高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）32 33 第三章 函数极限 s11习题课六 函数的极限2

函数极限习题课第六讲函数的极限2数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ আҹઔ ӡރङߢஒ

习题课函数的连续性·归结原则函数f在U°（x）有定义，在x。处极限存在<(xn) cU°(x),limx, = Xo,lim f(x,)存在.·单调有界定理若f在U(x)单增有界，则f(x+0)= inf f(x).U(xo)若f在U°(x)单减有界，则f(x+0)= sup f(x)U(xo)数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡࣩݤ૤ড㓬 Эங੿ œ · ऩ䇗᳝⬠ᅮ⧚ ߑ᭄ f ೼U x o ( ) 0 ᳝ᅮНˈ f ೼ x0 ໘ᵕ䰤ᄬ೼ ^ `  0 , o n  x Ux  0 lim , n n x x of lim ( ) . n n f x of ᄬ೼ 㢹 f೼  0  ऩ๲᳝⬠ˈ o U x  · ᔦ㒧ॳ߭ 0 0 ( ) ( 0) inf ( ). o U x fx fx  ߭  㢹 f೼  0  ऩޣˈ⬠᳝ o U x  0 0 ( ) ( 0) sup ( ). o U x fx fx  ߭ 

习题课函数的连续性·柯西准则函数f在U°x;S）有定义，则 lim f(x)存在x→xoV>0,30<8<S, 对Vx',x"eU(xo;)I f(x')-f(x")< ε.数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡࣩݤ૤ড㓬 Эங੿ œ ߑ᭄ f ೼  0 1 ;  ᳝ᅮНˈ o U x G ߭ޚ㽓· ᷃ 0 lim ( ) x x f x o ߭ ᄬ೼ H ! 0, 1 0 ,  G  G 0 , ( ; ), o ᇍxx U x c cc G | ( )- ( ) | . fx fx c cc  H

习题课函数极限例1.设f是周期函数，且limf(x)=A存在求证： f(x)=A.证明 设 T(>0)是f 的一个周期对于f定义域内任意一点x，由函数的周期性f(x)= f(x, + nT)n = 1,2,...数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ ՟1. 䆒 ᰃ਼ᳳߑ᭄ ˈϨ ᄬ೼. ∖䆕˖ f lim   x fx A of fx A   { . 䆕ᯢ 䆒T( ) !0ᰃfⱘϔϾ਼ᳳ ᇍѢfᅮНඳݙӏᛣϔ⚍ 0 x , ⬅ߑ᭄ⱘ਼ᳳᗻˈ f x f x nT  0 0    , n 1,2,

习题课函数极限而 lim(x, +n)= +o0,由归结原则，n>+8lim (x + nT)= lim f(x) = An-→+8所以 J(xo)= lim J(x +nT)= A.f(x)= A.由 x。的任意性，数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ 㗠 0 lim ( ) , n x n of  f ⬅ᔦ㒧ॳ߭ˈ  0 0  lim .   n f x f x nT A of  lim   x f x of lim  0  A n f x nT of  ᠔ҹ ⬅ x0 ⱘӏᛣᗻˈ fx A   { .

习题课函数极限例2设f，g是定义域相同的两个周期函数，且lim[f(x)-g(x)]= 0求证： (x)=g(x).首先注意本题不能直接这样证明：令F(x):= f(x)-g(x)对F利用例1.的结论.因没有证明F是周期函数数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ ՟2. 䆒 ᰃᅮНඳⳌৠⱘϸϾ਼ᳳߑ᭄ ˈϨ ∖䆕˖ f g, lim 0     x f x gx of ª  º ¬ ¼ f x gx   {  . 佪ܜ⊼ᛣᴀ乬ϡ㛑Ⳉ᥹䖭ḋ䆕ᯢ˖Ҹ Fx f x gx   : ,      ᇍ F ߽⫼՟1.ⱘ㒧䆎. ಴≵᳝䆕ᯢ Fᰃ਼ᳳߑ᭄.

习题课函数极限证明 设T,S(>0)分别是 f,g 的周期对于定义域内任意一点x，由函数的周期性f(x)= f(x + nT)n =1,2,...g(xo)= g(xo + ns)：lim［f(x)-g(x)=0，再由归结原则，有数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ 䆕ᯢ 䆒 T S,( ) !0߿ߚᰃf g, ⱘ਼ᳳ ᇍѢᅮНඳݙӏᛣϔ⚍ 0 x , ⬅ߑ᭄ⱘ਼ᳳᗻˈ f x f x nT  0 0    , n 1,2, g x g x nS  0 0    , lim 0     ݡ⬅ᔦ㒧ॳ߭ˈ᳝ x f x gx of ª  º ¬ ¼ ˈ

习题课函数极限f(xo)-g(xo) = lim(f(xo)-g(xo))= lim((xo + nT)- g(xo + nS))1.- lim(F(x +nT)-g(x +nT)na+lim(g(xo + nT + nS)- f(xo + nT + nS)+lim(f(xo + nS)- g(xo + ns)n-=0+0+0=0.: f(xo)=g(xo), 从而 (x)=g(x)数学分析习题课←高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ f x gx  0 0     lim  0 0    n f x nT g x nS of    lim  0 0    n f x gx of  lim  0 0    n f x nT g x nT of    lim  0 0    n g x nT nS f x nT nS of       lim  0 0    n f x nS g x nS of     000   0. ? f x gx  0 0   , Ң㗠 f x gx   {  .

习题课函数极限例3.求证非常数的周期函数不会是有理分式函数P(x)设f(x)是一个周期函数证明Q(x)其中P,Q分别为m,n次多项式则 lim f(x)=0. 由例1， f =0.故若mn,ff(x)x-→>+80矛盾，不可能发生．故是常函数:Q=0, 天数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ ՟ 3.∖䆕䴲ᐌ᭄ⱘ਼ᳳߑ᭄ϡӮᰃ᳝⧚ߚᓣߑ᭄ 䆕ᯢ ( ) ( ) ( ) P x f x Q x 䆒 ᰃϔϾ਼ᳳߑ᭄ˈ ᬙ㢹m n  , ߭lim ( ) 0. x f x of ⬅՟ˈf { 0. 㢹m n , lim ( ) . m x n a f x of b . m n a f b ⬅՟ { ˈ 㢹m n ! , 1 lim 0. ( ) xof f x ⬅՟ˈ 1 0, f { ?Q { 0, ⶯Ⳓˈ ݊ЁP,Q߿ߚЎm n ,⃵໮乍ᓣ ϡৃ㛑থ⫳ ᬙf ᰃᐌߑ᭄

习题课函数极限例4．设f在U（x。）单调递增，且存在数列(xn}U(xo)，使得lim f(xn) = A,lim x, = Xo,nn-→0f(x -0) = sup f(x)= A.求证：U(xo)证明首先说明f在U（x）有界J((x))收敛，故有界，设为由于数列n =1,2...f(x.)≤M,数学分析习题课高等教育出版社

੿Эங߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Ӡ߃ݤୡ Эங੿ ՟ 4. Փᕫ ∖䆕˖ 0 lim , n n x x of 䆒 f ೼  0  ऩ䇗䗦๲ˈϨᄬ೼᭄߫ o U x  ^ `  0 , o n x Ux   lim ,  n  n fx A of 0 0 ( ) ( 0) sup ( ) . o U x fx fx A   䆕ᯢ 佪ܜ䇈ᯢ f ೼  0  ᳝⬠. o U x  ⬅Ѣ᭄߫ ^ f x n `ᬊᬯˈ ᬙ᳝⬠ˈ䆒Ў   , n fx Md n 1,2