陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.1 解析函数的概念

陕西师聚大学数学与信息科学学院SHAANXLNORMAIUNIVE第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考

第一节 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXINO复变函数的导数与微分1.导数的定义：设函数 w =f(z)定义于区域 D,z. 为D中的一点,点z+△z不出D的范围f(zo +△z) - f(zo)lim存在,如果极限AzAz-0那末就称f(z）在z.可导.这个极限值称为f(z）在zo的导数，dwf(zo +△z)-f(zo)记作f'(zo)lim=dzAzAz-0Z=Z0

一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: , , ( ) , 0 0 点 点 不出 的范围 设函数 定义于区域 为 中的一 z z D w f z D z D    , ( ) . ( ) 0 0 的导数 那末就称 f z 在z 可导 这个极限值称为 f z 在 z . ( ) ( ) lim d d ( ) 0 0 0 0 0 z f z z f z z w f z z z z           记作 , ( ) ( ) lim 0 0 0 如果极限 存在 z f z z f z z      

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AANNC在定义中应注意：z+z→z(即△z→)的方式是任意的 即zo+△z在区域D内以任意方式趋于z,时f(zo +Az) - f(zo)比值都趋于同一个数，Az如果函数f(z)在区域D内处处可导，我们就称f(z）在区域内D可导

在定义中应注意: ( 0) . z0  z  z0 即z  的方式是任意的 . ( ) ( ) , 0 0 0 0 比值 都趋于同一个数 即 在区域 内以任意方式趋于 时 z f z z f z z z D z       , ( ) . ( ) 导 我们就称 在区域内 可导 如果函数 在区域 内处处可 f z D f z D

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXINORN例1 求f(z)= z的导数.f(z+△z)- f(z)解f'(z) = limAzAz→0(z+ z)? - z?: limAzAz→0= lim(2z + Az) = 2z.Az-0注(z) =2z

例1 ( ) . 求f z  z 2的导数 z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 解 z z z z z        2 2 0 ( ) lim lim(2 ) 0 z z z       2z. (z ) 2z 2   注

陕西师大學陈数学与信息科学学院HANXNO例2 讨论f(z)=Im z的可导性,ff(z+△z)-f(z)Im(z + △z)- Imz解AzAzAzIm △zIm z + Im Az - Im zAzAzAyIm(△x + iAy)Ax +iAyAr+iAy当点沿平行于实轴的方向（Ay=0）而使△z→0时

例2 讨论f (z) Im z的可导性. z f z z f z z f        ( ) ( ) 解 z z z z      Im( ) Im z z z z      Im Im Im z z    Im x i y x i y        Im( ) , x i y y      当点沿平行于实轴的方 向(y  0)而使z  0时

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院SHAANXENORMAyAff(z+△z)- f(z)= lim= 0,lim福limAz>0 zAAr-0 Ax + iAyAz-0Ay=0当点沿平行于虚轴的方向(△x=0)而使△z→0时AyAff(z+△z)- f(z))=limlimlinA-0Ar +iAy-AzAz→0 △z△z>0Ar=0当点沿这两个不同的方向使z一0时，极限值不同故f（z）=Imz在复平面上处处不可导

z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 lim 0, 0 0           x i y y y x 当点沿平行于虚轴的方 向(x  0)而使z  0时, z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 , 1 lim 0 0 x i y i y x y           当点沿这两个不同的方向使z  0时,极限值不同, 故f (z) Im z在复平面上处处不可导

陕西师大學陈数学与信息科学学院SHAANXINO例3 问f(z)=x+2yi是否可导?Aff(z+△z)- f(z)解limlimAzAz-0 zAz-→0(x + Ax) +2(y + Ay)i- x -2yilimAzAz->0tyAx + 2AyiAy=0= limAz-0Ar+Ayi+x设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z

例3 问f (z)  x  2 yi是否可导？ z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z            ( ) 2( ) 2 lim 0 x yi x yi z          2 lim 0 设z  z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z， x y o  z y  0

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERAxAx + 2AyilimlimAr-→>0 △xAz-→0 △x + Ayi设z+△z沿着平行于轴的直线趋向于z，Ar=02AyiAx + 2Ayilim2.limLAz->0 Ax + AyiAy-0 AyiAV=0所以f(z)=x+2yi的导数X不存在

x y o  z y  0 x yi x yi z         2 lim 0 lim 1, 0       x x x 设z  z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z， x  0 x yi x yi z         2 lim 0 2, 2 lim 0       yi yi y 不存在 所以 的导数 . f (z)  x  2 yi

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院SHAANIRR2.可导与连续：函数f(z)在z处可导则在z处一定连续，但函数）在处连续不一定在z处可导证根据在z可导的定义，V>0,S>0,使得当0<zkS时f(z +Az)- f(z0) - f'(zo) <8,有Az令p(2)=(2+)-(2)- F(z0)Az

2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0处可导则在 z0处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0处连续不一定在 z0处可导. 证 , 根据在 z0 可导的定义   0,   0, 使得当 0 | z |  时, ( ) , ( ) ( ) 0 0 0         f z z f z z f z 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z z f z z       令   

陕西师大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVER则 lim p(△z) = 0,△z>0因为 f(z +z) -f(zo) = f'(zo)△z+ p(△z)△z,所以lim f(zo + △z) = f(zo),Az-0即f(z)在 zo连续[证毕]

lim ( ) 0, 0     z z 则  ( ) ( ) 0 0 因为 f z  z  f z lim ( ) ( ), 0 0 0 f z z f z z      所以 ( ) . 即f z 在 z0 连续 [证毕] ( ) ( ) , 0  f  z z   z z