习题课数集的界与确界第二讲具有特殊性质的函数数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ Эங ࣙЉगࣩࣙ୳ݤ আиઔ Ӏۅ࠺ࣔ߄ૅङ ރӡ
习题课数集的界与确界函数的有界性我们已学习了有界数集的概念，函数的界是指其值域这个数集的界例1.叙述函数f在区间I上无界的概念，由此证明下列函数无界：1xesinx数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ Эங ߑ᭄ⱘ᳝⬠ᗻ ៥ӀᏆᄺдњ᳝⬠᭄䲚ⱘὖᗉˈ ⬅ℸ䆕ᯢϟ߫ߑ᭄᮴⬠˖ ՟1. ভ䗄ߑ᭄f ऎ䯈IϞ᮴⬠ⱘὖᗉˈ ࣙЉगࣩࣙ୳ݤ ݊ؐඳ䖭Ͼ᭄䲚ⱘ⬠ 1 , 0, sin 2 fx x x § S · ¨ ¸ © ¹ ߑ᭄ⱘ⬠ᰃᣛ
习题课数列极限叙述 f在I上无界M>O,xI,[F(xo)>M.使得X=arcsil证明任意M>1，取2M则1>Mf (xo)sinxo因此，在上无界.r1元fQ：Xxe12sinx数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங Փᕫ Ϟ᮴⬠ M ! 0, f I fx M 0 ! . প 0 1 arcsin 2 x M ߭ ! M. ℸˈϞ᮴⬠ f 0, 2 § S · ¨ ¸ © ¹ ভ䗄 0 x I , 䆕ᯢ ӏᛣM!1ˈ 0 0 1 sin f x x 1 0 2 , , sin fx x x § S · ¨ ¸ © ¹ 0, 2 § S · ¨ ¸ © ¹
习题课数列极限例2.求证函数y=lnx在(0,+o）上无上、下界y证明M>0,取MX。 = eM+l =(0, +)则 lnx=lneM+11X x=M+1>M故lnx在（0,+)上无上界，同理可证无下界思考 lnx 在任何闭区间[a,b]c(0,+)有界数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ՟ 2. ∖䆕ߑ᭄Ϟ᮴Ϟǃϟ⬠ প y x ln 0,f M ! 0, ߭ 1 0 0 M x e f , M 1 ᬙlnx 0,f Ϟ᮴Ϟ⬠ˈ ln x ӏԩ䯁ऎ䯈>a b, 0, @ f ᳝⬠ 䆕ᯢ ln ln M x e 1 0 ! M ৠ⧚ৃ䆕᮴ϟ⬠ ᗱ㗗 x y M 0 1 x
习题课数列极限函数的单调性例3.设f,g均是区间I上的严格递增的函数求证：p(x):=max(f(x),g(x)), y(x):= min((x),g(x)均是I上的严格递增函数，证明Vx,x,I，且x>x2，由条件有max((x),g(x))≥ f(x) > f(x2),数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᭄ⱘऩ䇗ᗻߑ ՟3.䆒ഛᰃऎ䯈ϞⱘϹḐ䗦ⱘߑ᭄ˈ ഛᰃϞⱘϹḐ䗦ߑ᭄ f g, I ∖䆕˖ M x f x gx x f x gx : max , , : min , ^ ` \ ^ ` I xx I 1 2 , ˈϨx x 1 2 !ˈ max , ^ f x gx f x 11 1 ` t 䆕ᯢ ⬅ᴵӊ᳝ ! f x 2 ,
习题课数列极限max(f(x),g(x))≥g(x) >g(x2)因此，有max((x.),g(x)) >max(J(x,),g(x,))即 (x)>(x2)，故Φ是严格递增函数类似地，也是严格递增函数数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங max , ^ f x gx gx 11 1 ` t ℸˈ᳝ max , max , , ^ f x gx f x gx 11 22 ` ! ^ ` ᬙᰃϹḐ䗦ߑ᭄ M ㉏Ԑഄˈ\гᰃϹḐ䗦ߑ᭄ ! g x 2 1 2 ेM x x !M ,
习题课数列极限函数的周期性例4.1）证明f(x)=x-[x], xeR是周期函数，2）证明g(x)=x-[x]+sinx, xe R不是周期函数，数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ˅䆕ᯢ fx x x x > @, ᰃ਼ᳳߑ᭄ gx x x xx > @ sin , ߑ᭄ⱘ਼ᳳᗻ ՟4.˅䆕ᯢ ϡᰃ਼ᳳߑ᭄
习题课数列极限证明1）由取整函数的性质[x]≤x<[x]+1, V xe R有[x]+1≤x+1<[x]+1+1, Vxe R故[x+1] =[x]+1, Vxe R从而对 VxER，有数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᬙ ᳝ > xxx 1 1 @ > @ , > xxx x @ 1 1 11 d > @ , > xxx x @ d > @ 1, 1˅⬅পᭈߑ᭄ⱘᗻ䋼 Ң㗠ᇍ x ˈ᳝ 䆕ᯢ
习题课数列极限f(x+1)= x+1-[x+1] =x-[x] = f(x)故是以1为周期的周期函数2）（反证法）假设g是实数域的周期函数且周期为 T(±0)，即x+T-[x+TI+ sin(x+T)=x-[xl+ sinx,VxER特别地，分别取x=O,x=-T有数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங x x > @ ؛䆒gᰃᅲ᭄ඳⱘ਼ᳳߑ᭄ˈ ᬙf ᰃҹЎ਼ᳳⱘ਼ᳳߑ᭄ Ϩ਼ᳳЎT z0ˈे xT xT xT x x x > @ sin sin , > @ ߿ߚপx xT 0,᳝ fx x x 1 11 > @ ˄ড䆕⊩˅ x ˈഄ߿⡍ f x
习题课数列极限T-[T]+ sinT =0,-T-[-Tl+sin(-T)=0将上面两式相加有T +[-T]= 0,因此T必为整数．这样由上面的式子有矛盾.sin T= O,注本例说明两个周期函数的和未必是周期函数数学分析习题课高等教育出版社
Эங߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ݤӦ߃ୡ Эங ᳝ࡴᇚϞ䴶ϸᓣⳌ ⊼ᴀ՟䇈ᯢϸϾ਼ᳳߑ᭄ⱘᖙᰃ਼ᳳߑ᭄ TT T > @ sin 0, TT T > @ sin 0, T T > @ 0, 䖭ḋ⬅Ϟ䴶ⱘᓣᄤ᳝ sin 0, T Ⳓ ℸTᖙЎᭈ᭄