华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限第三章函数极限$1函数极限概念sinsinx的图象。引例1考察函数y=x0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-11-1050-50-40-30-20010203040当x→+0(x→-)时, y→?定义1设为定义在[α,+o)上的函数，A为定数．若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时，有I(x)-A|<8则称函数f当x趋于+8时以A为极限，记作lim f(x)= A美或 f(x)→A(x→+o0)++4-yaf(a)C类似可定义：中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 引例 1 考察函数 sin x y x 的图象。 sin 1 x x x -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 当 x x ( ) 时， y ? 定义 1 设 f 为定义在[ ) a, 上的函数， 为定数．若对任给的 A >0，存在正数 M ( ) a ，使得当 x M 时，有 fx A ( ) 则称函数 f 当 x 趋于+ 时以 A 为极限，记作 lim ( ) x f x A 或 xAxf )()( . 类似可定义： 中国矿业大学数学学院 1
函数极限华师大数学分析（第五版)讲义第三章lim f(x)= Alim f(x)= A显然：limf(x)=Alimf(x)=A=limf(x)例1 f(x)=sinx,则xlim f(x)=0, lim f(x)=0, lim f(x)=0X++or-例2 lim (Vx +1-x)=011Vx?+1-x=/x2+1+ xxx-1lim-例3一x+2333x-1+2x+2x + 2][x|-20例4【教材例2]证明：元元(2)(1)limarctanx=lim arctanx=22X→+o任给0由于元、(2)arctanx-0，则当x<-M时便有(2)式成22立．这就证明了1)，类似地可证2)【注】当x→o时arctanx不存在极限，引例2考察函数y=xsin一的图象。xsin-≤xxx2中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 lim ( ) x f x A lim ( ) x f x A 显然：lim ( ) x f x A lim ( ) lim ( ) x x f x A fx 例 1 sin ( ) x f x x ，则 lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) 0 xxx fx fx fx 例 2 2 lim 1 0 x x x 2 2 1 1 1 1 x x x x x 例 3 1 lim 1 x 2 x x 1 33 3 1 2 2 22 x x x xx 例 4［教材例 2］ 证明： （1） 2 arctanlim x x ；（2） lim arctan x 2 x . 任给 0 由于 ) 2 x (arctan (2) 等价 2 arctan 2 x ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，所以只要考察 其右半部分 x 的变化范围．为此，先限制 2 ，则有 ). 2 tan() 2 tan( x 故对任给的正数 ( 2 ) ，只需取 tan( ) 0 2 M ，则当 x M 时便有 式成 立．这就证明了 ，类似地可证 ． )2( )1 )2 【注】 当 x 时arctan x 不存在极限． 引例 2 考察函数 1 y x sin x 的图象。 1 x sin x x 中国矿业大学数学学院 2
华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限0.20.150.10.050-0.05-0.1-0.150.20.1-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.150.2当x→0时，y→?定义2设函数f在点x的某个空心邻域U（xo,)内有定义，A为定数。若对任给的>0存在正数80x例7【教材例4]证明：(1)limsinx=sinxo；(2) lim cosx = cos Xo→TX(1) sin x- in o = 2lcos #+lx-Xo≤x- xolsin22对任给的6>0,只要取8=8，则当0<x-x<8时，就有3中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 当 时， x 0 y ? 定义 2 设函数 f 在点 的某个空心邻域 0 x 0 U x(,) 内有定义， 为定数．若对任给 的 A 0 存在正数 ( ) ，使得当0 xx 0 时，有 fx A ( ) 则称函数 f 当 x 趋于 时以 0 x A 为极限，记作 0 lim ( ) x x f x A 或 0 f () ( ) x Ax x 例 5 0 0 0 (1) lim , (2)lim x x x x cc xx 例 6 0 1 lim sin 0 x x x 例 7［教材例 4］证明： 0 0 0 0 (1) lim sin sin ; (2) lim cos cos x x x x x x x x （1） 0 0 0 0 2 sin 2 cos2sinsin xx xxxx xx ． 对任给的 ,0 只要取 ，则当0 xx 0 时，就有 中国矿业大学数学学院 3
华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限sinx-sinxo0，存在正数8(<)，使得当x<x<x。+时，有Jf(x)-A|<8则称数A为函数f当x趋于x时的右极限，记作lim (x)=A 或 (x)→A(x→x)类似可定义左极限。右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x。的右极限与左极限又分别记为f(xo +0)= lim (x) 与 f(xo -0)= lim f(x)显然lim f(x)= A- lim f(x)= A= lim f(x)例8 f(x)=[x]-2-10211lim f(x)=0,lim f(x)=-1,limf(x)不存在。T例9[习题3.1：习题8，参见教材第四章第1节例3]证明：对Riemann函数R(x)有limR(x)=0，X。E[0,1]（当x为端点时，极限是指单侧极限。4中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 0 sinsin xx ． 所以 . 0 sinsinlim0 xx xx （2） | 2 sin|2| 2 sin|| 2 sin|2|coscos| 0 0 0 0 xxxx xx xx 0 | | x x 其他与（1）类似。 定义 3 设函数 在f 0 U x , 内有定义， 为定数．若对任给的 A 0 ，存在正数 ，使得当 x0 x x0 时，有 fx A 则称数 为函数 当 A f x 趋于 时的右极限，记作 0 x 0 lim x x f x A 或 f x Ax x 0 类似可定义左极限。右极限与左极限统称为单侧极限． 在点 的右极限与左极限又 分别记为 f 0 x xf xf xx 0 0 lim0 与 xf xf xx 0 0 lim0 显然 0 0 0 lim lim lim x x xx xx f x A fx A fx 例 8 f () [] x x 0 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) 1,lim ( ) x x x f x fx f x 不存在。 例 9 [习题 3.1：习题 8， 参见教材第四章第 1 节例 3] 证明：对 Riemann 函数 xR )( 有 0)(lim0 xRxx ， ]1,0[ x0 （当 0 x 为端点时，极限是指 单侧极限）。 中国矿业大学数学学院 4
华师大数学分析(第五版)讲义第三章函数极限β x=号(晚约真分数)R(x)=qq0，x=0,1,(0,1)内无理点1V>0，R(x)≥q≤-的点x只有有限个有理点。设这有限个点为,，",么5即R(x)除了这有限个点之外，都是R(x)<ε。对于[0,1]中的任一点xo，总能取到充分小的，使U°（xo,の）（端点是半邻域）不包含这有限个点。例如，记r=0,+=1，取min(l xo-r,Xoro,r2,"",'+!ISiSk+I8=min(xo-rB,xo=rISiSk+1[itio这样xU(x,)时，有|R(x)-0=R(x)<6.5中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 1 ,( ) ( ) 0 0,1,(0,1) p x R x q q x 既约真分数 ， 内无理点 0 ，R x( ) 1 q 的点 x 只有有限个有理点。设这有限个点为 . 即 1 2 , , k rr r R( ) x 除了这有限个点之外，都是 R x( ) 。 对于 中的任一点 ，总能取到充分小的 ]1,0[ 0 x ，使 0 U x( ,) （端点是半邻域）不包 含这有限个点。例如，记 ，取 0 1 0, 1 k r r 1 0 0 0 0 02 1 1 0 0 1 1 min {| |}, , , , min {| |}, i k i k i i i k i i x r x rr r xr x r 这样 0 xUx ( ,) 时，有| ( Rx Rx ) 0| ( ) . 中国矿业大学数学学院 5
华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限S2函数极限的性质定理1（唯一性）若极限limf(x)存在，则此极限是唯一的.定理2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x的某空心邻域U（x）内有界.定理3（局部保号性）若limf(x)=A>0，则对任何正数rr>0【注】在以后应用局部保号性时，常取r=号.2设limf(x)与都limg(x)都存在，且在某邻域U(xo,8)上有定理4（保不等式性）f(x)≤g(g),则lim (x)≤ lim g(x)定理5（迫敛性）设limf(x)=limg(x)=A，且在某U(xo,8)上有J(x)≤ h(x)≤g()则 lim h(x)= A.定理6（四则运算法则）若极限limf(x)与limg(x)都存在，则函数±g,f·g当x→x时极限也存在，且1) lim [f(x)± g(x)]= lim f(x) ± lim g(x);2) lim [f(x)g(x)]= lim f(x). lim g(x)又若limg(x）+0，则f/g当x→x时极限存在，且有兴= lm ()/im g(),3）lim-→x0o g(x)X→0例1f(x)=a,x"+au-x"-l +...+ax+a,则limf(x)=f(x)6中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 §2 函数极限的性质 定理 1（唯一性） 若极限 xf xx 0 lim 存在，则此极限是唯一的． 定理 2（局部有界性）若 xf xx 0 lim 存在，则 在 的某空心邻域 内有界． f 0 x U x 0 定理 3（局部保号性） 若 0 lim 0 x x fx A ，则对任何正数 r A ，存在某 ， 使得对一切 U x 0 xU x 0 ，有 rxf 0 【注】在以后应用局部保号性时，常取 2 A r ． 定理 4（保不等式性） 设 xf xx 0 m li 与都 xg xx 0 m li 都存在，且在某邻域U 0 (,) x 上 ， 有 f xgx 则 xf xx 0 lim xg xx 0 lim 定理 5（迫敛性） 设 0 limx x f x 0 limx x gx A ，且在某 0 U x(,) 上有 xf xh xg 则 ． 0 limx x hx A 定理 6（四则运算法则）若极限 xf xx 0 lim 与 xg xx 0 lim 都存在，则函数 当 时极限也存在，且 , gfgf 0 xx )1 0 lim xx xgxf 0 lim xx xf 0 lim xx xg ； 2） 0 lim xx xgxf 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x g x 又若 ，则 0 lim xx xg 0 f / g 当 时极限存在，且有 0 xx 3） 0 lim xx xg xf xgxf xx xx 0 0 lim lim ． 例 1 1 1 1 ( ) n n n n 0 f x a x a x ax a ，则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx 中国矿业大学数学学院 6
华师大数学分析(第五版)讲义第三章函数极限3例2求limx+1I-i(x+1当x+1±0时有31(x + 1)(x - 2)x-2x3+1x3 +1x?-x+1x+1故所求的极限等于x-2-1-2lim(-1)2 -(-1)+1+-1 x2-x+1sinxo =tan x (cos xo ±0)sinxlim tan x = lim例3+ocosxX->X0cOSXo1例4教材例1]求lim当x>0时，有1-x≤1，而lim(1-x)=1，故由迫敛性得：lim1-x，故由迫敛性得：limx当x0,a+1)当α>1时，对任给的ε>0（不妨设1时）的严格递增性，只要log,(1- )<x<log,(1+s)于是，令 = min(log,(1 +s),-log,(1-s))则当0<风<8时，就有a-1<8成立，从而证得结论，7中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 例 2 求 1 3 1 1 lim 3 x 1 x x ． 当 时有 x 01 1 2 1 21 1 3 1 1 3 3 2 x x x x xx x x 故所求的极限等于 1 111 21 1 2 lim 2 2 1 xx x x 例 3 0 0 0 0 0 0 sin sin lim tan lim tan cos 0 cos cos xx xx x x x x x x x 例 4[教材例 1] 求 0 lim x x x 1 。 1 1 1 1 x x x 当 时，有 x 0 1 x x x 1 1，而 0 lim (1 ) 1 x x ，故由迫敛性得： 0 lim x x x 1 =1 当 时，有 x 0 1 x x 1 1 x ，故由迫敛性得： 0 lim x x x 1 1 综上， 0 limx x x 1 1。 例 5［教材例 4，习题 3.2：6］ 证明 0 lim 1 0, 1 x x a aa 。 当 时，对任给的 a 1 0 (不妨设 1)，为使 1 x a 即1 x a 1 ，利用对数函数 （当 时）的严格递增性，只要 x a log a 1 1log 1log a a x 于是，令 a a 1log,1logmin ， 则当0 x 时，就有 1 x a 成立，从而证得结论． 中国矿业大学数学学院 7
华师大数学分析(第五版)讲义第三章函数极限一当01，则a1lima"= lim--x→0 b*x-→0例6［习题3.2：5]设f(x)>0,lim f(x)=A。证明：limf(x)=A其中n≥2为正整数。因为f(x)>0，由保不等式性，limf(x)=A≥0。（1）当A=0时，由limf(x)=0，V>0,38>0当00时，由limf(x)=A>0,V>0,38>0,当00,38>0，当0u-<8时，有[f(u)- A|<8由（2)，对上面8，38(0<8<)，当0x-x<8时，有（结合条件(3)）8中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 中国矿业大学数学学院 8 当 时，令 0 a 1 1 b 1 a ，则 0 0 1 lim lim 1 x x x x a b 例 6［习题 3.2：5］ 设 0 ( ) 0, lim ( ) x x f x fx A。证明： 0 lim ( ) n n x x f x A 其中 为正整数。 n 2 因为 ，由保不等式性， f x() 0 0 lim ( ) 0 x x fx A 。 （1）当 A 0 时，由 0 lim ( ) 0 x x f x ， 0, 0, 当 0 0 x x 时，有 ( ) n f x ，即 ( ) n f x ，证得 0 lim ( n x x f x ) 0 。 （2）当 A 0 时，由 0 lim ( ) 0 x x fx A ， 0, 0, 当 0 0 x x 时，有 fx A ( ) 。从而 1 2 11 ( ) ( ) ( ) () () n n n n n n nnn nnn fx A fx A fx A 1 f x Af x A A A 证得 0 lim ( ) n n x x f x A 。 定理 7（复合函数极限定理 1）设 （1） 0 lim ( ) u u f u A （ 可无穷）； 0 u A, （2） 0 0 lim ( ) x x gx u （ 0 x 可无穷）； （3）在 0 x 的某空心邻域 0 U x(,) 上， 0 gx u ( ) （当 无穷时，此条件不要）； 0 u 则 0 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u u f gx fu A 证 设 0 0 x ,u 都是有限数， A 也是有限数（其它情况作为习题，极限为地穷时，见后面 内容）。 由（1）， 1 0, 0 ，当 0 0 u u 1 时，有 fu A ( ) 由（2），对上面 1 ， (0 ) ，当 0 0 x x 时，有（结合条件(3)）
华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限0X0值得注意的是，我们令u=g(x)，这里u是x的一个函数，u→u(x→x)可能是某种特殊的方式。而右面的limf(u)中的u是独立的自变量，是以任何方式趋于uo，这里的u可换成任何一个字母。前后两个u本质不同。为了方便，我们通常使用同一个字母。例如：lim sinx=元limsinu=010(x→0)→0x->0【注3】定理中的条件（3）是必要的。如果没有它，可能导致错误。例如：[0,u01.f(u) :g(x) = xsin-[1,u= 0x显然limg(x)=0, lim f(u)= 0但limf[g(x)不存在。这是因为：对任意小邻域U(0,)，g(x)都有无穷多值=0，又有无穷多个值+0，因此，f[g(x))都有无穷多值=0，又有无穷多个值=1，故limf[g(x))不存在。【注4】定理中的条件只是充分的。例如：9中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 0 1 0 () gx u 于是 f gx A [ ( )] 这就证得 0 lim [ ( )] x x f gx A 。 【注 1】 对该定理的理解：由于 0 lim ( ) u u f u 是存在的，则u 以任何方式趋于 （但不等 于 ），极限都存在且等于 0 u 0 u A 。当u 取特殊的方式： 0 0 u gx u x x () ( ) 时（ ）， 极限也存在且等于 0 g x( ) u A 。 【注 2】【变量替换法】在解题时，为了方便，常采用如下变量替换法： 0 0 0 0 ( ) ( ) lim [ ( )] lim ( ) x x u xx u u u u gx f g x f u 值得注意的是，我们令 xgu )( ，这里u 是 x 的一个函数， 可能是某 种特殊的方式。而右面的 中的u 是独立的自变量，是以任何方式趋于 ，这里的u 可换成任何一个字母。前后两个u 本质不同。为了方便，我们通常使用同一个字母。 0 u ux x ( 0 u 0 ) uf )(limua 例如： 2 2 0 0 0( 0) limsin limsin 0 x u u x u x x u 【注 3】定理中的条件（3）是必要的。如果没有它，可能导致错误。 例如： x xxg 1 sin)( ， 0,1 0,0 )( u u uf 显然 0)(lim0 xg x ， 0)(lim0 uf u 但 )]([lim 不存在。这是因为：对任意小邻域 0 xgf x U (0, ) ， 都有无穷多值 ，又有 无穷多个值 ，因此， g x( ) 0 0 f [ ( )] g x 都有无穷多值 0 ，又有无穷多个值 1，故 不存在。 xg )]( x [lim0 f 【注 4】定理中的条件只是充分的。例如： 中国矿业大学数学学院 9
华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限1sin-u±0g(x)=0, f(u)=u1,u=0limf(u）不存在，limg(x)=0,x0但flg(x)l=1，极限存在。Vi+x-1 y=/i+x11y-例 7lim=limim-iy+i"2°x→0x= y2 -1 y-i y2 -1x设定理8（复合函数极限定理2）［参见第四章复合函数的连续性］(1) lim f(u)=f(uo);1→0(2) lim g(x)= uo:则lim f[g(x)]= f[lim g(x)]= f(uo)这个定理的证明与上一个定理的证明完全类似。只要注意到，由（1)，s>0,38，当o时，有f()-()，不需要0-ol。【注】（在第四章中，如果limf(u)=f(u），则称为f在点u.连续，此时，极限运算与复合运算可交换。lim sin(1-x)= sin(lim(1-x))= sin 0= 0 ,例8sinx/m(2-sinx) - /2-0= /2.例9lim120xX10中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 xg 0)( ， 0,1 0, 1 sin )( u u u uf 0)(lim0 xg x ， 不存在， )(lim0 uf u 但 xgf 1)]([ ，极限存在。 例 7 2 0 1 2 1 1 1 1 1 lim lim lim x y 1 1 y 1 2 x y y x x y x y y 1 1 。 定理 8（复合函数极限定理 2）［参见第四章复合函数的连续性］ 设 （1） 0 0 lim ( ) ( ) u u f u fu ； （2） 0 0 lim ( ) x x gx u ； 则 0 0 0 lim [ ( )] [lim ( )] ( ) x x x x f gx f gx fu 这个定理的证明与上一个定理的证明完全类似。只要注意到，由（1）， 1 0, ， 当 0 u u 1 时，有 0 fu fu () ( ) ，不需要 0 0 u u 。 【注】（在第四章中，如果 0 0 lim ( ) ( ) u u f u fu ，则称为 f 在点 连续，此时，极限运 算与复合运算可交换。 0 u 例 8 2 2 1 1 limsin(1 ) sin(lim(1 )) sin 0 0 x x x x 。 例 9 sin sin lim 2 lim(2 ) 2 0 2 x x x x x x 。 中国矿业大学数学学院 10