陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.1 复变函数积分的概念

陕西师聚大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAIUNIVERE第一节复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考

第一节 复变函数积分的概念 一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质 四、小结与思考

陕品师報大學乐数学与信息科学学院SHAANX积分的定义1.有向曲线：设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那么我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线如果A到B作为曲线C的正向，B那么B到A就是曲线C的负向记为C-

一、积分的定义 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. x y o A 如果 B A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, .  记为C

陕品师大學陈数学与信息科学学院?SHAANXNOR关于曲线方向的说明：在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点，除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向。简单闭曲线正向的定义：简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方与之相反的方向就是曲线的负方向

简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向 是指当曲线上的点P顺此方 向前进时, 邻近P点的曲线 的内部始终位于P点的左方. x y o P P P P 与之相反的方向就是曲线的负方向. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向

陕西师大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMA1N2.积分的定义设函数 w = f(z)定义在区域 D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A = Zo, Z1, ..,Zk-1, Zk,.., Zn = B,By在每个弧段 Zk-1kZn-1(k = 1,2,..",n)CZ.k-1上任意取一点kX

2.积分的定义: , , , , , , , , , ( ) , A z0 z1 z 1 z z B C n D A B w f z D C  k k n      把曲线 任意分成 个弧段 设分点为 内起点为 终点为 的一条光滑的有向曲线 设函数 定义在区域 内 为区域 o x y A B n1 z k z k1 z 2 z 1z k  C 1  2  , ( 1,2, , ) 1 k k k k n z z 上任意取一点  在每个弧段   

陕品师大學陈数学与信息科学学院SHAANXINOA作和式 S, =f(5k) (zk- zk-1)=Ef(5h)Azk,k=1这里zk=Zk-Zk-1,ASk=zk-1z,的长度，记S=max[△s，当n无限增加且→0时,1<k<n如果不论对C的分法及,的取法如何，S有唯一极限，那么称这极限值为B函数f（z）沿曲线C的积分：CZn-l记为ZEf(5R)Azh51Zk-1Jcf(z)dz = limn→0k=1X

( ) ( ) ( ) , 1 1 1 k n k k n k n k k k S   f  z  z   f z   作和式    o x y A B n1 z k z k1 z 2 z 1z k  C 1  2  max{ }, 1 k k n  s   记 , , 这里 zk  zk  zk1 sk  zk1zk的长度 ( 当n无限增加且   0时, ( ) , , , 记为 函数 沿曲线 的积分 一极限 那么称这极限值为 如果不论对 的分法及 的取法如何 有唯 f z C C  k Sn ( )d lim ( ) . 1 k n k k C n f z z   f z    

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVER关于定义的说明：(1)如果C是闭曲线,那么沿此闭曲线的积分记为 f f(z)dz.C(2)如果C是x轴上的区间a≤x≤b,而f(z)=ux）这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义

关于定义的说明: ( )d . (1) ,  C f z z C 记为 如果 是闭曲线 那么沿此闭曲线的积分 . ( ), (2) , ( ) 定积分的定义 这个积分定义就是一元 实变函数 如果 是 轴上的区间 而 u x C x a x b f z   

陕品师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXINORMA积分存在的条件及其计算法1.存在的条件如果f(z)是连续函数而 C是光滑曲线时，积分 f(z)dz一定存在.证设光滑曲线C由参数方程给出z=z(t)=x(t)+iy(t), α≤t≤β正方向为参数增加的方向参数α及β对应于起点A及终点B

二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 ( )d . ( ) , 积分 一定存在 如果 是连续函数而 是光滑曲线时 C f z z f z C 证 z  z(t)  x(t)  i y(t),   t   设光滑曲线 C由参数方程给出 正方向为参数增加的方向, 参数 及  对应于起点 A 及终点 B

陕西师大學味数学与信息科学学院HAANX并且 z(t)± 0, α<t<β,如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D内处处连续,那么u(x,J)和v(x,y)在D内均为连续函数,设Sh=+ink因为 Az = Zk - Zk-1 = X +iyk-(Xk-1 +iyk-1)=(xk-Xk-1)+i(k-k-1)= Axk +iAyk

并且 z(t)  0,   t   , 如果 f (z)  u(x, y)  i v(x, y)在 D内处处连续, 那么u(x, y)和v(x, y)在 D内均为连续函数, , k k k 设     i ( )  k  k  k1  k  k  k1  k1 因为 z z z x iy x iy ( ) ( )  k  k1  k  k1 x x i y y , k k  x  iy

陕西师大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA2G)A所以k=1=Z[u(5k,nk) + iv(5k,nk)(Ax + iAyk)k=1- [u(5k,nk)Axk -v(5k,nk)Ayklk=1iE[v(Sk,nk)Ax+(Sk,nu)Aya]+ik=1由于u，v都是连续函数，根据线积分的存在定理

k n k k  f z 1 所以 ( )       n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( )            n k k k k k k k n k k k k k k k i v x u y u x v y 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ]         由于 u, v 都是连续函数,根据线积分的存在定理

陕西师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时不论对C的分法任何,点(Sk,n)的取法如何下式两端极限存在nEf(5k)AzkE[u(Ek,n)Ax-v(Eh,nk)Ayk]=k=-1k=E[v(Ek,nk)Ar+u(5k,n)Aylk=[ f(z)dz =,udx - vdy+ if, vdx + udy

当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ( , ) , 下式两端极限存在 不论对 C 的分法任何 点  k k 的取法如何                n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k i v x u y f z u x v y 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] ( ) [ ( , ) ( , ) ]          C f (z)dz   C udx vdy   C   i vdx udy