中国矿业大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第五章 特征值与特征向量

第5章特征值与特征向量$5.1特征值与特征向量的概念与性质$5.2方阵的对角化发展阁读5.1Jordan标准形简介发展阅读5.2特征值的估计

第5章 特征值与特征向量 §5.2 方阵的对角化 §5.1 特征值与特征向量的概念与性质 发展阅读5.1 Jordan标准形简介 发展阅读5.2 特征值的估计

S 5.1 特征值与特征向量的概念与性质矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如工程技术中的振动问题：数值计算中的稳定性问题：经济学中的主成分分析(PCA);微分方程组的求解：搜索引擎中的网页排序

-2- §5.1 特征值与特征向量的概念与性质 矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如： ◆工程技术中的振动问题; ◆数值计算中的稳定性问题； ◆经济学中的主成分分析(PCA); ◆微分方程组的求解; ◆搜索引擎中的网页排序

注：1.本章约定，所涉及的数域是复数域2.记号Cnxn表示复数域上 n阶矩阵的全体3.记号Cn表示复的n维列向量的全体

-7- n 记号C 表示复的n维列向量的全体. 注： 2. 3. n n C 记号  表示复数域上ｎ阶矩阵的全体. 1. 本章约定，所涉及的数域是复数域

一、特征值与特征向量的概念定义 设 Aε Cnxn,如果存在数 ε C和非零向量 αCn 满足(1)Aα= α则称数2.为A的特征值，称非零向量α为A的对应于(或属于)特征值么的特征向量把(1)改写为(2)(,E- A)α = 0由(2)得是A的特征值,E-A=0介α是A的属于特征值2的特征向量C是齐次方程组(^,E一A)x=0 的非零解8

-8- 把(1)改写为 0 A    (1) 0 ( ) 0 (2)   E A  定义 设 AC n n , 如果存在数 0 C 和非零向量 满足 n αC 则称数 为A的特征值, 称非零向量 为A的对应于(或属于)特征 值 的特征向量. 0  0 由(2)得 ◆ 0 是A的特征值  ◆  是A的属于特征值 0 的特征向量  是齐次方程组 ( ) 0 0 E A x   的非零解 一、特征值与特征向量的概念 0  E A   0 

[2-a记-ain-a121-a22-α21-a2nf()=|ZE-A =a-αm-anl-an2= an -(a + a22 +...+ am)an-l +..+(-1)"|A称f()为 A 的特征多项式，称代数方程f(a)=|E-A|=0为 A的特征方程．aE－A 为A的特征矩阵由前面的分析知，A的特征值就是特征方程的根，而特征方程的根即为A的特征值由代数学基本定理，n次代数方程f（a）=O在复数域上恰有 n个根(重根按重数计算)，记为，，···，则特征方程可分解为 f()=(-)-)(-)=0因此，n阶方阵在复数域上恰有n个特征值9

-9- 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n A n n nn a a a a a a f E A a a a                  1 11 22 ( ) ( 1) n n n nn   a a a A          记 称 为 A 的特征多项式，称代数方程 为 A 的特征方程. 为A的特征矩阵。 ( ) 0 A f A ( )  f E A      由前面的分析知，A的特征值就是特征方程的根，而特征方 程的根即为A的特征值. 由代数学基本定理，n次代数方程 在复数域上恰 有 n 个根(重根按重数计算), f A ( ) 0   因此，n 阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值. 1 2 ( ) ( )( ) ( ) 0. A n f             1 2 , , , 记为  n 则特征方程可分解为 E A

0 -1求矩阵 A=例1的特征值与特征向量0解：求特征多项式22 +1f()=|E- A解特征方程f()=2 +1=0得特征值为4=i, =-i (i=/-1)-10

-10- 解特征方程 例1 求矩阵 的特征值与特征向量. 0 1 1 0 A         2 1 ( ) 1 1 f E A              1 2      i , i i 1   求特征多项式 2 f ( ) 1 0      得特征值为 解：

解方程组（E-A)x=O， 得基础解系：α, =-1则属于特征值孔的所有的特征向量为kα;(k, EC,k ±0)解方程组(,E-A)x=0，得基础解系：α,则属于特征值 的所有的特征向量为k,α,(k, EC,k, ±0)-11

-11- 解方程组 1 E A x    0 ， 1 i 1          1 1 1 1 k k C k  ( , 0)   则属于特征值 1 的所有的特征向量为 解方程组 2 E A x    0 ，得基础解系： 2 i 1         2 2 2 2 k k C k  ( , 0)   则属于特征值 2 的所有的特征向量为 得基础解系：

aαi2aina22a2n例2求矩阵 A=的特征值am解：由α-a*1-a22ZE- A ==(-ar)(-a22)...(-an)Λ-am得 A 的 n 个特征值为 =a11, = a22,, , = am：对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？-12-

-12- 例2 11 12 1 22 2 n n nn a a a a a A a              求矩阵 的特征值. 得 A 的 n 个特征值为 1 11 2 22 , , , n nn       a a a 问： 解： 11 22 ( )( ) ( ) nn E A   22        a a a   a nn   a  11   a 对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？

366例3 求矩阵 A=６3６的特征值和特征向量-9-6-6元-3-6-61-3-6-6r3 +ri解: |2E-A|=-6元-3-61-3-6-666元 +90元+3+3元-3-6-6[1 +3-6-6 C1 - C3=(几+3)-6 -3-60-3-6+3100011=(π-3)(π+3)-13

-13- 例3 3 6 6 6 3 6 669 A             求矩阵 的特征值和特征向量. 3 6 6 6 3 6 6 6 9 E A              解：   3 6 6 3 6 3 6 1 0 1              3 6 6 3 0 3 6 0 0 1             2      3 3 3 6 6 6 3 6 3 0 3             3 1 r  r 1 3 c  c

A 的特征值为 =3, = =-3对于 =3，解方程组（E－A)x=0[0-6-601０１=-60-6E-A =3E-A=0L0O6126x =-x3 令 x,=-1 ，得基础解系同解方程组为x2 = -x3α, =[1, 1, -1]T因此，对应于特征值 ，的所有特征向量为kα(k ±0)-14

-14- 1 2 3 A 的特征值为        3, 3 对于 1  3 ， 0 6 6 3 6 0 6 6 6 12 E A                 1 3 2 3 x x x x        同解方程组为 ， T 1    [1,1, 1] 因此，对应于特征值 1 的所有特征向量为 1 1 1 k k  ( 0)  1 解方程组 ( ) 0  E A x   1 E A   r 1 0 1 0 1 1 000            令 x3  1 ，得基础解系