n N ，则 (1 ) 1 n  x   nx 中国矿业大学数学学院 5

华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数证明：用数学归纳法。当n=1时，上式显然以是等式的形式成立。假设成立不等式(1+x)"-1 ≥1+(n-1)x,x ≥-1则(1+x)" =(1+ x)"-(1+ x)≥[1+(n-1)x](1+ x)=1+ nx+(n-1)x?≥1+nx, Vx≥-1说明对正整数n伯努利不等式成立。2°柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz)不等式：设x,x2"，；yi，y2，,y，是两组实数，则(圳) (()当且仅当y,=kx(i=1,2,,n)时，等号成立。证明：由含(1+)-(含对)+2(含)+(含)≥0 (VeR)-得判别式A=4(2)-4()(2)30移项便得证。如果x,=ky(i=1,2,.,n），则不等式显然以等号形式成立。反之，如果等号成立，则△=0，上面二次函数（抛物线）有零点（与x有交点），即存在teR使(x,+y)=0，于是y,=-x,=kx,。i=l3°平均值不等式：设X，2，x，是n个正实数，则（几何平均≤算术平均）xxs++.+n当且仅当x，x2，,x都相等时，等号成立。证明：用数学归纳法证明.当n=1时，上式显然以等式形式成立。假设对n-1上式成6中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 证明：用数学归纳法。当 时，上式显然以是等式的形式成立。假设成立不等式 n 1 中国矿业大学数学学院 6  1 (1 ) 1 ( 1) , 1 n x n xx      则   1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1) (1 ) n n x x x nx        x 1 2         1 ( 1) 1 , nx n x nx x 说明对正整数 n 伯努利不等式成立。 2o 柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式：设 12 12 ,;, , n n x x xyy   y 1 是两组实数， 则 2 2 2 1 1 n nn ii i i i ii x y x                  y    当且仅当 ( 1,2, , ) i i y   kx i n  时，等号成立。 证明：由 2 22 2 1 1 11 () 2 n n nn ii i ii i i i ii xt y x t x y t y                          0 （t  R ） 得判别式 2 2 2 1 11 4 4 n nn ii i i i ii xy x y                       0 ) 移项便得证。 如果 ( 1,2, , i i x   ky i n  ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与   0 x 有交点），即 存在 使 t  R ，于是 2 1 ( ) n i i i xt y     0 i i i y    tx kx 。 3o 平均值不等式：设 1 2 , n x x x  是 个正实数，则（几何平均 n  算术平均） 1 2 1 2 n n n x x x xx x n       当且仅当 1 2 , n x x  x 都相等时，等号成立。 证明：用数学归纳法证明.当 n 1时，上式显然以等式形式成立。假设对 n 1上式成

华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数立，现考虑n个正数x,x2，",x，。不妨假设x,是最大的。记A= +++.++-.n-1则X +X +..+X-.X≥A=xx...n-1于是(*+) -( (4*)n≥ A" + nA"-= A" + A"-(x, -A)= A""x, ≥XX2"-X.即++x≥xx.n如果x，x2",x，都相等，则显然等号成立。反之，如果x,x2，,x，不都相等，则上面x>A+x,+..+x.A+-A> A" + nA"n与上完全一样，推得严格不等号成立。推论：设x,x2，,x是n个正实数，则（调和平均≤几何平均）n111<Nxxx+.XX2Xn在平均值不等式中用二换x（i=1,2,,n）即得证。x4°三角函数不等式元sinx<x<tanx,0<x2推论：sinx≤x，其中等号仅当x=0时成立。7中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 立，现考虑 个正数 n 1 2 , n x x  x 。不妨假设 n x 是最大的。记 中国矿业大学数学学院 7 1 2 x 1 1 n x x A n        则 1 12 1 12 1 1 n n n xx x n x x x n   x A           于是 1 2 ( 1) n nn n nn x  x x  n n n  Ax x A A n                        1 1 AAx   1 1 2 ( ) n n n A n n A A x xx xn             n n n  x A nA n  即 1 2 n x x x   n   1 2 n n x x x  如果 , , 1 2 , n x x  x 1 2 , n 都相等，则显然等号成立。 反之，如果 x x x  不都相等，则上面 n x  A n n 1 2 n n   x  x x      x A    A   n n     n n 1 n x A A nA n           与上完全一样，推得严格不等号成立。 推论：设 1 2 x , , , n x x  是 个正实数，则（调和平均 n  几何平均） 1 2 1 2 1 1 1 n n n n x x x x x     x  在平均值不等式中用 1 i x 换 i x （i 1,2, ,  n）即得证。 4o 三角函数不等式 sin ta x  x x  n ， 2 0  x  推论： sin x  x ，其中等号仅当 x  0时成立

华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数证【见教材P43]1SAOCD 0都有sinxM)，其中 M 为某个正数U(+0) α,U(-0)...【例1】[P3例2]：设a,beR。证明：若对>0有ab。令=a-b>0，于是α=b+%。这与假设对>0成立a<b+相矛盾。从而必有a≤b。8中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 证［见教材 P43］ OCD  扇形OAD  SSS OAB ， tan xxx 2 1 2 1 sin 2 1  又 当 2  x  时 有 1sin  xx ，故对一切 都有 x  0 sin  xx 。当 时，由 得 x  0 )sin(  xx  sin  xx 。 综上，我们又得到不等式  xx ,sin  Rx 其中等号仅当 时成立． x  0 4、区间与邻域[一些记号]   a b,  {| } x axb   ，a b,   ，( , a b]  ，[ , a b)  (, ) a   ，[ , a )  ，( ,  a)  ， ， ( ,]  a  ( ,  )  R Ua xx a a a (, )             ,  Ua x xa a a a (, ) 0          , \       U a aa U a aa   ( , ) [ , ), ( , ) ( , )          Ua Ua   (, ) , (, )      Ua U a ( ), ( ),   U xx ( )     M ，其中 M 为某个正数 U U ( ) ,( )     【例 1】［P3 例 2］：设 。证明：若对 ab R ,    0 有 a b ．令 0   a b   0 ，于是 0 a b   。这与假 设对   0 成立a <b   相矛盾。从而必有a  b 。 中国矿业大学数学学院 8

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数【例2】[P4习题1]：设aEQ,xERIQ（无理数）。证明a+xERIQ。证用反证法，假设a+xeQ，令a+x=q，则x=q-aeQ，与假设矛盾。82确界原理一、有界集与无界集，上（下）确界定义1设S为R中的一个数集.若存在数M（L），使得对一切xES，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）。若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集若S不是有界集，则称S为无界集，思考：(I)S有界G>0,VxeS,x≤G。（2）S无界S无上界或S无下界。（3）叙述：S无上界？S无下界？【注】有人把S无上界用下面诗来形象描述，南宋诗人叶绍翁的《游园不值》：应怜展齿印苍苔，小扣柴久不开。春色满园关不住，一枝红杏出墙来。【例如】（1）S=(,x2,x）（有限集），则S是有界集L=min(X,x2,x,),M=max(x,X2,,x,)(2) S=[0,1)是有界集。L=0,M=1(3）S=(=sinx,xeR)是有界集。以≤1（4）N.={1,2,3,)有下界，但无上界。证：VM>0，取n=[M]+l，则n。>M。(5) S=，t>0有上界，无下界。xx:9中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 【例 2】［P4 习题 1］：设a Qx R Q   , \ （无理数）。证明 a x RQ   \ 。 证 用反证法．假设 ，令 axQ   axq   ，则 x  qaQ   ，与假设矛盾。 §2 确界原理 一、有界集与无界集，上（下）确界 定义 1 设 为S R 中的一个数集．若存在数 M（L），使得对一切 ，都有  Sx x  M （ x  L），则称 S 为有上界（下界）的数集，数 M（L）称为 S 的一个上界（下界）。 若数集 既有上界又有下界，则称 为 S S 有界集．若 不是有界集，则称 S S 为无界集． 思考： （1） 有界 S      G x Sx 0, , G 。 （2） 无界 无上界或 S  S S 无下界。 （3）叙述： 无上界？ S S 无下界？ 【注】有人把 S 无上界用下面诗来形象描述。 南宋诗人叶绍翁的《游园不值》：应怜屐齿印苍苔 ，小扣柴扉久不开 。春色满园关不 住 ，一枝红杏出墙来 。 【例如】 （1） S xx x   1 2 ,  n （有限集），则 是有界集 S L xx x M xx x   min( , , , ), max( , , , ) 1 2   n n 1 2 （2） 是有界集。 S  [0,1) L M   0, 1 （3） S yy xx R    sin ,  是有界集。 y 1 （4） N  1, 2,3, 有下界，但无上界。 证： ，取   M 0 n M 0   [ ]1，则 。 0 n M （5） 1 S xx t, 0 t        有上界，无下界。 中国矿业大学数学学院 9

华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数1_10，取0α'>α，取x=则xES且xα，即n又是S的最小上界，则称数n为数集S的上确界，记作n=supS。（supremum）【注1)(ii)又可写成：(ii)>0，x，x>-。【注2】上确界也记为lubS（leastupperbound）定义3设S是R中的一个数集.若数S满足：（i）对一切xeS，有x≥，即=是S的下界（ii）对任何β>5，存在x。ES，使得x。0，x，x+。【注2】下确界也记为glbS（greatestlowerbound）10中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 证： ，取   M 0 0 1 0 t M   ，则 0 0 1 x M t    引例 1：叙述： 中有最大数（无最大数），有最小 S 数（无最小数）。 答： 中有最大数： S       S xS x , ,  ，则  就是 S 中的最大数。 S 中无最大数：    x SyS x y , , 。 例如：（1） S  [0,1]中有最大数1， max 1 S  。 （2） S  [0,1)中没有最大数，符号 max S 不能使用。 引例 2：证明： 的最大下界是 S  [0,1)   0 ，最小上界是  1。 证：  0 显然是 的一个下界。如何说明 S  是 S 的最大下界？这就要证明比 大的 任何一个数都不是 的下界。 S     :1   ，取 0 2 x    ，则 0 x  S 且 0 x  ，说明不是 S 的下界。 类似可证  1是 的最小上界。 S 定义 2 设 是S R 中的一个数集．若数 满足： （i）对一切 x S ，有 x  ，即 是 S 的上界； （ii）对任何  ，存在 0 x  S ，使得 0 x   ，即 又是 的最小上界， S 则称数 为数集 的S 上确界，记作  sup S 。（supremum） 【注 1】（ii）又可写成：(ii)   0， 0 x  S ， 0  x     。 【注 2】上确界也记为lub S （least upper bound） 定义 3 设 是S R 中的一个数集．若数 满足： （i）对一切 x S ，有 x   ，即 是 S 的下界 （ii）对任何    ，存在 0 x  S ，使得 0 x  ,即 又是 的最大下界， S 则称数 为数集 的S 下确界，记作  inf S 。（infimum） 【注 1】（ii）又可写成：(ii)   0， 0 x  S ， 0  x     。 【注 2】下确界也记为 glb S （greatest lower bound） 中国矿业大学数学学院 10