习题课63泰勒公式第十五讲习题课（三）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 习题课（三） 第十五讲
习题课S3泰勒公式重要内容回顾1.泰勒公式，马克劳林公式2.带有皮亚诺型余项的泰勒公式3.带有拉格朗日型余项的泰勒公式4.泰勒公式在近似计算中的应用数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 重要内容回顾 2. 带有皮亚诺型余项的泰勒公式 1. 泰勒公式，马克劳林公式 3. 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 4. 泰勒公式在近似计算中的应用
习题课93泰勒公式补充例题例1 求f(x)=eIn(1+x)展开到x*的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式X解 e* In(1 +x)=3!2xx234tsAx33223X246数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 补充例题 例1 解 4 ( ) e ln(1 ) x 求 fx x x = + 展开到 的带有佩亚诺余 项的麦克劳林公式. 2 3 3 e 1 ( ) 2! 3! x x x x ox = ++ + + 234 4 ( ) 234 xxx x o x ⋅− + − + 234 234 xxx =− + − x 3 4 2 4 x x + − 3 4 2 2 3 x x +− + x 4 4 ( ) 6 x + + o x ln(1 ) + x
习题课63泰勒公式3+-32注意、每个函数展开到哪一项是由一个函数的最高次项和另一个函数的最低次项的乘积决定，使得相乘后的次数<需要展开的次数比如上一例，展开次数是4次，所以XX+x++0-3!2!3xxIn(1 + x) =X234数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 注意 每个函数展开到哪一项是由一个函数的最高次 项和另一个函数的最低次项的乘积决定，使得相乘后 的次数 ≤ 需要展开的次数. 2 3 3 e 1 ( ) 2! 3! x x x x ox = ++ + + 234 4 ln(1 ) ( ) 234 xxx x x o x += − + − + 比如上一例，展开次数是4次，所以 2 3 4 ( ). 2 3 x x =+ + + x ox
习题课93泰勒公式例2利用泰勒展开求极限：1lim x4(/x+1+ /x-1-2/x)x-→+解令x=二，则(4/1+t+4/1-t-2)原式=limt?t-→>0+34/1-+t =13234/1-t(t232A3= lim =it' + o(t")t?16t-→0+数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 例2 解 7 4 44 4 lim ( 1 1 2 ). x xx x x →+∞ ++ −− 利用泰勒展开求极限： 1 x , t 令 = 则 4 4 2 0 ( 1 1 2) lim t t t t → + ++ −− 原式 = 4 1 3 2 2 1 1 ( ) 4 32 +=+ − + t t t ot 4 1 3 2 2 1 1 ( ) 4 32 −=− − + t t t ot 2 2 ( 1) (1 ) 1 ( ) 2! x x x ox α α α α − + =+ + + 3 2 2 16 2 0 ( ) lim t t ot t → + − + = 3 . 16 = −
习题课63泰勒公式例3 设 f(x)在[a,bl上二阶可导，f'()=0. 证明4E (a,b), 使得 f"(5)(b)- f(a)l1f"(5)f'(xo)证 利用f(x)=f(x)-1!2!取 x=，x=a和x=b，代入上式得a+bf"(S)a-ba+bf(a) =,+2222!b-aa+bf"(52)(()[b)1+ff(b) = f22!2其中 i (a,),2 E(,b). 两式相减，得到数学分析 第六章 微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 例3 设 f x ab () [, ] 在 上二阶可导， 证 证明 ∃ ∈ξ ( , ), a b 利用 使得 2 4 ( ) ( ) ( ). ( ) f fb fa b a ′′ ξ ≥ − − 取 0 2 , , a b x xa xb + = = = 和 1 2 2 2 ( , ), ( , ). ab ab ξ ξ a b 其中 ∈ ∈ + + 两式相减， 2 ( ) 0. a b f + ′ = 0 2 0 00 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 1! 2! f x f fx fx x x x x ′ ′′ ξ = + −+ − ， 代入上式得 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2! 2 ab ab ab ab f fa f f + +− − ′′ ξ =+ + ′ ， 2 2 ( ) ( ) , 2 2 2 2! 2 ab ab ba ba f fb f f + +− − ′′ ξ =+ + ′ 得到
习题课63泰勒公式f"(2)f"(5))(a-b)f(b)- f(a) =222于是4f"(5)- f"(5)(f(b)- f(a)2(b-a)令 f"() = max(1 f"(5) l f"(52)1, 5e (a,b)根据上式即可得到4[f"()]f(b) - f(a)(b-a)4f"()f(b) - f(a)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 2 2 1 () () () () 2 22 f f ab fb fa ′′ ′′ ξ ξ − −= − ， 2 1 2 () () 4 ( ( ) ( )). 2 () f f fb fa b a ′′ ′′ ξ ξ − = − − 于是 令 f ff ′′( ) max | ( ) |,| ( ) | , ξ ξξ = { ′′ ′′ 1 2 } ξ ∈ ( , ), a b 根据上式即可得到 2 4 ( ) ( ) ( ). ( ) f fb fa b a ′′ ξ ≥ − − 2 4 ( ) ( ) ( ). ( ) f fb fa b a ′′ ξ ≥ − −
习题课63泰勒公式练习设f(x)在[a,bl上二阶可导.用泰勒公式证明(a,b), 使得f(b)-2f(“) + f(a) =1(b-a) f"()数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 练习 设 f x ab ( ) [, ] 在 上二阶可导. 用泰勒公式证明 ∃ ∈ξ ( , ), a b 使得 1 2 2 4 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ). a b fb f fa b a f ξ + − + =− ′′
习题课93泰勒公式例4设h>0,f在U(a;h)上有n+2阶连续导数,且f(n+2)(a)0,f 在U(a;h)上的泰勒公式为f(n+1) (a + Oh)(a)ENhn+1hif(a+h)= f(a)+ f'(a)h+....n!(n+1)!10<θ<1. 证明 limθ=n+2h-→0证 因f在U(a;h)上有n+2阶连续导数,故..+ F"(a) h" + f("+'(a)-ntf(a+ h)= f(a)+ f'(a)h+...n!(n+ 1)!+ (n+2)(a + 0,h)n+20<0<1K(n + 2)!比较两式得(a+0,h)h. (*)f(n+I)(a + Oh) - f(n+1)'(a)n+2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 例4 设h f Uah n > + 0, ( ; ) 2 在 上有 阶连续导数， 0 1. < < θ 证明 0 1 lim . h n 2 θ → = + ( 2)() 0 n f a + ≠ ， 且 f Uah 在 (;)上的泰勒公式为 ( ) ( 1) 1 () ( ) ( ) () () ! ( 1)! n n n n fa f ah f a h f a f ah h h n n θ + + + += + ++ + ′ + ， 证 因 f Uah n 在 (;) 2 上有 + 阶连续导数，故 ( ) ( 1) 1 () () ( ) () () ! ( 1)! n n n n fa f a f a h f a f ah h h n n + + += + ++ + ′ + ( 2) 1 2 1 ( ) , 0 1. ( 2)! n n f ah h n θ θ + + + + < < + 比较两式得 ( 2) ( 1) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) . (*) 2 n n n f ah f ahf a h n θ θ + + + + +− = +
习题课63泰勒公式对f(n+1)在[a,a+θh]用拉格朗日中值公式,得f(n+1)(a+ Oh) - f(n+1)(a) = f(n+2)(a + 0,0h)0h,(**)0 0f(n+2)(a + 0,h)f(n+1)(a + Oh) - f(n+1)(a)(*)n+2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 习题课 ( 2) ( 1) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) . (*) 2 n n n f ah f ahf a h n θ θ + + + + +− = + ( 1) [, ] n f aa h θ + 对 在 + 用拉格朗日中值公式，得 ( 1) ( 1) ( 2) 2 2 ( ) () ( ) , 0 1. (**) n nn f a h f a f a hh θ θθ θ θ + ++ +− = + < < 比较(*), (**)两式，得到 ( 2) ( 2) 1 2 ( ) () , 2 n n f ah fa h n θ θθ θ + + + + = + 令 h → 0，注意到 f x ( 2) n+ ( ) 的连续性及 ( 2)() 0 n f a + ≠ ， 即可得到 0 1 lim . h n 2 θ → = +