浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第五章留数及其应用结运回束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第五章 留数及其应用
第2页第五章留数及其应用留数$ 5.21、留数的定义1.1 引入若f(z)在C及C所围成的区域内解析，则Φ_f(z)dz=0;若f(z)在C内有的奇点，则Φf(z)d未必为0.P. f(z)dz = ?2sin二dz=4元ie"dz=2元ic_,=2元iZ[z/=1[z/=3设z是f(z)的一个有限孤立奇点，则cn(z-zo)", 0<z-zol<r.f(z) ==0结回DO束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第2页 1、 留数的定义 ( ) ( ) , 0 . ( ) 0 0 0 f z c z z z z r z f z n n = n − − =− 设 是 的一个有限孤立奇点，则 若 ( ) ( ) 0 在 及 所围成的区域内解析，则 ； C f z C C f z dz = §5.2 留 数 1.1 引入 若f z C f z dz ( ) ( ) 0. 在 内有的奇点，则C 未必为 1 1 | | 1 2 2 z z e dz ic i − = = = 1 | | 3 2 sin 4 z dz i z = = ( ) ？ C f z dz =
第3页第五章留数及其应用中取C为0<z-z<r内，且包含z,的一条简单闭曲线，则两边沿曲线C逐项积分,得：ff(z)dz=ch(z-zo)"dz =c(z-z)"dz-80n=+(z - zo)-" dz +..+c--(z- zo)-'dz +...=...+c..2元i(高阶导数公式) Codz +oci(z - zo)dz + ...Cn(z - zo)" dz + .+C(柯西-古萨基本定理=2元ic-1洛朗级数中负幂项c-(z-zo)-的系数结00回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第3页 两边沿曲线C逐项积分,得： 0 ( ) ( )n n C C n f z dz c z z dz =− = − + c z + c z − z z ++ c z − z n z + C n C C 0d 1 ( 0 )d ( 0 ) d = + − − − ++ − − − + C C n n c (z z ) dz c (z z ) dz 1 0 1 0 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 2i 0 ( )n n C n c z z dz =− = − 0 0 取C z z r z 为0 | - | 内，且包含 的一条 简单闭曲线，则 = 2 −1 ic 洛朗级数中负幂项c−1 (z − z0 ) −1的系数
第4页第五章留数及其应用Residual1.2 定义1设z.是f(z)的有限孤立奇点，则存在z.的某一邻域0<-zl<r，使得f(z)= c,(z-zo)",(0<|z-zol<r)称上述展开式中(z一zo)-的系数c-,是f(z)在z处的留数(残数),记作Res[f(z),zol,Res(zo)或者Res f(z).Z=Z0故(*)f(z)dzRes[f(z),zol= c-12.元其中C为0<lz一zkr内，且包含z的一条简单闭曲线。结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第4页 故 1.2 定义1 0 0 0 ( ) 0 z f z z − z z r 设 是 的有限孤立奇点，则存在 的某一邻域 ，使得 0 1 0 1 0 0 0 ( ) ( ) , [ ( ), ] Re ( ) ( ). z z z z c f z z Res f z z s z Res f z − − = 称上述展开式中 − 的系数 是 在 处的留 数(残数) 记作 ， 或者 0 | | 0 0 . 其中C z z r z 为 − 内，且包含 的一条简单 闭曲线 0 1 1 Re [ ( ), ] ( ) (*) 2 C s f z z c f z dz i = = − 0 0 ( ) ( ) , (0 ) n n n f z c z z z z r =− = − − Residual
第5页第五章留数及其应用注:(1)(*)的重要意义在于提供了一个求积分的新方法d., z'e"dz = 2元iRes[ze",0]例如,U/z/=1若z为f(z)的有限可去奇点，则(2)Res[f(z),zl= c-1 = 0;sinz例如，Res[0] = c-1 = 0.z结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第5页 1 1 3 3 | | 1 2 Re [ ,0] z z z z e dz i s z e = = 例如， 注： (1)(*)的重要意义在于提供了一个求积分的新方法； 0 0 1 (2) ( ) Re [ ( ), ] 0 z f z s f z z c = = − 若 为 的有限可去奇点，则 ； ,0] 0. sin Re [ = c−1 = z z 例如， s
第6页第五章留数及其应用2、留数定理定理1设c是一条简单闭曲线,函数f(z)在c内有有限个孤立奇点z,2,,zn,除此以外,f(z)在c内及c上解析,则nf. (z)dz =2元i>(1)Res[f(z),zklk=1在c内作n条互不包含,互不相交的证明：正向简单闭曲线C,(k=1,2,，n),使得奇点z,在C,内(k=1,2,，n)结运回D束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第6页 2、 留数定理 1 2 , ( ) , , , , , ( ) , n c f z c z z z f z c c 设 是一条简单闭曲线 函数 在 内有 有限个孤立奇点 除此以外 在 内及 上解析 则 定理1 证明: 在c n 内作 条互不包含,互不相交的 n k c k f z dz i s f z z 1 ( ) 2 Re [ ( ), ] (1) = = C k n k 正向简单闭曲线 ( 1,2, ) = ， ， k k 使得奇点z C k n 在 内( 1,2, ). =
第7页第五章留数及其应用由复合闭路定理得：fef(z)dz= fc f(z)dz+ f.f(z)d ++ f. f(z)d于是，得2i4 ()d =)22元/5e, (2)d福1.z-1n·ZZRe s[f(z),zk]Lknk=1n故Tf. f(z)dz = 2元 Res[f(z),zk ]1k=1留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法(留数法)结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第7页 D c zn z1 z3 z2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 Re [ ( ), ] k n C C k n k k f z dz f z dz i i s f z z = = = = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) C C C Cn f z dz f z dz f z dz f z dz = + + + 于是，得 ( ) 2 R e [ ( ), ]. 1 = = n k k c 故 f z dz i s f z z 留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法(留数法). 由复合闭路定理得：
第8页第五章留数及其应用3、留数的计算(1)若z= z为f(z)的有限可去奇点，则Res[f(z), zo] = 0;(2)若z = z为f(z)的本性奇点，往往采用展开的方法求Re s[f(z),zl(c-).(3)若z=z为f(z)的极点时，有如下计算规则：规则1如果z为f(z)的1级极点,那末Res[f(z), zo] = lim(z -zo) f(z)若z是f(z)的m级极点,则规则2dmRes[f(z),zo] =lim(z-z)" f(z)dzm-1(m-1)!1ZZ0结回00束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第8页 0 (3) ( ) 若z z f z = 为 的极点时，有如下计算规则： 规则2 若z0 是f (z)的m级极点,则 0 0 1 R 1 0 1 e [ ( ), lim ( ) ( ) . 1)! ] ( m m m z z d z z f z dz f z m s z − → − − − = 0 0 1 (2) ( ) Re [ ( ), ]( ). z z f z s f z z c− 若 = 为 的本性奇点，往往采用展开的 方法求 ； 若 为 的有限可去奇点，则 Re [ ( ), ] 0 (1) ( ) 0 0 = = s f z z z z f z 3、 留数的计算 Res[ ( ), ] lim( ) ( ). z z f z z z z f z → = − 0 0 0 规则1 如果 z0 为 f (z) 的1级极点, 那末
第9页第五章留数及其应用P证明：由条件,得f(z) =c-m(z-zo)-m +...+c_2(z-zo)- +c-,(z- zo)-1+co +ci(z-zo)+..", (c-m ±0) (0<l z-zo <r)于是,得(z - Zo)" f(z) =C-m +c-m+1(z-zo)+.+c_i(z- zo)m-1+co(z- zo)" +...两边求(m-1)阶导数,得d m-1zm-[(z-zo)" (2) =(m-1)c- + m(z-z0)+.,dm(z- zo)" f(z)]= (m-1)!c-1, (2)式成立limdzZ→Z0结运回00束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第9页 证明: 由条件,得 ( ) , ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 0 2 0 2 0 + + − + = − + + − + − − − − − − − − m m m c c z z c f z c z z c z z c z z 于是,得 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 0 1 0 + − + − = + − + + − − − − + − m m m m m c z z z z f z c c z z c z z [( ) ( )] ( 1)! !( ) , ( 1) , 1 0 1 0 1 − = − + − + − − − − z z f z m c m z z dz d m m m m 两边求 阶导数 得 lim ( ) ( ) ( 1)! , (2) . 1 0 1 1 0 − − = − − 式成立 − → z z f z m c dz d m m m z z (0 | | ) 0 z − z r
第10页第五章留数及其应用中注≥1.在实际计算中应灵活运用计算规则如z为 m级极点，当m较大而导数又难以计算时可直接展开洛朗级数求c-,来计算留数。2.在应用规则2时，为了计算方便一般不要将m取得比实际的级数高.但有时把m取得比实际的级数高反而使计算方便P(z)设f(z) =P(z),Q(z)在zo处解析,规则3Q(z)P(z) ± 0,Q(z) = 0,Q(z) ± 0,则P(zo)zo是f(z)的单极点,且Res[f(z),zolQ'(zo)结回00束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第10页 . '( ) ( ) ( ) , R e [ ( ), ] ( ) 0, ( ) 0, '( ) 0, ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 Q z P z z f z s f z z P z Q z Q z P z Q z z Q z P z f z = = = 是 的单极点 且 则 规则3 设 在 处解析 注 可直接展开洛朗级数求 −1 c 来计算留数 . 2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 0 如 z 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时