华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第4章 函数的连续性

华师大数学分析（第五版)讲义第四章函数的连续性第四章函数的连续性$1连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线：当然我们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性，一、函数在一点的连续性定义1设函数f在某U(x)内有定义.若lim f(x)= f(xo)则称f在点x连续。设函数f在某U（x）内有定义.若f在点x无定义，或f在点x有定义而不连续，则称点x。为函数f的间断点或不连续点，若x。为函数f的间断点，则必出现下列情形之一：（1）f在点x无定义(2）极限limf(x)不存在；(3）f在点x有定义且极限limf(x)）存在，但limf(x）+f(x）1xsin-,x±0例如：函数f(x)，在点x=0连续x[0,x=0sinx,x0函数f(x)=x在点x=0连续[1,x=0增量形式的定义1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一、函数在一点的连续性 中国矿业大学数学学院 1 定义 1 设函数 在某 f U x0 内有定义．若     0 0 limx x f x fx   则称 f 在点 连续． 0 x 设函数 在某 内有定义．若 在点 无定义，或 在点 有定义而不连续， 则称点 为函数 的间断点或不连续点． f U x  0  f f 0 x f 0 x 0 x 若 为函数 的间断点，则必出现下列情形之一： 0 x f （1） 在点 无定义 f 0 x （2）极限 xf  xx 0 lim  不存在； （3） 在点 有定义且极限 f 0 x xf  xx 0 lim  存在，但 xf  xx 0 lim    0  xf 例如：函数   1 sin , 0 0, 0 x x f x x x         ,在点 x  0连续 函数   sin , 0 1, 0 x x f x x x         ,在点 x  0连续 增量形式的定义

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性记△r=x-x，称为自变量x（在点x)的增量。设y=f()，相应的函数y（在点x。)的增量记为Ay= f(x)- f(x)= f(x。 +Axr)- f(x)= y-o则y=f(x)在点x连续limAy=0定义2设函数f在某U,(x)(U.(x))内有定义若lim (x)= (x0) (lim (g)= (x0)→则称f在点x右(左)连续显然函数f在点x连续f在点x。既是右连续又是左连续[x+2,x≥2例如：J(x)在点x=0右连续，但不左连续，从而它在x=0不连续。1x-2,x<0[1,xeQ没有连续点。例1狄利克雷函数D(x)=10,xEQ因为VxR，limD(x)不存在（由归结原则）例2函数f(x)=xD(x)仅在点x=0连续显然由limf(x)=f(0)=0，f在点x=0连续另外，Vx0，limf(x)不存在。这是因为取有理点列x→x，f(x)=xD(x)=x→x±0取无理点列→，（）=xD（）=0→0例3黎曼函数[1当x=(p，q为正整数，p/q为既约真分数)R(x)=qa[o,当x=0,1及（0,1）内无理数在（0,1）内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 记  xxx 0 ，称为自变量 x (在点 x0 )的增量．设   0 0  xfy ，相应的函数 (在 点 )的增量记为 y 0 x         0 0 0 0         yyxfxxfxfxfy 则    xfy 在点 连续 0 x  0lim 0    y x 定义 2 设函数 在某 f U x    0 U x   0  内有定义．若     0 0 lim x x f x fx       0 0 lim x x f x fx         , 则称 在点 f x0 右(左)连续． 显然 函数 在点 连续 f 0 x  f 在点 既是右连续又是左连续 0 x 例如：   在点       0,2 2,2 xx xx xf x  0右连续，但不左连续，从而它在 不连续。 x  0 例 1 狄利克雷函数   1, 0, x Q D x x Q       没有连续点。 因为 0   x R ， 不存在（由归结原则）   0 limx x D x  例 2 函数    xxDxf 仅在点 x  0连续． 显然 由   ， 0 lim ( ) 0 0 x fx f    f 在点 x  0连续. 另外， ， 0   x 0   0 limx x f x  不存在。这是因为 取有理点列 n 0 x  x ，     0 0 n nn n f x xD x x x   取无理点列 n 0 x  x ，     0 0 n nn f x xD x    例 3 黎曼函数     1 , 0 0 1 01 p x p q pq R x q q x         当 为正整数 为既约真分数 当 及 内无理数 ， ， ， ， （，） 中国矿业大学数学学院 2 在 内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续． 10 ），（

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性由上一章例题VxE[0,1]，limR(x)=0便知。（间断点是可数无穷多)二、间断点的分类第一类间断点：左右极限都存在的间断点。第二类间断点：非第一类的间断点。即左右极限至少有一个不存在。第一类间断点又分为可去间断点与跳跃间断点1.可去间断点若lim(x)=A，而f在点x。无定义，或有定义但f(x）+A，则称x。为f的可去间断点例如，(t)=bsgn，x=0是丁的可去间断点。又如g(s)=，x=0是g 的可x去间断点设x为函数f的可去间断点，且limf（x）=A，定义[f(x), x+xo(x)=A,X=X则对于函数，在点x连续，2.跳跃间断点若函数f在点x。的左、右极限都存在，但lim f(x)+limf(x)，则X→xX→Xn称点x为函数f的跳跃间断点例如，f(x)=[x]，当x=n（n为整数)时有lim[x]= n-1, lim[x]= n整数点都是函数f(x)=[x的跳跃间断点.第二类间断点的例子：(x)= 1,，当x→0时，不存在有限的极限（无穷间断点）xf(x)=sin一在点x=0处左、右极限都不存在（振荡间断点）x狄利克雷函数D(x），其定义域R上每一点x都是第二类间断点3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 中国矿业大学数学学院 3 由上一章例题 x 0 0 [0,1], lim ( ) 0 x x x R     便知。（间断点是可数无穷多） 二、间断点的分类 第一类间断点：左右极限都存在的间断点。 第二类间断点：非第一类的间断点。即左右极限至少有一个不存在。 第一类间断点又分为可去间断点与跳跃间断点 1．可去间断点 若   0 limx x f x   A，而 在点 无定义，或有定义但 f 0 x   0 f x A  ， 则称 为 的可去间断点． 0 x f 例如，    sgn xxf ， 是 x  0 f 的可去间断点．又如   x x xg sin  ， 是 的可 去间断点． x  0 g 设 x0 为函数 的可去间断点，且 f   0 limx x f x   A，定义 0 0 ( ), ˆ( ) , f x xx f x A xx       则对于函数 ˆ f 在点 连续． 0 x 2．跳跃间断点 若函数 f 在点 的左、右极限都存在，但 0 x   xfxf xx xx      0 0 lim lim ，则 称点 为函数 的 x0 f 跳跃间断点． 例如，    xxf ，当 x  n ( n 为整数)时有 lim   1   nx nx ，   nx nx    lim 整数点都是函数 的跳跃间断点．      xxf 第二类间断点的例子： 1 f x( ) x  ，当 时，不存在有限的极限（无穷间断点） x  0 1 f x( ) sin x  在点 处左、右极限都不存在（振荡间断点） x  0 狄利克雷函数 ，其定义域   xD R 上每一点 x 都是第二类间断点．

华师大数学分析（第五版)讲义第四章函数的连续性三、区间上的连续函数若函数f在区间I上的每一点都连续，则称f为I上的连续函数，记为fEC(I）。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。如函数y=sinx是R上连续函数，又如y=V1-x2在(-1,1)每一点处都连续，在x=1为左连续，在x=-1为右连续，因而它在[-1,]上连续若函数在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则称在[a,b]上分段连续。例如，函数y=[x]和y=x-[x]]在区间[-3,3]上是分段连续的4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 三、区间上的连续函数 若函数 在区间 f I 上的每一点都连续，则称 为f I 上的连续函数，记为 f C I( ) 。对 于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续． 如函数 y  sin x 是 R 上连续函数，又如 2 1 xy 在  )1,1( 每一点处都连续，在 为左连续，在 为右连续，因而它在 x  1 x  1  1,1 上连续． 若函数 在区间 上仅有有限个第一类间断点，则称 在 f  ,ba  f  ,ba 上分段连续． 例如，函数    xy 和  xxy ]在区间 3,3 上是分段连续的． 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性s2连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理1(局部有界性）若函数f在点x连续，则f在某U(x）内有界定理2(局部保号性）若函数f在点x连续，且f(x)>0（或r（或f(x)0时，存在某U(x）使在其内有f(x)>f(x0)定理3(四则运算）若函数f和g在点x连续，则f±g,·gf/g（这里g(x）+0）也都在点x。连续.定理4（复合函数的连续）若函数g在点x。连续，uo=g（x），f在点u连续，则复合函数(fg)(x）=f[g(x))在点x。连续【注】见上一章。二、闭区间上连续函数的基本性质定义1设f为定义在数集D上的函数.若存在x，ED，使得对一切xED有f(x)≥f(x) (f(x)≤f(x)则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x）为f在D上的最大（最小)值，称x为f在D上的最大（最小)值点。定理4（最值性定理）若feC[a,b]，则f在[a,b]上有最大值与最小值证（用致密性定理证明）记M = sup f(x) (-00< M≤ +o0)xe[a,b]5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 §2 连续函数的性质 一、连续函数的局部性质 定理 1(局部有界性) 若函数 f 在点 连续，则 在某 0 x f   0 xU 内有界． 定理 2(局部保号性) 若函数 f 在点 连续，且 0 x   0 xf  0 (或 0 )，则对任何正数    xfr 0 (或   0   xfr )，存在某   0 xU ，使得对一切 x    0 xU 有    rxf （或 f   x r   ）。 【注】 在具体应用局部保号性时，常取   0 2 1  xfr ，则当   0 xf  0时，存在某 使在其内有   0 xU   xf    0 2 1 xf . 定理 3(四则运算) 若函数 和 在点 连续，则 f g 0 x   , gfgfgf (这里 ) 也都在点 连续．   xg 0  0 0 x 定理 4（复合函数的连续）若函数 在点 连续， g 0 x u gx 0   0  ， f 在点 连续，则复 合函数 u0 ( )( ) [ ( f  g x fgx  )]在点 连续． 0 x 【注】见上一章。 二、闭区间上连续函数的基本性质 定义 1 设 为定义在数集 上的函数．若存在 f D  Dx0 ，使得对一切 有  Dx f   x fx fx fx 0 0          ， 则称 在 上有最大 f D (最小)值，并称   0 xf 为 在 上的 f D 最大(最小)值，称 0 x 为 在 上 的最大(最小)值点。 f D 定理 4 (最值性定理) 若 f C ab  ,  ，则 在f  ,ba 上有最大值与最小值． 证 （用致密性定理证明）记 [,] sup ( ) x ab M f x   ( )     M 中国矿业大学数学学院 5

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性下面证明3(x}c[a,b]，使得lim f(x,)= M如果-0n显然有limf(x）=+oo又(x,)c[a,b]，(x,)有界，由致密性定理，(x,)有收敛子列，不妨假设就是它本身。于是设limx,=x，显然x[a,b]，再由f的连续性得lim f(x,)= f(xo)= M上式说明M必为有限数，就是f(x)在[a,b]上的最大值。同理可证，f(x)在[a,b]上有最小值。由最值定理立即得下面有界性定理。定理5(有界性定理）若f eC[a,b]，则在[a,b]上有界定理 6(根的存在定理）若f eC[a,b],且f(a)与f(b)异号(即f(a)F(b)<0),则至少存在一点x。E(a,b)，使得f(x)=0，即方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个根这个定理的几何解释如下图所示：若点A(a,f(a))与B(b,f(b)分别在x轴的两侧，则连接A、B的连续曲线y=f(x）与x轴至少有一个交点.6中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 下面证明   [,] n   x a b ，使得 lim ( ) n n f x M   如果     M ，根据上确界的定义，取 n 1,2,，则 [,] n x  a b ，使得 1 ( ) M n fx M n    两边取极限，即得 lim ( ) n n f x M   。 如果 M   ，即 f ( ) x 无上界，取 n 1,2,，则 [,] n x  a b ，使得 ( ) n f x n  显然有 lim ( ) n n f x    又  [,] n x  a b ，xn 有界，由致密性定理，xn 有收敛子列，不妨假设就是它本身。 于是设 0 lim n n x x   ，显然 0 x [,] a b ，再由 f 的连续性得 0 lim ( ) ( ) n n f x fx M    上式说明 M 必为有限数，就是 f ( ) x 在[ , a b]上的最大值。 同理可证， f ( ) x 在[ , a b]上有最小值。 由最值定理立即得下面有界性定理。 定理 5 (有界性定理) 若 f C ab  ,  ，则 在f  ,ba 上有界． 定理 6(根的存在定理) 若 f C ab  ,  ，且 af 与 bf 异号(即    bfaf  0 )，则至 少存在一点 ，使得  ,bax0     xf 0  0，即方程 xf   0 在 ,ba 上至少有一个根． 这个定理的几何解释如下图所示：若点  , afaA 与  , bfbB 分别在 x 轴的两侧，则 连接 、A B 的连续曲线 与    xfy x 轴至少有一个交点． 中国矿业大学数学学院 6

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性AVf(b)fa证不妨设f(a)0。记E =(x| f(x)0以及连续函数的局部保号性知，38>0，使得f(x)0,xe(b-8,b)这说明x+a,b，即xE(a,b)。其次再证明f(x)=0。倘若f(x）+0，不妨设f(x）μ>f(b))，则至少存在一点x。e(a,b)，使得f(xo)= μ.证令g(x)=f(x)-μ。由根的存在定理立即得证。7中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 证 不妨设 fa fb     0, 0 。记 E   x f x x ab | ( ) 0, [ , ] 显然 E   且 E 有界，记 0 x  sup [ , ] E ab  。 首先证明 0 x  a b, ，即 0 x (,) a b 。由 fa fb    0, 0    以及连续函数的局部保号性 知，   0 ，使得 f x x aa     0, [ , )  和 f  x xb    0, ( , ]  b 这说明 0 x  a b, ，即 0 x (,) a b 。. 其次再证明 xf 0   0 。倘若 f x 0   0 ，不妨设 f x 0   0 。再由局部保号性， 0 Ux a ( ,) (   , ) b ，使得 f x 0   0 ， 0 x Ux  ( ,)  特别地 0 0 2 f x          ，因此 0 2 x E    ，这与 0 x  sup E 相矛盾。 【注】如果 ，也称 0   xf 0  0 x 是函数 f 的一个零点。因此，根的存在定理也称零点 存在定理。 定理 7 (介值性定理 1) 设 f C ab  ,  ，且 af   bf ．若  为介于 与 之 间的任何实数   af   bf (     faf   b 或 af     bf )，则至少存在一点 ，使得 a, 0  bx    . xf 0   证 令 gx f x () ()    。由根的存在定理立即得证。 中国矿业大学数学学院 7

华师大数学分析（第五版)讲义第四章函数的连续性这个定理表明，若f在[a,b]上连续，又不妨设f(a)0，n为正整数，则存在唯一正数xo，使得x。=r。证先证存在性。由于当x→+o时有x"→+oo，故必存在正数a，使得α">r.因f(x)=x"在[0,a]上连续，并有F(0)<r<f(a)，故由介值性定理1，至少存在一点X(0,a),使得f(x)=x =r再证唯一性。设正数x使得x"=r，则有x° - x" = (xo -,(x-- + x-2x, +..+ x-)= 0由于第二个括号内的数为正，所以只能x。-x,=0，即x,=xo【注】上面x称为r的n次正根（即算术根），记作x=/）例2（教材例4）设f在[a,b|上连续，满足8中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 中国矿业大学数学学院 8 这个定理表明，若 f 在  ,ba 上连续，又不妨设 f    bfa ， 在 上 中 则 f   a, 必能取得 区间  f 的一切值，即有 b   , bfa   ,     ,bafbfaf  其几何意义如下图所示． 定理 8(介值性定理 2) 若函数 f 在闭区间 ,ba 上连续， f 在 ,ba 上的最大值为 M ， 最小值为 m ，则 在f  ,ba 上必能取得区间m M,  中的一切值，即 af ,     , Mmb 。 证 由最值性定理，记 1 1 [,] [,] min ( ), max ( ) x ab x ab a fx b f     x 不妨设 ，则对区间 用介值性定理 1 a b 1  [,] a b 1 1 1 即得证。 例 1（教材例 3） 证明：若 ， 为正整数，则存在唯一正数 ，使得 r  0 n 0 x 0 n x  r 。 证 先证存在性．由于当 x  时有 ，故必存在正数  ，使得 n x a n a  r ．因   在 上连续，并有 n  xxf  ,0 a f 0  r  af  ，故由介值性定理 1，至少存在一点 0  ,0 ax ，使得    xx 00 r n f  ． 再证唯一性．设正数 使得 ，则有 1 x rx n 1     0 1 1 1 2 0 1 01010  nn nn  n  xxxxxxxx ， 由于第二个括号内的数为正，所以只能  xx 10  0，即 01  xx . 【注】上面 0 x 称为 r 的 次正根（即算术根），记作 n n  rx0 )． 例 2（教材例 4） 设 在f  ,ba 上连续，满足

华师大数学分析(第五版)讲义第四章函数的连续性(a,b) c[a,b]证明：存在x。=[a,b]，使得(x)=xo证条件意味着：对任何xe[a,b]有a≤f(x)≤b，特别有a≤(a) 以及 (b)≥b若α=f(a)或f(b)=b，则取x=a或b即可.现设a0,，F(b)=f(b)-b0。由F(x) = x2n(a2m+ + 2n +.+ % + )1.2n+1Y2n知 lim f(x)=-0, lim f(x)=+0，故存在a0因f在[a,b]上连续，于是由根的存在定理，存在xE(a,b)，使得f(x)=0。例4（习题4.2：19）设函数在[a,b]上连续，x,x2,,x[a,b]。证明：存在9中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性     , babaf  证明：存在 ，使得  ,bax0     00  xxf . 证 条件意味着：对任何   ,bax 有     bxfa ，特别有  afa  以及    bbf ． 若 或    afa    bbf ，则取  ax0 或b 即可． 现设 与 ．令    afa    bbf       xxfxF 则   aafaF  ,0 ，       bbfbF  0   . 0  x ．故由根的存在性定理，存在 ， 使得 ，即 （参见下图） x0    ,ba   xF 0  0 xf 0 a b b a 例 3（习题 4.2：10）证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。 证 设实系数奇次方程为 21 2 21 2 1 0 ( ) 0 n n n n f x a x a x ax a         2 1 0 n a ，   不妨 。由 2 1 0 n a   2 1 2 0 1 2 1 2 2 () ( ) n n n n n a a a fx x a x xx         1 知 lim ( ) , lim ( ) ，故存在 x x fx fx       a b  ， fa fb ( ) 0, ( ) 0   因 f 在[ , a b]上连续，于是由根的存在定理，存在 0 x (,) a b ，使得 。 0 f x()0  例 4（习题 4.2：19）设函数 f 在a b,  上连续， x1 2 , , x xa  n  b 。证明：存在 中国矿业大学数学学院 9

华师大数学分析(第五版)讲义第四章函数的连续性e[a,b]，使得[(x)+f()+..+f(x,)]。()=+证记M=maxf(x),m=minf(x)，则ms}Zf(x)≤Mn由介值性定理2，存在e[a,b]，使得()=之(x)。三、反函数的连续性定理9若函数f在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f-在其定义域[f(a),f(b)]或[r(b), f(a)] 上连续.C证不妨设f在[a,b]上严格增此时f的值域即反函数f-I的定义域为[f(a)f(b)].任取y。e(f(a),f(b)，设x。=f-(yo)，则xoE(a,b).于是对任给的>0，可在(a,b)内x的两侧各取异于x的点x,x(x<x<x)，使它们与x的距离小于(见图)设与x,对应的函数值分别为y，，由的严格增性知yy<2，令S= min(y2 - yo, o - y),则当yeU(yo)时，对应的x=f-(y)的值都落在x与xz之间，故有-()-f-()=x-xo|<，所以-在点y%连续，从而-在((a),f(b)内连续类似地可证于-在其定义区间的端点f(a)与F(b)分别为右连续与左连续。所以f-在[r(a), f(b)] 上连续.【注】上面定理是按闭区间来叙述，由于连续是对点来定义的，显然可改为开区间或无穷区间等。10中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性  a b, ，使得   1 2 1 () ( ) ( ) ( ) n f fx fx fx n      。 证 记 max ( ), min ( ) axb axb M fxm fx       ，则 1 1 ( ) n i i m fx n     M 由介值性定理 2，存在 a b, ，使得 1 1 () ( ) n i i f f x n     。 三、反函数的连续性 定理 9 若函数 在 上严格单调并连续，则反函数 在其定义域 或 上连续． f    ,ba 1 f     , bfaf    , afbf  证 不妨设 在f  ,ba 上严格增． 此时 的值域即反函数 的定义域为 f 1 f [ af  ， ．任取   , fafy   b  0  ，设 x0    0 1 f y  ，则 ．于是对任给的   bf ]  ,bax0     0 ，可在  b 0 a, 内 的x 两侧各取异于 的点 0 x 21 , xx   2 x 0 x 1 x   ，使它们与 的距离小于 0 x  (见图)． 设与 对应的函数值分别为 ， ，由 的严格增性知 21 , x 1 y 2 y f 201 x   yyy ，令   1002   min  ,  yyyy ， 则 当  ;  0 yU 时，对应的 yfx  1 y   的值都落在 x1 与 x2 之间，故有         0 0 1 1 xxyfyf ，所以 在点 连续，从而 在 1 f 0 y 1 f    af ,   bf 内连续． 类似地可证 在其定义区间的端点 1 f af 与 bf 分别为右连续与左连续．所以 在 上连续． 1 f    , bfaf  【注】上面定理是按闭区间来叙述，由于连续是对点来定义的，显然可改为开区间或 无穷区间等。 中国矿业大学数学学院 10