函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理第二讲拉格朗日定理及推论数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 拉格朗日定理及推论 第二讲
函数单调性的判别91拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理拉格朗日定理定理6.2（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足：(i)f(x)在闭区间[a, bl 上连续;(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导那么在开区间（a,b)内（至少）存在一点，使得F'(s) = f(b)-f(a)b-a数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.2（拉格朗日中值定理） 设函数 f (x) 满足： (i) f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f (x) 在开区间 (a, b) 内可导. 那么在开区间 (a ,b)内 ( 至少 ) 存在一点 ξ , 使得 () () ( ) . fb fa f b a ξ − ′ = − 罗尔定理与拉格朗日定理 拉格朗日定理
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性注 当 f(a)= f(b)时,拉格朗日定理就是罗尔定理可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例几何意义如右图，曲线yBy=f(x) 的两个端点 A,By= f(x)连线的斜率为Af(b)- f(a)---k.ABxb0HSab-a用平行推移的方法，曲线上至少在一点（,f()处的切线与 AB平行，其斜率率 f(é)也等于 kAB·数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 几何意义 () () . AB fb fa k b a − = − A B O x y a ξ b y fx = ( ) 用平行推移的方法,曲线上至少在一点 ( , ( )) ξ ξ f 连线的斜率为 y = f (x) 的两个端点 A, B 处的切线与 AB 平行, 如右图，曲线 f ′( ) ξ . AB 其斜率 也等于 k 罗尔定理与拉格朗日定理 注 当 fa fb () () , = 时 拉格朗日定理就是罗尔定理, 可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性设定理的证明f(b)- f(a)F(x)= f(x)x-a)-f(a)b-a可以验证F(x)满足罗尔定理的三个条件，所以(a,b),使 F'()=0, 即F'(5) = f(b)-f(a)yBb-ay= f(x)f(b)- f(a)(x-a)+f(a)一2b-a1A----F'(s) = f(b)-f(a)----Xb-ab&S0a数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理的证明 () () () () ( ) () fb fa Fx fx x a fa b a − = − − − − 可以验证F(x) 满足罗尔定理的三个条件, ∃ξ ∈ (a ,b) , 使 F′(ξ ) = 0, () () ( ) . fb fa f b a ξ − ′ = − 所以 罗尔定理与拉格朗日定理 ， () () ( ) fb fa f b a ξ − ′ = − 设 A B O x y a ξ b y fx = ( ) () () ( ) () fb fa y x a fa b a − = − + − 即
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性拉格朗日中值定理的结论 F(s)=(b)-(a)b-a通常称为拉格朗日中值公式拉格朗日公式有几个等价的表示形式f(b)-f(a) = f'()(b-a), a<<bf(b)- f(a) = f'(a+(b-a)(b-a), 0 <θ<1.f(x+h)- f(x)= f'(x+0h)h, 0 <0<1.另外，拉格朗日公式对b<α仍然成立，此时是介于a与b之间的一个常数数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 fb fa f b a a b ( ) ( ) ( )( ), . − = − << ′ ξ ξ 拉格朗日公式有几个等价的表示形式： fb fa f a b a b a ( ) ( ) ( ( ))( ), 0 1. − = + − − << ′ θ θ f x h f x f x hh ( ) ( ) ( ) , 0 1. + − = + << ′ θ θ 另外，拉格朗日公式对b < a 仍然成立， 于a与b之间的一个常数. 此时ξ 是介 罗尔定理与拉格朗日定理 拉格朗日中值定理的结论 () () ( ) fb fa f b a ξ − ′ = − ， 通常称为拉格朗日中值公式
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是一种纯粹的“存在性”定理，我们只知道的存在，但不知道究竟在区间的什么地方连续函数介值性定理也是这样的存在性定理存在性定理虽然只给出了某种现象的存在，但仍然具有重要的科学理论价值唐朝诗人贾岛的诗句“松下问童子，言师采药去；云深不知处只在此山中”在人文意境上给出了存在性定理非常生动的描述数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 唐朝诗人贾岛的诗句 “松下问童子，言师采药去；云深不知处， 只在此山中” 罗尔定理与拉格朗日定理 中值定理是一种纯粹的“存在性”定理， 连续函数介值性定理也是这样的存在性定理. 但仍然 我们只知 道ξ 的存在，但不知道ξ 究竟在区间的什么地方. 存在性定理虽然只给出了某种现象的存在， 具有重要的科学理论价值. 在人文意境上给出了存在性定理非常生动的描述
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别51拉格朗日定理和函数的单调性推论1设f(x)在区间 I上的导函数f'(x)=0，则f(x)在I上是一个常值函数证 对于区间I上的任何两点 x,与 x2,x, <x2.f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日定理的条件，则有f(x2)-f(x) = f'(5)(x, -x)=0, 5e(xi,x)这就是说，f(x)在区间I上的任何两个值都相等所以为常值函数f(b)-f(a) = f()(b-a), a<三<b数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 推论1 设 f (x)在区间 I上的导函数 f ′(x) ≡ 0 , 在 I上是一个常值函数. 证 f (x) 在[x1, x2]上满足拉格朗日定理的条件, 2 1 2 1 1 2 fx fx f x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( , ). −= − ∈ ′ ξ ξ 这就是说, f (x) 在区间I上的任何两个值都相等, 所以为常值函数. 对于区间 I上的任何两点 x1与 2 , , x1 < x2 x 则有 则 f (x) 罗尔定理与拉格朗日定理 fb fa f b a a b ( ) ( ) ( )( ), . − = − << ′ ξ ξ = 0
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别51拉格朗日定理和函数的单调性推论2若函数f和g均在区间I上可导，且f'(x)= g'(x), x E I,则在区间 I 上 f(x)与 g(x) 只差某一常数,即f(x)=g(x)+c (c为某一常数)推论3（导数极限定理）设函数f在点x的某邻域U(x.)内连续在U(x)内可导，且极限 lim f'(x)=k存在,x→xo则f在点x,可导，且f'(x) = lim f'(x).x-→xo数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 推论2 推论3（导数极限定理） 则在区间 I f x gx 上 () () 与 只差某一常数,即 f x gx x I ′ ′ ( ) ( ), , ≡ ∈ f x gx c c () () ( = + 为某一常数). 0 0 ( ) lim ( ). x x fx fx → ′ ′ = 0 U x( )内连续， 0 ( ) 在U x 内可导， 0 lim ( ) x x fx k → 且极限 ′ = 存在， 0 则 f x 在点 可导,且 若函数 fg I 和 均在区间 上可导,且 0 设函数 f x 在点 的某邻域 罗尔定理与拉格朗日定理
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性证分别按左右极限来证明(1)任取 xeU°(x),f(x)在[x,x]上满足拉格朗日定理条件，则存在ε(xo,x)，使得f(x)- f(x) f'().x-xo由于x<<x，因此当x→时，随之有→对上式两边求极限，便得f(x)- f(xo) = lim f'(s)= f'(xo + 0)f(x) =limx→xtx-Xox-→xo数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 0 0 () ( ) ( ). fx fx f x x ξ − = ′ − 对上式两边求极限，便得 → + − 0 − 0 0 () ( ) lim x x fx fx x x 0 0 (1) x U x fx x x ( ), ( ) [ , ] ∈ + 任取 在 上满足拉格朗日 证 分别按左右极限来证明. 定理条件， 0 则存在ξ ∈ ( , ), x x 使得 , 由于x0 < ξ < x 因此当x x0 0 时，随之有ξ x , → → + + → + = = + ′ ′ 0 0 lim ( ) ( 0). x x f fx ξ 罗尔定理与拉格朗日定理 0 f x( ) + ′ =
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性(2)同理可得 f(x)= f'(x。-0)因为lim f'(x)=k,所以 f(x+0)= f'(x-0)=k,x→Xo从而 fl(x)= f'(x)= k,即 f(x)= k.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 0 0 (2) fx fx ( ) ( 0). − 同理可得 ′ ′ = − → ′ = 0 lim ( ) , x x 因为 fx k 00 0 fx fx k fx k () () , () . + − 从而 ′′ ′ = = 即 = + − 所以 fx fx k ′ ′ ( 0) ( 0) , 0 0 += −= 罗尔定理与拉格朗日定理