华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第7章 实数的完备性

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性第七章实数的完备性S1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。最后我们要证明这些命题都是等价的。一、区间套定理定义1设闭区间列a,,b,B具有如下性质：(i) [a.,b,]-[a,b.], n=1,2,;(ii) lim(b,-a,)=0,则称(an，bn』为闭区间套，或简称区间套。这里性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：(1)a,≤a,≤...≤a,≤...≤b.≤...≤b,b左端点(a,)是单调递增的点列，右端点(b)是单调递减的点列。定理1（区间套定理）若（a，b,』是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得[a,,b,]，n=1,2,…，即(2)a,≤g≤b,,n=,2,...证（由柯西收敛准则证明）设(a，，b,J是一区间套.下面证明（a,）是基本点列。设m>n，由区间套的条件（i）得am-an=(bm-an)-(bm-am)≤(b,-a.)-(bm-am)1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收 敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的 连续性公理。本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。 最后我们要证明这些命题都是等价的。 一、区间套定理 中国矿业大学数学学院 1 定义 1 设闭区间列 具有如下性质：  ,ba nn  （i）   ba nn ,   11 ,  ba nn  ， n  ,2,1 ； （ii）   0)(lim nn n ab ， 则称 为  闭区间套，或简称区间套。 ba nn ,  这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点 满足如下不等式： 21  n   n    bbbaaa .12 （1） 左端点an是单调递增的点列，右端点bn是单调递减的点列。 定理 1 （区间套定理） 若 ,ba nn 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 ， 使得    ba nn , ， ，即 n  ,2,1  an    bn ， n  .,2,1 （2） 证 （由柯西收敛准则证明） 设 ,ba nn 是一区间套.下面证明an是基本点列。 设 m n  ，由区间套的条件（i）得 ( )( )( )( ) mn mn mm nn mm a a b a b a ba b a        

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性再由区间套的条件（i)，易知（a,）是基本点列。按Cauchy收敛准则，a，有极限，记为5。于是limb, =lim((b,-a,)+a,)=lima,=由(a,)单调递增，(b,)单调递减，易知an≤5≤bn,n=1,2,...下面再证明满足（2）的是唯一的。设数也满足an≤5'≤b.,n=1,2,..,则由（2）式有5-5≤b, -an,n=1,2,.由区间套的条件（ii）得5-5≤lim(b,-an)=0,故有=【注1】区间套定理的通俗解释是，闭区间套必然套住唯一个点（实数），或者必有唯一的一个公共点，或者闭区间套的交集是唯一的一个点。以后这个点我们就称为由区间套所确定的点。【注2】区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开1区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且lim-0=0，但n→(n不存在属于所有开区间的公共点，由区间套定理的证明过程易推得如下很有用的区间套性质：推论设是由区间套(an,b,I所确定的点，则对任给的s>0，存在N，使得当n>N时有[an,b,]cu(s: 8).2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 再由区间套的条件（ii），易知an是基本点列。 按 Cauchy 收敛准则，an有极限，记为 。于是 lim lim ( ) lim n nn n n   nn n b ba a a         由an单调递增，bn单调递减，易知 an    bn ， n  .,2,1 下面再证明满足（2）的 是唯一的。设数 也满足    nba  ,2,1, n  n 则由（2）式有      nab  .,2,1, nn 由区间套的条件（¡¡）得       0)(lim nn n ab ， 故有    . 【注 1】区间套定理的通俗解释是，闭区间套必然套住唯一个点（实数），或者必有唯 一的一个公共点，或者闭区间套的交集是唯一的一个点。以后这个点我们就称为由区间套所 确定的点。 【注 2】 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开 区间列，如             n 1 ,0 ，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且 1 lim 0 0 n n         ，但 不存在属于所有开区间的公共点. 由区间套定理的证明过程易推得如下很有用的区间套性质： 推论 设 是由区间套 所确定的点，则对任给的  ba nn ,    0 ，存在 ，使得当 时有 N n N    ba nn ,  U  ．； 中国矿业大学数学学院 2

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性二、有限覆盖定理定义2设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如（α,β）的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.如果对S的任一无限开覆盖H，总能找到有限子覆盖HCH，则称点集S为紧集。在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定，例如，若函数在(a,b)内连续，则给定8>0，对每一点xE(a,b），都可确定正数8（它依赖于与x），使得当x'eU(x,）时，有f(x)-f(x)<.这样就得到一个开区间集H = (x-0r,x+ 8)x e(a,b)它是区间(a,b）的一个无限开覆盖.定理2（海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理）闭区间是紧集。即设H为闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]证（由区间套定理证明）反证。假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b]将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a,b]，则[a,b]-[a,b]，且b,-α,=(b-α),2再将[α,b]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区-(b-a)间来覆盖。记这个子区间为[62,b]，则[a,b]-[a,b],且b,-a2=重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列(an，b,J)，它满足[an,b,]-[an+1,b+],n=1,2,..,b-α.=(6-α)→0→)即([a,,b,I)是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。m中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 二、有限覆盖定理 定义 2 设 为数轴上的点集， S H 为开区间的集合(即 H 的每一个元素都是形如(, S ) 的开区间)．若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内，则称 为 的一个开覆盖， 或称 覆盖 ．若 中开区间的个数是无限(有限)的，则称 为 的一个无限开覆盖(有 限开覆盖)．如果对 的任一无限开覆盖 ，总能找到有限子覆盖 ，则称点集 为 紧集。 S H H S * H S H S H S H H  H 在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定．例如，若函数 f 在 (,) a b 内连续，则给定  0 ，对每一点 x(,) a b ，都可确定正数 x (它依赖于 与 x )， 使得当 x (, ) U x x   时，有 f ( ) () x fx     ．这样就得到一个开区间集 H x x x ab    ( , ) (,)   x x , 它是区间(,) a b 的一个无限开覆盖． 定理 2 (海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理) 闭区间是紧集。即设 H 为闭 区间 的一个无限开覆盖，则从  ,ba  H 中可选出有限个开区间来覆盖 ,ba 。 证 （由区间套定理证明） 反证。假设定理的结论不成立，即不能用 H 中有限个开区间来覆盖 ,ba ． 将 ,ba 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆 盖．记这个子区间为 ，则  11 ,ba  , baba  11  ，且 a    ab  2 1 11  b ． 再将 ,ba 11 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区 间来覆盖．记这个子区间为 ，则   22 ,ba     1122  , baba ，且   b a 2 2 1 b a22  ． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列 ,ba nn ，它满足     11 , nn  baba nn  ， n  ,2,1 nabab  nn n 0 2 1  即 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用  ,ba nn  H 中有限个开区间来覆盖。 中国矿业大学数学学院 3

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性由区间套定理，存在唯一的一点e[a,,b,]，n=1,2,…由于H是[a,b]的一个开覆盖，故存在开区间（α,β)eH，使e(α,β).由区间套定理的推论，当n充分大时有[a,,b,]c (α,β)这表明[a,,b,]只须用H中的一个开区间(α,β)就能覆盖，与挑选[an,b,]时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a,b].【注】开区间不是紧集。例如，开区间集合（(n=1,2,)构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住(0,1)三、聚点定理定义3设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点，例如，点集S=(-1)"+-有两个聚点5=-1和5=1：点集S=？只有一个nJ(n]聚点=0；又若S=(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集N，没有聚点，任何有限数集也没有聚点，定理3下面三个命题等价（1）为点集S的聚点：（2）V>0，有U（)NS±Φ。点=的任何邻域内都含有S中异于的点：（3）若存在各项互异的收敛数列(x，)cS，使得limx，=5。其证明作为习题。定理4（魏尔斯特拉斯（Weierstrass)聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点，致密性定理与聚点定理本质是一样，下面证明二者的等价性。4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 由区间套定理，存在唯一的一点 a b n n , ，n  ,2,1 ．由于 H 是 的一个开覆 盖，故存在开区间 ,ba   ,  H ，使  ,   ．由区间套定理的推论，当 n 充分大时有    ,   ba nn 这表明 ,ba nn 只须用 H 中的一个开区间,   就能覆盖，与挑选  ba nn , 时的假设“不能 用 H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于 H 的有限个开区间能覆盖 a,b． 【注】 开区间不是紧集。例如，开区间集合  1 ( ,1) 1,2, 1 n n           构成了开区间  1,0 的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住 1,0 ． 三、聚点定理 定义 3 设 为数轴上的点集， S  为定点(它可以属于 S ，也可以不属于 S )．若 的任 何邻域内都含有 中无穷多个点，则称 S  为点集 的一个 S 聚点． 例如，点集 1 ( 1)n S n       有两个聚点 1   1和 2  1；点集 1 S n        只有一个 聚点  0  ；又若 ，则 内每一点以及端点 、 都是 的聚点；而正整数 集 没有聚点，任何有限数集也没有聚点． S ab   ,  a b,  a b S  定理 3 下面三个命题等价 （1） 为点集 的聚点； S （2）   0 ，有 0 U S (;)      。点 的任何 邻域内都含有 中异于 S  的点； （3）若存在各项互异的收敛数列  Sxn  ，使得    n n lim x 。 其证明作为习题。 定理 4 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集 至少有 一个聚点． S 致密性定理与聚点定理本质是一样，下面证明二者的等价性。 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性证 (致密性定理聚点定理）设S是有界无限点集。在S中取一列两两不同的点列(x)，显然(x)是有界点列。由致密性定理，(x,)存在一个收敛的子列(），设其极限为x。那么对Vs>0,3K,当k>K时，有×-&<X<+6。这就说明（x-6,X+)含S中无限多个点，即×是S的一个聚点。（聚点定理致密性定理）设(,)为有界数列。若(x,)中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的，若(，)不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集(仍记为(x，))必为有界无限点集，故由聚点定理，点集(x，至少有一个聚点，记为。由定理3，则存在(x，的一个收敛子列（以为其极限)，四、实数完备性定理之间的等价性我们学习如下几个实数的完备性定理：1.戴德金切割原理；2.确界原理；3.单调有界定理；4.致密性定理；5.柯西收敛准则；6.区间套定理；7.有限覆盖定理；8.聚点定理。实际上它们之间都是等价的。并且已经军完成了如下证明：(1)(8)↑↑(2)= (3)(4) = (5) = (6) = (7)=5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 证 （致密性定理聚点定理） 设 是有界无限点集。在 中取一列两两不同的点列 S S xn ，显然xn 是有界点列。由 致密性定理，xn 存在一个收敛的子列xnk  ，设其极限为 0 x 。那么对   0, K,当 时，有 k K  0 k n x x 0      x  。这就说明 x x 0 0   ,   含 中无限多个点，即 S 0 x 是 的一 个聚点。 S （聚点定理致密性定理） 设 为有界数列．若 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常 数列，而常数列总是收敛的. xn  xn  若 不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集(仍记为 )必为有界无 限点集，故由聚点定理，点集 至少有一个聚点，记为 xn  xn  xn   。由定理 3，则存在 的一 个收敛子列(以 xn   为其极限). 四、实数完备性定理之间的等价性 我们学习如下几个实数的完备性定理: 1.戴德金切割原理； 2.确界原理； 3.单调有界定理； 4.致密性定理； 5.柯西收敛准则； 6.区间套定理； 7.有限覆盖定理； 8.聚点定理。 实际上它们之间都是等价的。并且已经军完成了如下证明： (1)  (2) (3)    (4) (5) (6) (7)  (8) 中国矿业大学数学学院 5

华师大数学分析（第五版)讲义第七章实数的完备性下面只要再完成（7)（2），就证明了这些定理的等价性。见下例1。例1由有限覆盖定理证明确界原理。证设S为非空数集，且S有上界，下面证明则S必有上确界。设S的上界为M，任取xES，考虑闭区间[xo,M]。假设S无上确界，那么Vxe[xo,M]有（1）当x为S的上界时，必有一个更小的上界xx，因此x必有一个邻域△，其中皆不是S的上界。这样对[x,M]中的每一点x都有一个邻域△，它要属于第一类（即每一点都是S的上界），要么属于第二类（即每一点都不是S的上界）。显然H=(A, Ixe[xo,M)构成了[xo,M]的开覆盖。根据有限覆盖定理，必有有限子覆盖H'=(A,A2,",Ak)cH注意到对应点M的邻域是第一类的，且△,(i=1,2,",k)有公共点，也都是第一类的，从而对应点x的邻域也是第一类的，矛盾。下面再给出几例子，来说明以上八个公理之间可以互推。例2区间套定理→确界原理。证设非空数集S有上界M。若S有最大值，则得证。否则，任取xS，记[a,b]=[xo,M]，把[,b]等分，如右半区间含S的点，记右半区间为[a2,b,]，否则记左半区间为[a2,b]]。再把[a2,b,]等分，同上考虑，得区间套[an,b,]记区间套所确定的唯一点为，a,≤≤b。由做法，[an，b,」的右边不含S的点，即VxeS,x0，N，当n>时，[a,b,]（-6,5+8)。由做法，[a,b]含的6中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 下面只要再完成 ，就证明了这些定理的等价性。见下例 (7) (2)  1。 例 1 由有限覆盖定理证明确界原理。 证 设 为非空数集，且 有上界，下面证明则 必有上确界。 S S S 设 S 的上界为 M ，任取 0 x  S ，考虑闭区间 0 [, ] x M 。假设 无上确界，那么 S 0  x [ , x M ]有 （1）当 x 为 的上界时，必有一个更小的上界 S 1 x  x ，因此 x 必有一个邻域 x ，其中 皆为 的上界； S （2）当 x 为 S 的上界时，自然有 中的点 S 2 x  x ，因此 x 必有一个邻域 x ，其中皆 不是 的上界。 S 这样对 0 [, ] x M 中的每一点 x 都有一个邻域 x ，它要属于第一类（即每一点都是 的上 界），要么属于第二类（即每一点都不是 的上界）。显然 S S H x xM    x | [, ] 0  构成了 0 [, ] x M 的开覆盖。根据有限覆盖定理，必有有限子覆盖   * 1 2 , H H     k 注意到对应点 M 的邻域是第一类的，且 ( 1, 2, , i  i   k) 有公共点，也都是第一类的，从而 对应点 0 x 的邻域也是第一类的，矛盾。 下面再给出几例子，来说明以上八个公理之间可以互推。 例 2 区间套定理确界原理。 证 设非空数集 S 有上界 M 。若 有最大值，则得证。否则， S 任取 0 x  S ，记ab xM 11 0 , [,   ] ，把a b 1 1 ,  等分，如右半区间含 的点，记右半区间 为 S a b 2 , 2 ，否则记左半区间为a b 2 2 , 。再把a b 2 , 2 等分，同上考虑，得区间套a b n n ,  。 记区间套所确定的唯一点为 ， n a n    b 。由做法，a b n n ,  的右边不含 的点，即 S , n   x Sx b ，取极限便得 x S, x   ，说明 是 的一个上界。 S 另外，   0 ，N ，当 n N 时，a b n n , (,       )。由做法，a b n n ,  含 的S 中国矿业大学数学学院 6

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性点，故存在xES,x>-6。这说明=是S的上确界。例3区间套定理→柯西收敛准则证按柯西收敛准的假设，对任给的ε>0，存在N>0，使得对一切n≥N有a-a|M），在区间4%a%+]内含有(α,)中几乎所再令6=22有的项．记[a2,β]=:ang +]n[a,β] 它也含有（α）中几乎所有的项，且满足[2,β][0,β]及β-α, 2，照以上方法得一闭区间列[αn,β,，其中每个区间都继续依次令623"'2"含有(α,)中几乎所有的项。且满足[αn, β,]-[αn1,β. ],n=1, 2, , β, -α, ≤2--→0 (n→8)即[αm,β,]是区间套。由区间套定理，存在唯一的一个数[α，β,](n=1,2,)现在证明数就是数列（a）的极限．事实上，由区间套定理的推论，对任给的ε>0，存在N>O，使得当n>N时有[αn,β,]cU(5;8)因此在U(;s)内含有(an)中除有限外的所有项，这就证得lima,=例4有限覆盖定理一聚点定理。证反证。设S是有界无限点集，但S没有聚点。取[α,b]S，由于S没有聚点，所7中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 点，故存在 x Sx   ,   。这说明 是 的上确界。 S 例 3 区间套定理柯西收敛准则 证 按柯西收敛准的假设，对任给的   0 ,存在 N  0 ,使得对一切 n N 有 n N a a    ,即在区间a a n    , N   内含有an 中几乎所有的项(这里及以下,为叙述 简单起见,我们用“an中几乎所有的项”表示“an中除有限项外的所有项”). 1 2 据此,令  ,则存在 ,在区间 N1 1 1 1 1 , 2 2 N N a a         内含有an  中几乎所有的项.记 这个区间为1 1 ,   . 2 2 2 1 1 , 2 2 N N 再令 a a 2 1 2   ，则存在 ，在区间 2 N N ( 1 ) 2         内含有an  中几乎所 有的项．记     2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , , , 2 2 N N   a a             ， 它也含有an  中几乎所有的项，且满足    中国矿业大学数学学院 7 1 1 2 , ,  2 2 2 1 2      及   继续依次令 3 1 1 , , 2 2n   ， ，  照以上方法得一闭区间列n n ,  ，其中每个区间都 含有an  中几乎所有的项．且满足    nn n n , , 1,   1 1  n     , 2, ,  1 1 0( ) 2 n n n   n      即n n ,  是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数 n n ,     n  1, 2, ,  ， 现在证明数 就是数列an  的极限．事实上，由区间套定理的推论，对任给的  0， 存在 ，使得当 时有 N  0 n  N  , (  U ; )   n n    因此在U(; )   内含有an  中除有限外的所有项，这就证得 lim n n a    ． 例 4 有限覆盖定理 聚点定理。  证 反证。设 是有界无限点集，但 没有聚点。取 S S ],[  Sba ，由于 S 没有聚点，所

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性以对Vxe[a,bl，取s充分小，U(x,o)不含S中异于x的点，即U(x,）最多只含S的一点。令H = (U(x,8,)/ xe[a,b])则H是[a,b]的一个开覆盖。根据有限覆盖定理，可找到有限个U(x,S）覆盖[a,b]（自然也覆盖S），这与S是无限点集矛盾。例5区间套定理→聚点定理。证因S为有界点集，故存在M>0，使得Sc[-M,M]，记[a,b]=[-M,M]现将[ai，b]等分为两个子区间.因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为[a2,b,]，则[a,b]-[a2,b,]且b, -αz ==(bj -a,)= M再将[a2,b,]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为[as,b,]，则[az,b2]-[a,b]，且(b, -αa,)= Mb,-a, =将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列(a,，b,J，它满足[an,b,]-[a,b.], n = 1,2,,M→(→8)bn-an, =即(an，b,J是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点由区间套定理，存在唯一的一点[a,，b,」，n=1,2,，于是由区间套定理的推论，对任给的s>0，存在N>0，当n>M时有[a,,b,]cU(5;s).从而U(5;s)内含有S中无穷多个点，为S的一个聚点，五、闭区间上连续函数性质的证明闭区间上连续函数的性质有：（1）最值性：8中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 以对  bax ],[ ，取 x 充分小， ),( x xU  不含 中异于 S x 的点, 即 ),( x xU  最多只含 的 一点。令 S   xUH ,(  x | x  a,[) b] 则 H 是 的一个开覆盖。根据有限覆盖定理，可找到有限个 ba ],[ U ),( x x  覆盖 （自然 也覆盖 ），这与 是无限点集矛盾。 ba ],[ S S S 例 5 区间套定理聚点定理。  , M  中国矿业大学数学学院 8 证 因 为有界点集，故存在 ，使得 M  0 S   M ，记   M , M  S ,ba 11  现将 等分为两个子区间．因 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有 中 无穷多个点，记此子区间为 ，则  11 ,ba S   2 b 2 a ,     1 2 2 , bab 1 a  且  1  ab 1   M 2 1  ab 22  再将 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 中无穷多个点，取出 这样的一个子区间，记为 ，则  22 ,ba S 33 ,ba     2 33 2 ,ba  a ,b ，且   2 2 1 a33  22 M b b  a  将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列an ,bn ，它满足     1 1 an n  ab n , bn , n  ,2,1 0 2  n n M a n   bn 1  即    是区间套，且其中每一个闭区间都含有 中无穷多个点． ba nn , S     an bn 由区间套定理，存在唯一的一点 , ，n  ,2,1 ．于是由区间套定理的推论， 对任给的   Ub ;  a , n  U;  n   0 ，存在 ，当 N  0  Mn 时有 ．从而 内含有 中 无穷多个点， S  为 的一个聚点． S 五、闭区间上连续函数性质的证明 闭区间上连续函数的性质有： （1）最值性；

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性（2）有界性；（3）根的存在性：（4）介值性；（5）一致连续性。前面我们致密性定理证明了最值性（从而也证明了有界性），由确界原理证明了根的存在定理（从而也证明了介值性），由致密性定理证明了一致连续性。下面，我们再给出利用实数完备性公理来证明闭区间上连续函数性质的几个例子例6用有限覆盖定理证明有界性定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则于在[a,b]上有界。证由连续函数的局部有界性，对每一点x'e[a,b]都存在邻域U(x;8,)及正数M,使得If(x)]<≤M,,xeU(x;8,)n[a,b]考虑开区间集H = (U(x;) x'e[a,b])显然H是[a,b]的一个无限开覆盖由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集H"=(U(x,.)]x, e[a,b],i=1,2,,k)覆盖了[a,b]，且存在正数M,M,,M，使得对一切xeU(x,)n[a,b]有[f(x)≤M,i=1,2,.,k令M = max M,则对任何xe[a,b],，x必属于某U(x,;8)=[f(x)≤M,≤M。即证得f在[a,b]上有界。例7用确界原理证明最值性定理：若函数在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值证由有界性定理，在[a,b]上有界，故由确界原理，f有上确界，记为M：以下我们证明：存在e[a,b]，使F(3)=M.倘若不然，对一切xe[a,b]都有F(x)<M.令9中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 （2）有界性； （3）根的存在性； （4）介值性； （5）一致连续性。 前面我们致密性定理证明了最值性（从而也证明了有界性），由确界原理证明了根的存 在定理（从而也证明了介值性），由致密性定理证明了一致连续性。 下面，我们再给出利用实数完备性公理来证明闭区间上连续函数性质的几个例子． 例 6 用有限覆盖定理证明有界性定理：若函数 f 在闭区间 ,ba 上连续，则 在 上 有界． f   ,ba 证 由连续函数的局部有界性，对每一点  bax , 都存在邻域 );( x xU    及正数 ， 使得 M x f () , ( ; ) , x M x U x ab   x x       考虑开区间集    x   ,);( baxxUH  显然 是H  ,ba 的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在 的一个有限子集 H       * ; , , 1,2, H U x x ab i k ii i    , 覆盖了 ,ba ，且存在正数 21 , MMM k ，使得对一切    baxUx ii    ,; 有   kiMxf .,2,1,i   令 ,max 1 i ki MM   则对任何 ，   ,bax x 必属于某  ; ii    i  MMxfxU ．即证得 在f  ,ba 上有界． 例 7 用确界原理证明最值性定理：若函数 在闭区间 f  ,ba 上连续，则 在 上有 最大值与最小值． f   ,ba 证 由有界性定理， f 在 ,ba 上有界，故由确界原理， 有上确界，记为 f M ．以下 我们证明：存在  ,ba ，使 f     M ．倘若不然，对一切 x  ,ba 都有    Mxf ．令 中国矿业大学数学学院 9

华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性1g()= - (g)* [0.6]易见g在[a,b]连续，故g在[a,b]有上界（有界性定理），设G是g的一个上界，则100，则存在xoe(a,b)，使得F(x)=0证将[a,b]等分为两个子区间[a,c]与[6,c].若了(c)=0，则c即为所求；若(c)0，则当f(c)>0时，记[a,b]]=[a,c]，当F(c)0, 且 [a,b][a,b],b -a =再从区间[a,b,]出发，重复上述过程，得到：或者在[a,b]的中点c,上有f(c)=0，或者有闭区间[az,b,]，满足(az)0，且-(b-a)[a2,b,]-[a1,b]]b2 -az =-将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：(1）在某一区间的中点c,上有f(c)=0，则c,即为所求；(2）在任一区间的中点c,上均有g(c.)0，则得到闭区间列(lan,b,J满足f(a,)0,且(b - a),n = 1,2,...[aut,bu]-[an,b,]b, -a, =-由区间套定理，存在点x。=[a,b,ln=1,2,….下证．f(x)=0，倘若了(x）0，不妨10中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性   ],[, )( 1 bax xfM xg    易见 在g  ,ba 连续,故 g 在 ,ba 有上界（有界性定理）.设G 是 g 的一个上界,则   1 0 , ( ) g x Gx ab M fx     [ , ] 从而推得   ],[, 1 bax G Mxf  但这与 M 为 f 的上确界矛盾.故必存在  ,ba ,使    Mf ,即 在 上有最大值, 同理可证 在 上有最小值. f   ,ba f a,b 例 8 用区间套定理证明根的存在性定理：若函数 f 在  ,ba 上连续， ， ，则存在 ，使得 f a   0 f b   0  ,bax0   f x 0   0 ． 证 将  ,ba  等分为两个子区间  ,ca  与  ,cb  ．若 f c   0 ，则 c 即为所求；若 f c   0 ，则当 f c   0 时，记  aa , c 1 b1  ，当 f c   0 时，记   ,bc ,ba 1   1 。于 是有   1 1 fa fb  0, 0  ，且   1 1   1 1   1 , , 2 a b ab b a b a     ． 再从区间 出发，重复上述过程，得到：或者在  11 ,ba   11 ,ba 的中点 上有 ， 或者有闭区间 ，满足 1 c 1 f c() 0   22 ,ba fa fb   2 2  0, 0    ，且        ababbaba 221122 2 2 1 , 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形： (1) 在某一区间的中点ci 上有   0 i f c  ，则 即为所求； i c (2) 在任一区间的中点 ci 上均有 cg i   0 ，则得到闭区间列 满足 ，且  ,ba nn    0, 0 n n fa fb        ,2,1,  2 1 ,  11  nababbaba  nn nnnn n . 由区间套定理，存在点   .,2,1, 0  nn nbax   下证． f x 0   0 ，倘若 ，不妨   0 f x  0 中国矿业大学数学学院 10