中国矿业大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第四章 向量空间

第四章向量空间4.1向量及其线性组合4.2向量组的线性相关性4.3向量组的秩4.4矩阵的秩4.5向量空间4.6线性方程组解的结构0000下页返回结束元上页

目录 上页 下页 返回 结束 第四章 向量空间 4.1 向量及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 矩阵的秩 4.5 向量空间 4.6 线性方程组解的结构

4.1向量及其线性组合引例11几何中的向量把有方向的线段叫做向量P(x, y,2)向量 OP 由一个三元数组（x,y,=）唯一确定向量的加法(平行四边形法则)=α＋βαβ00008下页返回结束上贝

目录 上页 下页 返回 结束 4.1 向量及其线性组合 引例1 几何中的向量 把有方向的线段叫做向量 P(x, y,z) O 向量 OP 由一个三元数组 ( , , ) x y z 唯一确定。 向量的加法(平行四边形法则)        

向量的数乘 β=元αααβ10β建立坐标系后就可以把向量的加法和数乘运算用坐标的运算（代数运算）来代替。α =(x1,J1,z1), β = (x2, y2,z2)α + β =(xi + x2, 1 + y2, 1 + z2)k - α = (kxi, ky1, kz1)推广：把几何向量的概念推广，得到n维空间中的向量，仍然用代数的方法处理向量的运算。00008下页返回结束上贝

目录 上页 下页 返回 结束 向量的数乘      0   0 建立坐标系后就可以把向量的加法和数乘运算用坐标的运算 （代数运算）来代替。 ( , , ) , ( , , ) 1 1 1 2 2 2   x y z   x y z ( , , ) 1 2 1 2 1 2     x  x y  y z  z ( , , ) k  kx1 ky1 kz1  推广：把几何向量的概念推广，得到n维空间中的向量，仍然用代 数的方法处理向量的运算。    

定义称由n个数α,a2，·,a,组成的有序数组为n维向量，这n个数称为该向量的 n个分量，其中aα,称为该向量的第 个分量。n维向量可以写成一行，也可写成一列，如下aa2(ai,a2,,an)或an分别可称为n维行向量或n维列向量，其实三者本质是一样的，只是写法的不同行向量和列向量统称为向量分量全为实数(复数)的向量称为实(复)向量，n维实(复)向量的全体记为 R"(Cn)注：无特殊说明，以后所指向量都为实的列向量00008返回结束下页

目录 上页 下页 返回 结束 定义 称由n 个数 组成的有序数组为 维向 量，这 个数称为该向量的 个分量，其中 称为 该向量的第 个分量。 1 2 , n a a a             ( , , , ) a1 a2  an 或 分别可称为n维行向量或n维列向量，其实二者 本质是一样的，只是写法的不同。 ai 行向量和列向量统称为向量。 分量全为实数(复数)的向量称为实(复)向量，n维实(复)向量的 全体记为 ( ) n n R C 注：无特殊说明，以后所指向量都为实的列向量 1 2 , , , a a an n n i n n 维向量可以写成一行，也可写成一列，如下

向量的线性运算向量是矩阵的特例，规定向量的相等、加、减、数乘运算按矩阵的运算规则进行运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算在Rn中的向量的线性运算满足以下8条运算规律：(1)α+β= β+α(5)(k + )α = kα + la(2)α +(β+) =(α+ β)+ (6)k(α+β) = kα +kβ(3)α + 0 = α(7)k(lα) = (kl)α(8)1α = α(4)α +(-α) =0其中 α,β,都是n维向量，k,为实数。00008下页返回结束上贝

目录 上页 下页 返回 结束 向量的线性运算 向量是矩阵的特例，规定向量的相等、加、减、数乘运算 按矩阵的运算规则进行运算。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 在 中的向量的线性运算满足以下8条运算规律：                                               (4) ( ) 0 (8)1 (3) 0 (7) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (6) ( ) (1) (5)( ) k l kl k k k k l k l 其中    , , 都是n维向量， 为实数。 n R k l

例4.1 称单位矩阵的列向量FO[0[1001er =,e2一-100为标准坐标向量。设 Amxn =[αi,α2,,αn]=[β,β,,...,βm](1)Ae, =αj分块矩阵的运算！(2)e, A = β,(3)e, Ae, = aj注：利用标准坐标向量运算往往非常方便，见下例。00008下页返回结束0

目录 上页 下页 返回 结束 例4.1 称单位矩阵的列向量 1 2 1 0 0 0 1 0 , , 0 0 1 n e e e                                        为标准坐标向量。设 1 2 1 2 [ , , , ] [ , , , ]T A m n n m          (1) (2) (3) j j T T i i T i j ij Ae e A e Ae a      注：利用标准坐标向量运算往往非常方便，见下例。 分块矩阵的运算！

例4. 2 设０101A=010证明 A4 =0证： 把 A 按列分块为 A=[0,e,é2,e,]，则A’ = AA - A[0, er,e2,e, ] =[A0, Ae1, Ae2, Ae,] -[0, 0,e],e,]A" = A[0, 0, er,e,] -[A0, A0, Aer, Ae,] -[0, 0, 0,e]A4 = A[0,0, 0,e,]=[A0, A0, A0, Ae,]=[0,0, 0,0] = 000008下页返回H

目录 上页 下页 返回 结束 例4.2 设 0 1 0 1 0 1 0 A              证明 4 A  0 证： 把 A 按列分块为 1 2 3 A e e e [0, , , ], 则 2 A AA  1 2 3 1 2   [ 0, , , ] [0,0, , ] A Ae Ae Ae e e 3 1 2 A A e e  [0,0, , ] 4 1 1 A A e A A A Ae     [0,0,0, ] [ 0, 0, 0, ] [0,0,0,0] 0 1 2 1   [ 0, 0, , ] [0,0,0, ] A A Ae Ae e 1 2 3  A e e e [0, , , ]

定义若干同维数的列向量(或行向量)所组成的集合叫做向量组例如:mXn 的矩阵 A 全体列向量是含 n个 m维列向量的向量组.称为 A 的列向量组:A的全体行向量是含 m 个 n 维行向量的向量组.称为A的行向量组a1a12ainaila12ainβ行向量组βta21a22a2na22a2na21-...βam2amlamnamlamnam2α2ααn列向量组00008下页结束上贝返回

目录 上页 下页 返回 结束 定义 若干同维数的列向量(或行向量)所组成的集合叫 做向量组 例如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量 组, 称为 A 的列向量组; A的全体行向量是含 m 个 n 维行向量 的向量组,称为 A 的行向量组。               m m m n n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1               m m m n n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 n n T  1 T  2 T  列向量组 行 向 量 组

向量的线性表示对于向量组 A:αj,α2,",αn，表达式kjαi + k,α2 + ... + knαn(k; E R)称为向量组A的一个线性组合，其中 k,k,.·k,是一数组 称为组合系数。如果 β是A 的一个线性组合，即存在 2,，·，使得β = Ajαi + A,α2 + ... + anαn又称向量β可由向量组A线性表示[2]12通常写成β =[αi,α2,:,αnan00008下页返回结束上贝

目录 上页 下页 返回 结束 对于向量组 A:1 ,2 ,  ,n , 表达式 ( ) k11  k22  knn ki  R   11  22   nn 又称向量  可由向量组 A 线性表示.              n n          2 1 1 2 通常写成 [ , , , ] 向量的线性表示 称为向量组A的一个线性组合，其中 是一数组， 称为组合系数。 1 2 , , n k k k  A 1 2 , , 如果   n 是 的一个线性组合，即存在 使得

(0)(0)2(0)(1)例4. 3000S1β=e3000001020000001有1515+3+0=230000即β-2e, - 5e, + 3e, + 0e4所以， 称β是 ei,e2,e,e4 的线性组合,或β 可以由 ej,e,,e,e, 线性表示。000082返口

目录 上页 下页 返回 结束 例4.3 1 2 3 4 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 , , , , 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1  e e e e                                                                   有 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1                                                                  =2 5 3 0 1 2 3 4 即 e e e e    所以，称  是 e e e e 1 2 3 4 , 的线性组合，  1 2 3 4 或 可以由 e e e e , 线性表示