函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理第三讲拉格朗日定理应用举例数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 拉格朗日定理 应用举例 第三讲
罗尔定理与拉格朗日定理51拉格朗日定理和函数的单调性函数单调性的判别例2 设 f(x)在区间I上可微,且lf'(x)<K,则函数f(x)在区间I上一致连续8证对于任意正数ε，取S=对任意的K+1Xi,X2EI,Xi<x2，只要|x,-x<S,便有I f(x2) -f(x)/≤I f'()Ilx, -x IKe<<8, x,<5<x2K +1故f(x)在I上一致连续f(b)-f(a) = f'()(b-a), a<E<b数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 例2 设 f (x) 在区间 I 上可微, 且| f ′(x)|≤ K , 则函数 f (x) 在区间 I 上一致连续. 证 对于任意正数 ε , , , 1 2 x x ∈ I , x1 < x2 | ( ) ( )| | ( )|| | 2 1 x2 x1 f x − f x ≤ f ′ ξ − 1 2 , , 1 K x x K ε ≤ < << ε ξ + 故 f (x)在 I上一致连续. , K 1 ε δ = + 取 对任意的 只要 | x1 − x2 |< δ , 便有 罗尔定理与拉格朗日定理 fb fa f b a a b ( ) ( ) ( )( ), . − = − << ′ ξ ξ
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性例3证明: arctanb-arctana≤b-a (a<b)证设f(x)=arctanx.显然f(x)在区间[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，故有1arctanb-arctana(b-a)1+ g?≤b-a, a<<b.注，例3中的不等号可以成为严格的事实上,当0≤a<b和a<b≤0时, 显然不为零严格不等式成立数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 例3 证明: arctan arctan ( ). b aba ab − ≤− < 证 设 f (x) = arctan x . 显然 f (x)在区间 [a ,b]上 满足拉格朗日定理的条件， 2 1 arctan arctan ( ) 1 b a ba ξ −=− + 注 例3中的不等号可以成为严格的. 0 ≤ a < b 和 a < b ≤ 0时, ξ 显然不为零, 故有 事实上, 当 严格不等式成立. ≤− < < ba a b , . ξ 罗尔定理与拉格朗日定理
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性当a<0<b时,存在 i E (0, b), 2 E (a, 0), 使得arctanb-arctana= arctanb-arctan0+ arctanO-arctana11b +(-a)<b-a.221+51+52数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 = arctanb − arctan0 + arctan0 − arctana arctanb − arctana 2 2 1 2 1 1 () . 1 1 b a ba ξ ξ = + − <− + + 存在 ξ 1 ∈ (0, b), ξ 2 ∈ (a, 0), 使得 当 a < 0 < b 时， 罗尔定理与拉格朗日定理
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性元例4.证明等式 arcsinx +arccosx =xe[-1,1]2证 设 f(x)=arcsinx+arccosx,则在(-1,1)上11:0f'(x)-V1-x1-x?I f(x) = arcsinx +arccosx =C,由推论1可知xe(-1,1).元令x=0,得 C=2元又 f(1)=故所证等式在定义域[-1,1]上成立2数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 例4.证明等式 证 设 由推论1可知 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. x ∈ −( 1,1). 罗尔定理与拉格朗日定理
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性注要证xEI时f(x)=Co，只需证在I上f(x)=0且日x。E I, 使 f(xo)=Co.元自证XE(-00,+00)arctanx+arccotx =2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 自证 x ∈ −∞ + ∞ (, ) π arctan arccot , 2 x x + = 注 要证 x I ∈ 时 0 fx C () , = 只需证在 I 上 f x ′( ) 0, ≡ 0 且 ∃ ∈ x I, 0 0 使 fx C () . =
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别51拉格朗日定理和函数的单调性例5 设f(x)在区间[a,+)上可微,且 f(x)≥c>0证明: lim f(x)= +o0.证任取x>a，由拉格朗日中值公式，得到f(x)- f(a) = f()(x-a)≥c(x-a);从而f(x)≥ f(a)+c(x-a)因为lim (f(a)+c(x-a)=+oo ， 所以x-→+0lim f(x) = +o0.x-→+数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 例5 设 f (x)在区间 [a ,+ ∞) 上可微, 且 f ′(x) ≥ c > 0, 证明: lim ( ) = +∞. →+∞ f x x 证 任取 x a > , 由拉格朗日中值公式, 得到 fx fa f x a ( ) ( ) ( )( ) −= − ′ ξ 从而 f (x) ≥ f (a) + c(x − a). 因为 + − = +∞ , →+∞ lim ( f (a) c(x a)) x lim ( ) = +∞. →+∞ f x x 所以 ≥ − cx a ( ), 罗尔定理与拉格朗日定理
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性x≤0,x + sinx',的导数例6 求分段函数 f(x)=x>0In(1 +x),，并且解首先易见f(x)在x=0 处连续，[1+2xcosx, x0.1+x接下去利用导数极限定理求x=0处的导数．因为lim f'(x) = lim(1+2xcosx) = 1,001:1.lim f'(x) = limx->0+ 1+ xx-→0t由导数极限定理，f(x)在x =0 处可导，且 f(O)=1.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 例6 求分段函数 的导数. 2 sin , 0, ( ) ln(1 ), 0 x xx f x x x + ≤ = + > 罗尔定理与拉格朗日定理 解 首先易见 f x( )在 x =0 处连续， 接下去利用导数极限定理求 x =0 处的导数. 0 0 lim ( ) lim (1 2 cos ) 1, x x fx x x → → − − ′ =+ = 1 2 cos , 0, ( ) 1 , 0. 1 x xx f x x x + + 并且 + 0 0 1 lim ( ) lim 1. x x 1 f x x → → + ′ = = + 由导数极限定理, 因为 f x ( )在 x =0 处可导, 且 f ′(0) 1. =