柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限第七讲不定式极限（一）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 不定式极限（一） 第七讲 不定式极限
不定式极限62柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理不定式极限在极限的四则运算中，往往遇到分子，分母均为无穷小量（无穷大量）的表达式．这种表达式的极限比较复杂，各种结果均会发生．我们将这类极限统称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研究这类极限，这种方法统称为洛必达法则-cosxsinxlimlimxx-→02x-0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无 不定式极限 究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则. 称为不定式极限. 比较复杂，各种结果均会发生. 穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限 我们将这类极限统 现在我们将用柯西中值定理来研 不定式极限 0 sin lim 1, x x → x = 2 0 1 cos 1 lim . 2 x x x → − =
柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限0型不定式极限0定理6.7若函数f和g满足：(i) lim f(x) = lim g(x) = O ;x-→xox→xo(i)在点x。的某空心邻域U（x)内两者均可导，且 g(x)±0 ;f'(x)lim可以为实数，±，）(iii)4g'(x)x→xo则f'(x)f(x)Alimlimg'(x)g(x)x→xox-→xo数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 定理6.7 若函数 f 和 g满足： 0 0 (i) lim ( ) lim ( ) ; 0 x x x x f x gx → → = = 0 0 (ii) ( ) 在点 x 的某空心邻域 U x 内两者均可导， 且 g x ′() ; ≠ 0 ( ) 0 ( ) (iii) lim , . ( ) x x f x A A → g x ′ = ±∞ ∞ ′ 可以为实数， 则 0 0 () () lim lim . () () x x x x fx f x A → → gx g x ′ = = ′ 0 1. 0 型不定式极限 不定式极限
不定式极限柯西中值定理S2柯西中值定理和不定式极限证 补充定义f(x)=g(x)=0,所以f,g在点x,连续任取 x EU(x,),则在区间[x,x](或[x,x,l)上应用柯西中值定理，有f(x) -f(x)- f(xo)f(5)(介于x.与 x之间)g(x)g(x)-g(xo)g()令x→x，则→x，于是有f'()f(x)(x)limlimlimAg'()g'(x)g(x)x-→xox-→xox→>xof'(x)f(x)Alimling'(x)g(x)x→xox→xo数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 ( ), x U x0 任取 ∈ 应用柯西中值定理，有 0 0 0 ( ) () ( ) ( ) ( . () () ( ) () f x fx fx f x x gx gx gx g ξ ξ ξ − ′ = = − ′ 介于 与 之间) 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 0 0 令 xx x → → , , 则ξ 于是有 证 0 0 补充定义 f x gx ( ) ( ) 0, = = 所以 f g, . 在点x0 连续 0 0 则在区间[ , ]( [ , ] ) x x xx 或 上 不定式极限 0 ( ) lim ( ) x x f g ξ → ξ ′ = ′ 0 ( ) lim . ( ) x x f x A → g x ′ = = ′ 0 0 () () lim lim . () () x x x x fx f x A → → gx g x ′ = = ′
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限注 将定理6.7中的x→x改为x→x，x→xx→+0，x→-8o 的情形,只要修正相应的邻域结论同样成立数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 x → +∞, x → −∞ 的情形,只要修正相应的邻域， 结论同样成立. 注 0 00 6.7 x x x xx x 将定理 中的 → →→ 改为 + − ，
柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限1-tanx例3 求lim元sin 4xx-→4解容易验证：这是型不定式·-021-21-tanxsec'xlimlim2-4元sin 4x4cos4x元r→x-440f'(x)仍是如果 lim型不定式极限，只要满足洛0g'(x)x-→xo必达法则的条件，可再次使用该法则，考察f'(x)的存在性。limx-→xog'(x)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例3 π 4 1 tan lim . x sin4 x → x − 求 解 0 . 0 容易验证：这是一个 型不定式 0 0 0 ( ) lim , ( ) x x f x g x 如果 仍是 型不定式极限 只要满足洛 → ′ ′ π 4 1 tan lim x sin4 x → x − . 2 1 4 2 = − − = 不定式极限 2 π 4 sec lim x 4cos4 x → x − = 必达法则的条件，可再次使用该法则，考察 0 ( ) lim . ( ) x x f x g x 的存在性 → ′ ′
不定式极限柯西中值定理s2柯西中值定理和不定式极限1e* -(1+2x)例4 求 limIn(1 + x°)x-→0解 因为当 x→0 时,ln(1+x2)～x2,所以110e* -(1+ 2x)2e* -(1 + 2x)2型lim lim-2In(1 + x°)x→0x-→031e*-(1+2x)e* +(1+2x)=1.= lim= lim22xx-→0x→0这单在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例4 1 2 2 0 e (1 2 ) lim . ln(1 ) x x x → x − + + 求 解 2 2 因为当 时， x xx → + 0 1 ln( ) ~ , 所以 1 1 2 2 2 2 0 0 e (1 2 ) e (1 2 ) lim lim ln(1 ) x x x x x x → → x x −+ −+ = + 1 2 0 e (1 2 ) lim 2 x x x x − → − + = 3 2 0 e (1 2 ) lim 2 x x x − → + + = = 1. 不定式极限 这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的 代换，其目的就是使得计算更简洁些. 0 0 型
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限Vx例5 求 limx-0* 1-eVx0型不定式极限，可直接利用洛必达解这显然是0法则但若作适当变换，在计算上会显得更简洁些令t=/x,当x→0+时有t→0t，于是1Vxtlimlimimex-→0+oVt-→0+t->0+数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例5 0 1 lim . e 求 → + − x x x 解 这显然是 型不定式极限, 可直接利用洛必达 0 0 法则. txx t , 0 0, + + 令 =→→ 当 时有 0 1 lim e x x x → + − 不定式极限 0 1 lim et t t → + = − 于是 0 1 lim . 1 et t→ + = = − − 但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些
柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限1元(1+x)-e例6求limx->0x1+x)P对数求导法解limlim1x-→>0x-→0x1In(1 + x)= lim(1 + x)2x-→0x(1+ x)11x -(1 +x)ln(1+x)= lim(1 + x)^)limlimt2x-→0x-→0x-0 1+ x1- In(1+x) -1e= elim2x2x-→0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例6 1 0 (1 ) e lim . x x x → x + − 求 解 1 1 0 0 (1 ) e (1 ) lim lim 1 x x x x x x → → x ′ + − + = 1 2 0 1 ln(1 ) lim(1 ) (1 ) x x x x → xx x + =+ − + 1 2 0 0 (1 )ln(1 ) lim(1 ) lim x x x xx x x → → x −+ + = + 0 1 ln(1 ) 1 e lim x 2 x → x − +− = e = . 2 − 不定式极限 对数求导法 0 1 lim x→ 1 x ⋅ +