第七章数学分析*$2上极限和下极限实数的完备性数列的上极限与下极一、上（下）极限的基本限是非常有用的概念，通过宅们概念可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时，常会遇到二、上（下）极限的基本所考虑的禁些数列不存在极限性质的情形，那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外，对于不少后继课程来说，上（下）极限也是不可缺少的工具，*点击以上标题可直接前往对应内容
一、上（下）极限的基本 概念 数列的上极限与下极 限是非常有用的概念,通过它们 可得出数列极限存在的另一个 充要条件.在下册第十二、十四 章讨论级数收敛性时,常会遇到 所考虑的某些数列不存在极限 的情形,那时需要用上极限或下 极限来解决问题.此外,对于不 少后继课程来说,上(下)极限也 是不可缺少的工具. *§2 上极限和下极限 数学分析 第七章 实数的完备性 二、上（下）极限的基本 性质 *点击以上标题可直接前往对应内容
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质第五讲上下极限的基本概念数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 第五讲 上下极限的基本概念
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质上(下)极限的基本概念定义1若数列{x，满足：在数x.的任何一个邻域内均含有x，中的无限多项，则称x是数列(xn)的的一个聚点。注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于：前者要求“含有无限多个点”，后者要求“含有无限多个项”．现举例如下：常数列(a，=a)只有一个聚点：a数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定义1 上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 若数列 { } n x 满足: 在数 x0的任何一个邻域内均 含有{ } xn 中的无限多项, 则称 x0 是数列 { } xn 的 常数列 ( ) n a a ≡ 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项”. 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无 现举例如下: 上（下）极限的基本概念
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质{(-1)"}作为点集来说它仅有两个点，故没有聚点；但作为数列来说，它却有两个聚点：1和-1数列(sin}有五个聚点：-1,-V2/2,0,V2/2,1.从数列聚点的定义不难看出，xo是数列{x，}的聚点的一个充要条件是：存在{xn}的一个子列{xn}Xnk →Xo, k → 00.定理7.4有界数列至少存在一个聚点，并且有最大聚点和最小聚点。数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大聚点和 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 1 1. 和 − 有五个聚点: π { sin } 4 n 数列 0 , . nk x xk → →∞ 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 { } xn 的聚 { ( 1) } n − 作为点集来说它仅有两个点, 点的一个充要条件是: 最小聚点. 故没有聚点; −1，− 2 2, 0, 2 2, 1. { }, nk { } x n 存在 x 的一个子列 上（下）极限的基本概念
*s2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质证 设{x,为有界数列，由致密性定理，存在一个收敛子列(x}，x→x(k→0)，于是xo是(xn}的一个聚点。又设E=x|x是{x,}的聚点,由于E非空有界故由确界原理，存在A=supE, A=infE.下面证明 A 是「x,的最大聚点，亦即 AE.首先，由上确界的性质，存在(a} E,使 a→A.因为是{x,的聚点，所以对任意正数,在区间(ak，a+)内含有(xn)的无限多项数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 又设 E xx x = { | {} , 是 的聚点 n } 由于 E 非空有界, 故由确界原理, A EA E = = sup , inf . 下面证明 A 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 A E ∈ . 证 设 { }n x 为有界数列, 的一个聚点. 0 { } n 于是 x x 是 首先, 由上确界的性质, 由致密性定理, 存在一个 收敛子列{ }, nk x ( ), x → x0 k → ∞ nk {} , k a E ⊂ 使 . k 存在 a A → 存在 因为 k a 是{ } xn 的聚点, 所以对任意正数ε , 在区间 上（下）极限的基本概念 (, ) k k a a − + ε ε { } n 内含有 x 的无限多项
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质现依次令8=1,存在xn，使|x-a,ni),使|xn2-az/n-1),使[xm-ax<;&kkK这样就得到了（xn}的一个子列{xm}，满足：lim*ms = lim( -ax)+ lim ax =A ,k-→80k→k-→0即证得 A 也是{x,的一个聚点，所以 AE同理可证 AEE.数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 1, ε 1 = 存在 , n1 x 使 | | 1; 1 1 xn − a 使 2 2 1 | |; 2 n x a − − 使 ; 1 | | k xn ak k − < . . 现依次令 这样就得到了 { xn } 的一个子列 { }, 满足: nk x lim lim ( ) lim , n nk k k k kk k x x a aA →∞ →∞ → ∞ = −+ = 所以 A E ∈ . 同理可证 A∈ E. 即证得 {} , A x 也是 n 的一个聚点 上（下）极限的基本概念
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定义2有界数列(x,的最大聚点 A 与最小聚点A分别称为{x，的上、下极限，记为A= lim Xn'A= lim Xnn->n→>8注由定理7.4得知，有界数列必有上、下极限这样，上、下极限的优越性就显现出来了：一个数列若有界，它的极限可以不存在，此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的；但是有界数列的上下极限总是存在的，这为研究数列的性质 提供了一个新的平台。数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定义2 称为{ } xn 的上、下极限, 记为 lim , lim . n n n n A xA x → ∞ → ∞ = = 有界数列 { } xn 的最大聚点 A 与最小聚点 A 分别 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 个新的平台. 下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 提供了一 来研究该数列往往是徒劳的; 列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过极限 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 但是有界数列的上、 一个数 上（下）极限的基本概念
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质例1考察以下两个数列的上、下极限：lim= 0 (= lim 二):imn→o nn→o nn-→o nnn1lim(-1)nlim (-1)1n+1n+1n→0n->80从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 例1 考察以下两个数列的上、下极限: lim ( 1) 1, lim ( 1) 1. 1 1 n n n n n n →∞ n n →∞ − = − =− + + 11 1 lim lim 0 ( lim ); n n → ∞ nn n n→ ∞ → ∞ = = = 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 上（下）极限的基本概念