55函数的凸性与拐点第二十二讲函数凸性的进一步例曲线的拐点数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 函数凸性的进一步例 曲线的拐点 第二十二讲
55函数的凸性与拐点例4 设 f(x)是区间(a,b)上的一个严格凸函数，若 f(x)是,f(x)的一个极值,则 f(x)仅有惟一的极值，并且是极小值证应当注意，这里并没有假设函数f(x)的可微性，所以例3的方法就失效了。因为f(x)严格凸,所以当x,<x<x,时f(x)-f(x) f(x)-f(x)(*)Xo -XiX2 -Xo由于f(x)是极值，因此当x,x,充分接近x,时,有[f(x) -f(x)].[f(x2) - f(x)]≤0数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 0 若 fx fx ( ) () 是 的一个极值,则 f x( ) 仅有惟一的极 值，并且是极小值. 证 例 4 设 是区间 上的一个严格凸函数， f x ab () (, ) 性，所以例 3 的方法就失效了. 102 因为 f x( ) 严格凸,所以当 x x x < < 时, 01 20 0 1 2 0 () () () (). (*) fx fx fx fx xx xx − − < − − 01 20 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0. fx fx fx fx −⋅− ≤ 0 由于 f x( ) 是极值, 1 2 0 因此当 xx x , 充分接近 时,有 应当注意，这里并没有假设函数 f (x) 的可微
65函数的凸性与拐点所以 f(x)- f(x)≤0, f(x2)- f(xo)≥0,即f(x)是极小值下面证唯一性对于任意x E(xo,b)，因为f(x)是极小值，所以存在Xi E(xo,x),使得f(x)≥ f(x)f(x)是严格凸函数，有0≤(x)-() f(xo)数学分析第六章微分中值定理及其应用6高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 所以 01 20 fx fx fx fx ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, −≤ −≥ 0 即 f x() . 是极小值 对于任意 因为 f (x0 x xb ∈( , ), 0 ) 是极小值， 1 0 fx fx ( ) ( ). ≥ f (x) 是严格凸函数，有 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) () ( ) 0 , fx fx fx fx x x xx − − ≤ x xx 1 0 ∈( , ), 使得 所以存在 下面证唯一性
55函数的凸性与拐点同理可证：对于任意 xE(a,x),仍有f(x)>f(xo)设f(x)有另一极小值f(x*).根据以上讨论，将x*和xo分别看作极值点时，有f(x)> (x*) 和 f(x*) > f(x)同时成立，矛盾。所以极值点惟一数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 0 fx fx ( ) ( ) ∗ > 和 同时成立, 设 f (x) 有另一极小值 f x( ) . ∗ x ∗ 和 x0 分别看作极值点时, 有 根据以上讨论，将 同理可证：对于任意 仍有 f (x) > f (x0 x ax ∈( , ), 0 ) . 矛盾. 所以极值点惟一. 0 fx fx () () ∗ >
S5函数的凸性与拐点a+b+c3例5 证明不等式(abc)≤a"bc,其中a,b,c均为正数证 设 f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1, f"(x) =二 > 0,x所以f(x)在x>0时为严格凸函数，由詹森不等式(a+b+)≤((a)+ f(b)+ (c),3即a+b+ca+b+c=Ina"b'csIn333又因a+b+c3/abc 3数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 均为正数. 所以 fx x () 0 在 > 时为严格凸函数，由詹森不等式 1 ( ( ) ( ) ( )), 3 3 abc f fa fb fc + + ≤ ++ 3 ( ) , , abc a c b abc a b c a b c + + 例 5 证明不等式 ≤ 其中 证 f ′(x) = ln x + 1, 1 f x( ) 0, x ′′ = > 1 ln ln . 3 33 abc abc abc abc ++ ++ ≤ 即 又因 3 , 3 abc abc + + ≤ 设 则 fx x x ( ) ln , =
55函数的凸性与拐点故有a+b+ca+b+c3In VabcInabc33a+b+ca+b+c≤In33_In(a"bc°)再由对数函数是严格增的，就证得a+b+c≤a"b'c°.3(abc)a+b+ca+b+c1-In a"b'cIn<333数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 故有 3 3 1 ln ln 3 3 abc abc abc abc + + + + = 再由对数函数是严格增的，就证得 3 () . abc abc abc a b c + + ≤ 1 ln( ). 3 abc ≤ abc ln 3 3 abc abc ++ ++ ≤ 1 ln ln 3 33 abc abc abc abc ++ ++ ≤
55函数的凸性与拐点例6 设a>0,b>0,P>0,q>0,+=1.证明ab0上的严格凹函数，所以有(Ba'+=b) >f(a')+=f(b)qPP1代入得a'+=b"]>lna" +{lnb'= Inab.Inpd即（ab<=aP +=b'.pq数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 . 1 p 1 q b q a p ab + 1 1 . p q ab a b p q 即 > > > += p q 证明 证 设f (x) = ln x. 因f ′′(x) 0上 代入得 1 1 () () p q fa fb p q > + 1 1 ln p q a b p q + = ln . ab 所以有
55函数的凸性与拐点定义2设曲线y= f(x)在点M(xo,f(x))处有穿过曲线的切线，并且切线的两侧分别是严格凸和严格凹的这时称点M为曲线y=f(x)的拐点.图中所示的M是一个拐点，M又如点（0,0)是曲线y=arctanx的一个拐点；而余弦曲线y=cosx0Xox元的所有拐点为k元+一其中kZ数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 定义2 这时称点 M y fx 为曲线 = ( )的拐点. 图中所示的M 是一个拐点. 又如点 (0, 0) arctan 是曲线 y x = π π ,0 , 2 k + 的所有拐点为 0 0 设曲线 y fx Mx fx = ( ) ( , ( )) 在点 处有穿过曲线的 切线, 其中k ∈ Z. M x0 x y O • 并且切线的两侧分别是严格凸和严格凹的, 的一个拐点; 而余弦曲线 y x = cos
55函数的凸性与拐点下面两个定理是显然的定理6.16若f(x)在点 x,二阶可导,则(xo,f(x))为曲线y= f(x)的拐点的必要条件是 f"(x)=0.定理6.17设 f(x)在点x可导，在Ux)二阶可导若 "(x)在U(x)，U(x)的符号相反,则(xo,f(x))是f(x)的一个拐点:数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 定理6.17 定理6.16 0 y fx = ( )的拐点的必要条件是 f x ′′( ) 0. = 0 0 fx Ux Ux ( ) ( ), ( ) , + − 若 ′′ 在 o o 的符号相反 则 0 0 ( , ( )) ( ) x fx fx 是 的一个拐点 . 下面两个定理是显然的. 0 0 0 若 fx x ( )在点 二阶可导, , ( )) 则(x fx 为曲线 0 0 fx x U x ( ) ( ) . 设 在点 可导，在 二阶可导 o
55函数的凸性与拐点应当注意：若(xo,f(x))是曲线y=f(x)的一个拐点，那么f在点x,的导数不一定存在。比如函数 y=在x=0的导数不存在，但根据定义2点(0,0)却是曲线 =x 的一个拐点y-2X2-10-1数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 3 点(0, 0) 却是曲线 y x = 的一个拐点 . -2 -1 O 1 2 -1 1 x y 应当注意: 0 0 若( , ( )) x fx y fx 是曲线 = ( )的一个 拐点， 0 那么 f x 在点 的导数不一定存在. 比如 但根据定义2, 3 函数 在 的导数不存在 y xx = = 0