高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）4 第一章 实数集与函数 s04确界原理

非正常确界有界集S2数集·确界原理确界的存在性定理确界第四讲确界原理数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 第四讲 确界原理

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界确界存在性定理定理1.1（确界原理）设SR,S≠.若 S有上界,则 S 必有上确界;若S有下界，则S必有下确界该定理作为公理，不予证明数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 定理1.1（确界原理） 确界存在性定理 设S S    R, . 若 S 有下界, 确界的存在性定理 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 则 S 必有下确界. 该定理作为公理,不予证明

非正常确界52数集·确界原理有界集确界的存在性定理确界例1设A，B为非空数集.满足：VxEA,V yEB,有x≤y证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且 supA≤inf B.证 由假设,B中任一数y都是A的上界，A中的任一数x都是B的下界.因此由确界原理，A有上确界，B有下确界.由定义，上确界 supA是最小的上界，因此，任意yeB；supA≤y.这样，supA又是B的一个下界而 inf B是最大的下界，因此 sup A≤inf B数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界  x  A, y  B,有 x  y. 例1 设 A, B 为非空数集. 满足: 且 sup A  inf B. 证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界， 由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, 界, yB; 而 inf B 是最大的下界, 一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界原理, 确界的存在性定理 这样, sup A 又是 B 的一个下界, A 中的任 因此, 任意 A 有上确 B 有下确界. sup A y. 因此 sup A inf B

非正常确界52数集·确界原理有界集确界的存在性定理确界例2 设 S是R中非空有上界的数集，(i)若aeR,定义S+a={x+a[xES),则sup (s +a) = sup S +a;(ii) 若 b>0,定义 bS ={bx|x E S},则sup (bs) = b ·sup S.证 (i)Vx+aeS+a,其中xεS，必有x≤supS,于是x+a≤supS+aV>0,xS，使x>supS-，从而Xo +aes+a,且Xo +a>(sup S+a)-8,因此sup(S + a) = sup S + a.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 例2 设 S 是 R 中非空有上界的数集, (i) R, 若 a  sup { } sup ; S a S a    (ii) >0, 若 b sup { } sup . bS b S   证 (i) x  a  S  a, 其中 x S, 必有 x  sup S, 于是 x  a  sup S  a.    0, 使 sup , 0 x  S  , x0  a  S  a 且 (sup ) , 0 x  a  S  a  因此 sup( S  a)  sup S  a. 从而 确界的存在性定理 定义 S a x a x S     { | },则 定义 bS bx x S   { | } , 则 0   x S

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界(i) bx bS,其中 x E S，必有x≤sup S,于是bx ≤ bsup s.V>0,令c'=>0，则存在 xS，使bX, > sups-e',因此bx, > bsups-be'= bsups-s.这就证明了sup(bs} = bsup s.(ii)若 b>0, 定义 bS ={[bx| x E S},则sup (bs) = b·sups数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 (ii)  bx  bS, 其中 x  S, 必有 x  sup S, 于是 bx  bsup S.    0, 则存在 , x0  S 使 0 x S   sup ,   因此 0 bx b S b   sup  这就证明了 sup{bS}  bsup S. (ii) >0, { | } , 若 b bS bx x S 定义   则 sup { } sup . bS b S   确界的存在性定理   b S sup .  0, b  令  

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界非正常确界1. 规定(i)Va R, -o0 <a<+;(ii)若 S无上界，记 supS=+o0.若S无下界，记inf S=-o0.2.推广的确界原理：非空数集必有上、下确界例3supN = +o0,inf(-2" Ine N.} = -00.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 非正常确界 (i) R,  a supN ,   2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. 例3 非正常 确界 inf{ 2 | N } . n     n  1. 规定     a ; (ii) 若 S 无上界， 若 S 无下界， 记 inf . S   记 sup . S  

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界例4 设数集 AcR+,B={1|xEA),证明：supA=+oo的充要条件是inf B=0.证 若 supA=+oo. 显然 x B,>0. ε>0,令 M =，则由于 supA=+oo,x,E A, x,>M.于是Jo =1/x, E B, 且 yo 0,令= /M，3x B,x M.因此 supA=+o0.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 1 M , 令 =  1 , M 令  0 0 y x A   1 , 证 若 sup . A   显然    x B x, 0.    0, 于是 0 0 y x B   1 , 因此 inf 0. B  因此 sup . A   反之,若 inf 0, B  则   M 0, 证明: sup inf 0. A B    的充要条件是 则由于 sup , A   0 0    x A x M , . 例4 设数集   1 R , . A B x A     x 非正常 确界 0 0    x B x, .  于是 0 且 y   . 0 且 y M