第一章数学分析$4具有某些特性的函数实数集与函数一、有界函数本节将着重讨论二、单调函数函数的有界性、单调三、奇函数与偶函数性、奇偶性与周期性。四、周期函数*点击以上标题可直接前往对应内容
一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 本节将着重讨论 函数的有界性、单调 性、奇偶性与周期性. §4 具有某些特性的函数 数学分析 第一章 实数集与函数 *点击以上标题可直接前往对应内容
周期奇函数单调函数s4具有某些特性的函数有界函数函数与偶函数第六讲函数的有界性数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 第六讲 函数的有界性
周期奇函数有界函数单调函数s4具有某些特性的函数函数与偶函数有界函数定义1设f定义在D上，若日MeR,VxεD，f(x)≤M，则称f在D上有上界;若LR,VxED，f(x)≥L，则称f在D上有下界：例如 y=二,xε(0,1] 有下界;xJ=D(x),xe R 既有上界，又有下界;后退前进目录退出数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 定义1 有界函数 设 f 定义在D上， 若 M R, 若 L R, y D x x = , R 后退 前进 目录 退出 有界凼数 x D, 则称 f D 在 上有上界； x D, 则称 f D 在 上有下界； 1 y x = , 0,1 x 例如 有下界; 既有上界，又有下界; f x M ( ) , f x L ( ) ,
周期奇函数有界函数单调函数s4具有某些特性的函数与偶函数函数有上（下）界的等价条件3M>0, Vx ED, f(x)≤M.0f在D上有上界f在D上有下界 3L>0, VxED, f(x)≥-L.定义2设f定义在D上，若M>0,Vx D,I(x)|≤ M,则称f在D上有界退出后退前进目录数学分析第一章实数集与函数口高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 有上（下）界的等价条件 f 在D上有上界 M>0, L>0, 后退 前进 目录 退出 有界凼数 x D, x D, f 在D上有下界 定义2 若M>0, x D, 则称 f D 在 上有界. 设 f 定义在D上， f x M ( ) . f x L ( ) - . f x M ( ) ,
周期奇函数有界函数单调函数S4具有某些特性的函数函数与偶函数易证f在D上有界f在D上既有上界又有下界例如正弦函数sinx,余弦函数cosx均为R上的有界函数若VMeR,日x,ED，f(x)>M,则称f在D上无上界;若VLeR，x,ED,f(x)M,则称f在D上无界数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 f D 在 上既有上界又有下界. 若 L R, 若 M R, 易证 f D 在 上有界 0 x D, 则称 f D 在 上无上界; x D 0 , 则称 f D 在 上无下界； 则称 f D 在 上无界. 0 x D, 例如正弦函数sin , cos x x 余弦函数 均为R上的有界函数. 若 M R, 0 f x M ( ) , 0 f x L ( ) , 0 f x M ( ) ,
周期奇函数有界函数单调函数s4具有某些特性的函数函数与偶函数类似地，无上（下）界的等价条件f在D上无上界台VM>0, 3x,eD, f(x)>M;f在D上无下界台x,eD, f(x)0,f在D上无界←VM>0, 3x,ED, f(x)>M数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 类似地，无上（下）界的等价条件 M>0, 0 x D, f D 在 上无上界 L>0, 0 x D, f D 在 上无下界 0 f x M ( ) , 0 f x M ( ) ; 0 f x L ( ) - , f D 在 上无界 M>0, 0 x D
周期奇函数有界函数单调函数s4具有某些特性的函数函数与偶函数上无上界,有下界例1 证明: f(x)= tanx 在[0,证 取L=0,则Vxe[0,号), J(x)≥L, 因此了在上有下界.vM eR，取x,=arctan(M+1)[0, -]2且tanx=M+1>M,因此f在则 x, E[0,=),2[0,)上无上界,数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 π : ( ) tan [0, ) , . 2 例1 证明 f x x 在 上无上界 有下界 π [0, ) . 2 上有下界 M R, π [0, ) . 2 上无上界 证 取L 0, 因此 f 在 0 π [0, ), 2 则 x 因此 f 在 有界凼数 π [0, ), 2 则 x f x L ( ) , 0 取x M arctan( 1), 0 且tan 1 , x M M
周期奇函数有界函数单调函数S4具有某些特性的函数与偶函数函数例2设函数f(x),g(x)是D上的正值有界函数证明: suplf(x)g(x)≤ suplf(x)sup(g(x))XEDXEDXeD证 Vxe D, 有f(x)≤supif(x),XEDg(x)≤ supig(x)xeD因此 f(x)g(x)≤ supif(x)sup(g(x))由x的任意性，可知 suplf(x))supig(x)是(f(x)g(x)的一个上界因此sup(f(x)g(x)) ≤ sup(f(x))sup(g(x))XeDxeDxeD数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x 因此 f x g x f x g x ( ) ( ) sup{ ( )}sup{ ( )}, 由 x f x g x 的任意性, sup{ ( )}sup{ ( )} 可知 是{ f (x)g(x)}的一个上界, sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 因此 , ( ) sup{ ( )}, x D x D f x f x 证 有 : { ( ) ( )} { ( )} { ( )}. sup sup sup x D x D x D f x g x f x g x 证明 例2 设函数 f x g x D ( ), ( ) . 是 上的正值有界函数 有界凼数
周期奇函数有界函数单调函数s4具有某些特性的函数函数与偶函数例3 设 f(x),g(x)在 D 上有界,证明:inf(f(x)+ g(x)) ≤ inf(f(x)) + supig(x))XEDxEDxeD证 V>0, x, D, 使f(x)<inflf(x))+8.XeD又 g(x,)≤ supig(x)),故XeDf(x.) + g(x.)<inf(f(x) + supig(x)) + 8XEDXED因此inf(f(x)+ g(x)) ≤ f(x)+ g(x)XED≤ inf(f(x) + supig(x)) + 8.XEDXeD数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 例3 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x 证 0, 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x 又 故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x 有界凼数 0 x D, 0 ( ) inf{ ( )} . x D f x f x 使
周期奇函数有界函数单调函数S4具有某些特性的函数函数与偶函数我们得到inf(f(x)+ g(x))≤inf(f(x)) + supig(x)) + c.XEDXEDXED再由ε的任意性，有inf(f(x)+ g(x)) ≤inf(f(x))+ supig(x)XEDxeDXED数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社
数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §4具有某些特性的凼数 有界凼数 单调凼数 奇凼数 与偶凼数 周期 凼数 我们得到 inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D x D f x g x f x g x 再由的任意性，有 inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x