陕西师聚大學乐数学与信息科学学院?SHAANXLNORMALUNIVERS第五节复变函数一、复变函数的定义二、映射的概念三、典型例题四、小结与思考
第五节 复变函数 一、复变函数的定义 二、映射的概念 三、典型例题 四、小结与思考
陕品师聚大學数学与信息科学学院SHAANXIORMA复变函数的定义1.复变函数的定义：设G是一个复数z=x+iv的集合.如果有一个确定的法则f存在,按这个法则,对于集合G中的每一个复数z有一个或几个复数w=u+iv与之对应，那未称f是复变数W关于复变数z的函数（简称复变函数）,记作W=f(z)
一、复变函数的定义 ( ), ( ). , , , , . w f z f w z z w u iv f G G z x iy 数 简称复变函数 记作 之对应 那末称 是复变数 关于复变数 的函 的每一个复数 有一个或几个复数 与 个确定的法则 存在 按这个法则 对于集合 中 设 是一个复数 的集合 如果有一 1.复变函数的定义:
陕品师聚大學陈数学与信息科学学院SHAANM2.单(多)值函数的定义：如果z的一个值对应着一个w的值，那未我们称函数f是单值的如果乙的一个值对应着两个或两个以上w的值，那末我们称函数f是多值的3.函数的定义域和值域集合G称为f的定义集合（定义域）：对对应于G中所有z的一切w值所成的集合G*称为函数值集合（值域）
2.单(多)值函数的定义: . , 我们称函数 是单值的 如果 的一个值对应着一个 的值 那末 f z w 的值, 那末我们称函数 是多值的. 如果 的一个值对应着两个或两个以上 w f z 3.函数的定义域和值域: 集合 G 称为 f 的定义集合 (定义域); 对 ( ). * , 称为函数值集合 值域 对应于G中所有 z的一切 w值所成的集合G
陕品师乾大學陈数学与信息科学学院HOANXNOOANEI4.复变函数与自变量之间的关系：复变函数W与白变量z之间的关系W=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和v的两个二元实变函数2例如，函数w=z，令z=x+i，w=u+iv,则 u+iv=(x+iy)= x -y +2xyi,于是函数W=z对应于两个二元实变函数：u=x?-y2, v=2xy
4. 复变函数与自变量之间的关系: ( ) 相当于两个关系式 : 复变函数 与自变量 之间的关系 w f z w z u u(x, y), v v(x, y), 它们确定了自变量为 x 和 y的两个二元实变函数 . 例如, , 2 函数 w z 令 z x iy, w u iv, 2 则 u iv (x iy) 2 , 2 2 x y xyi : 于是函数 w z 2 对应于两个二元实变函 数 , 2 2 u x y v 2xy
陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXINORME映射的概念1. 引入:对于复变函数,由于它反映了两对变量 u,V和xv之间的对应关系，因而无法用同一平面内的几何图形表示出来，必须看成是两个复平面上的点集之间的对应关系
二、映射的概念 1. 引入: . , , , , , 的点集之间的对应关系 的几何图形表示出来 必须看成是两个复平面 上 和 之间的对应关系 因而无法用同一平面内 对于复变函数 由于它反映了两对变量 x y u v
陕品师大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAC2.映射的定义：如果用z平面上的点表示自变量z的值而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值，那末函数w=f(z）在几何上就可以看作是把z平面上的一个点集G（定义集合）变到W平面上的一个点集G*（函数值集合）的映射(或变换)
2.映射的定义: ( ). * ( ) ( ) , ( ) , 或变换 平面上的一个点集 函数值集合 的映射 是把 平面上的一个点集 定义集合 变到 值 那末函数 在几何上就可以看作 而用另一个平面 平面上的点表示函数 的 如果用 平面上的点表示自变量 的值 w G z G w f z w w z z
陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAIUNIVER这个映射通常简称为由函数w = f(z)所构成的映射如果G中的点z被映射 w=f(z)映射成G*中的点w,那末w称为z的象(映象),而z称为w的原象
. , ( ), ( ) * 的原象 中的点 那末 称为 的象 映象 而 称为 如果 中的点 被映射 映射成 w w z z w G z w f z G . ( ) 构成的映射 这个映射通常简称为由函数 w f z 所
陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXENORMALUNIVEI3.两个特殊的映射：()函数 w=z 构成的映射(反射变换)将z平面上的点z=a+映射成w平面上的点w=a-ibVR=2+3i?W,=1+2ixu32=1-2iWi=2-3iAABCAA'B'C'Zi→W1, Z2→W2
(1) 函数 w z 构成的映射 (反射变换). x y o u v o z 2 3i 1 w 2 3i 1 z 1 2i 2 w 1 2i 2 A B C A B C , 1 w1 z , 2 w2 z ABC ABC . 3. 两个特殊的映射: w a ib. z z a ib w 的点 将 平面上的点 映射成 平面上
陕品师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMANE如果把z平面和w平面重叠在一起，不难看出W=z是关于实轴的一个对称映射且是全同图形=2+3i·Wz=1+2i-uX72 =1-2iW=2-3iAABCAA'B'C'Zi →W1, Z2 →W29
x y o u v o z 2 3i 1 w 2 3i 1 z 1 2i 2 w 1 2i 2 A B C A B C , 1 w1 z , 2 w2 z ABC ABC . . , 是关于实轴的一个对称 映射 重叠在一起 不难看出 如果把 平面和 平面 w z z w o w1 w2 1 z 2 z 且是全同图形
陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N1(2)函数 w = z2 构成的映射.显然将 z平面上的点 z =i, zz =1+2i, = -1映射成 w平面上的点 w =-1, w2 =-3+ 4i,ws =1.NZXuW
(2) . 函数 w z 2 构成的映射 1, 3 4 , 1. , 1 2 , 1 1 2 3 1 2 3 w w w i w z z i z i z 映射成 平面上的点 显然将 平面上的点 x y o u v o 1z 2 z w2 w3 3 w1 z