习题课第七章实数完备性第四讲习题课数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 习题课 第四讲
习题课第七章实数完备性重要内容回顾1.区间套定理；2.聚点定理；3.有限覆盖定理：4.实数完备性定理的等价性；数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 重要内容回顾 3. 有限覆盖定理； 1. 区间套定理； 4. 实数完备性定理的等价性； 2. 聚点定理；
习题课第七章实数完备性补充例题例1用区间套定理证明柯西收敛准则．即数列(a,收敛的充要条件是：对任意的ε>0,存在N,当m,n>N时, 有a,-am0,存在N,n≥N时，an-a. 即当n>N时,an (a-,a).（注意：这并不能说明lima,=a~)n-0xa-eana+e数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 补充例题 例1 用区间套定理证明柯西收敛准则. 即 , . mn N a a n m 当 时有 > − 0,存在 N, ( : lim .) n N n a a →∞ 注意 这并不能说明 = 证明充分性 aN − ε aN + ε aN x 由题设,对于任意ε > 0, 存在N，n ≥ N时， . n N a a − ∈− + ( , ). nN a a a nN N 即当 时, ε ε g
习题课第七章实数完备性112+)存在N, n>N,时，a,=[an221 - *再令8：22-存在N,(≥ N,),n>N,时,11N+)a.Ean,-111取[a2, b,]=[a,b,]n显然有aN12222[ai, bi]=[az, b,], b, -a, ≤2并且当 n> N,时,a,E[az,b,l数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 1 , 2 令ε = 1 存在N , 1 1 1 1 1 , , 2 2 nN a a a nN N > ∈− + 时， 1 1 1 1 1 1 , ,. 2 2 N N ab a a =− + 取 2 1 , 2 再令ε = 2 1 存在N N ( ), ≥ n N > 2 时， 2 2 2 2 1 1 , , 2 2 nN N aa a ∈− + ab ab b a 11 22 2 2 1 [ , ] [ , ], , 2 ⊃ −≤ 2 2 2 2 11 2 2 1 1 [, ][,] , . 2 2 N N 取 a b ab a a = −+ 2 2 2 , [ , ], 并且当 n N a ab > ∈ 时 n ., 显然有
习题课第七章实数完备性1存在N,(≥ N-)，n>N,时,PT11a,EaN2hn2k1有取[ak, b,]=[ak-1, bk-1]naN2kK2K1 Nk.这样就得到一列闭区间([αak，bJ,满足(i) [ak, b,]-[ak+1, bk+il, k =1, 2, ..*;(ii) b-a≤→0, k→8 ;2-数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 1 1 , . 2 2 nN N k k k k aa a ∈− + ( ), 存在Nk ≥ Nk −1 n N > k 时， 1 , 2k 令ε = . {[ , ]}, k k 这样就得到一列闭区间 满足 a b 1 1 1 1 [, ][ , ] , , 2 2 k k kk k k N N k k ab a b a a − − = −+ 取 1 1 (i) [ , ] [ , ], kk k k ab a b ⊃ + + k = 1, 2,； 1 1 (ii) 0, 2 k k k b a − −≤ → k → ∞ ; 1 1 1 1 [ , ] [ , ], , 2 k k kk k k k a b ab b a − − ⊃ −≤ − [ , ], . n kk k a ab n N ∈ > 有
习题课第七章实数完备性(iii) Vk N+,当 n > N, 时,a, [ak, b,]由区间套定理,存在唯一的 [ak,b,l, k = 1,2,3.…根据定理1的推论，对于任意ε>0，存在k，使[ak, bk ] C( -8, +),由(ii)，当 n> Nk时,an E[ak, bk,]C(-e, +),所以a,一引0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 0 0 [ , ] ( , ), k k a b ⊂− + ξ εξ ε , [ , ], 1,2,3 . k k 由区间套定理 存在唯一的ξ ∈ = ab k 根据定理1的推论，对于任意 ε > 0, , 存在k0 使 0 (iii), , 由 当 n N > k 时 0 0 [ , ] ( , ), n kk a ab ∈ ⊂− + ξ εξ ε lim . n n a ξ →∞ = . n 所以 a − ∈ k n N a ab 当 时
习题课第七章实数完备性例2用致密性定理证明确界定理证若非空数集S有上界，设b是S的一个上界Va,使得a不是s的上界，有a00k->00(1) Vs E S，b,为S的上界,故有s≤b,.从而A=imbn.≥s，即A为S的上界k-→>0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 例2 若非空数集 S有上界,设b S 是 的一个上界. ∀a aS , 使得 不是 的上界，有a b < . 用致密性定理证明确界定理. 证 对任意的n N , ∈ + 将[,] abn等分, 则存在i, i 使得分点x S 不是 的上界， i 1 而分点x S + 是 的上界. 1 , , n in i 令a xb x = = + , n ab b ≤ ≤ { }n b 有界.由致密性定 理存在收敛子列 { }, nk b lim , nk k 设 b A →∞ = lim . nk k 于是 a A →∞ = (1) , ∀ ∈s S , . n n b S sb 为 的上界 故有 ≤ 从而 im , nk k A bs →∞ = ≥ 即 A 为 S 的上界
习题课第七章实数完备性(2) 要证 Vε>0,3s' S, 使得 s'> A-ε.由于 liman=A,故对V>0,an，使得 A-εα因为a.不是S的上界，所以3s'e S,满足a<s'，于是A-ε<an <s'≤A.这说明A=supS.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 这说明 A S = sup . 于是 (2) 要证 ∀> ∃∈ > − ε ε 0, , sS sA ′ ′ 使得 . lim , nk k 由于 a A →∞ = 故对 0, , nk ∀> ∃ ε a , nk 因为a S 不是 的上界 , , nk 所以∃∈ < sS a s ′ ′ 满足 . nk A− < ε a sA < ≤′ . nk 使得 A a − < ε
习题课第七章实数完备性例3用有限覆盖定理证明根的存在性定理证(用反证法).设f在区间[a,bl上连续，f(a)f(b)0.如果f在[a,b]上没有根，则对VxE[a,b],f(x)±0。由连续函数的局部保号性，3ε>0，使得对一切x'eU(x;8)I [a,b],(x')与f(x)同号. 令H ={Ux = U(x;ex)/xe[a,bl)则H是[a,bl的一个开覆盖,于是存在有限多个开区间{Ux, i= 1,2...n)覆盖了[a,b]数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 例3 设 f ab 在区间[,]上连续, 不妨设 fa fb ( ) 0 ( ) 0. ， 用有限覆盖定理证明根的存在性定理. 证(用反证法). 如果 f ab 在[,] , 上没有根 则对∀∈ ≠ x ab f x [ , ], ( ) 0 . 由连续函数的局部保号性, 0, x ∃ > ε { ( ; ) | [ , ]}, H U U x x ab x x = = ε ∈ 则H ab 是[,]的一个开覆盖,于是存在有限多个开区间 { | 1,2 } [ , ]. i U i n ab x = 覆盖了 fafb () () 0 < ， 使得对一切x′∈ ( ; ) [ , ], fx fx ( ) () . ′ 与 同号 令 U x ab x ε I
习题课第七章实数完备性不妨设这些区间互不包含，且从左到右依次覆盖区间[a,b],于是X,0.设 f(x,)0, 因为UnU±,VxeU,nUu,由xeUx,f(x) 0.由此产生矛盾，矛盾说明函数f在[a,bl上有根数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 第七章 实数完备性 习题课 不妨设这些区间互不包含, 且从左到右依次覆盖区间 [,] a b ，于是 1 2 . n xx x 1 ( ) 0, ( ) 0, i i fx fx 设 + 1 , i i U U x x + 因为 ≠ ∅ 1 , i i x x xU U + ∀ ∈ , ( ) 0; i x 由 x U fx ∈ 由此产生矛盾，矛盾说明函数 f 在[a, b]上有根