揭阳职业技术学院师范教育系《初等几何研究》教案（2024-2025学年第2学期）教师姓名：章慧芬所授专业：小学教育授课班级：241
1 师范教育系 《初等几何研究》教案 (2024-2025学年第2学期) 教师姓名: 章慧芬 所授专业: 小学教育 授课班级: 241
周授课时间第课次第1次1章节1.1预备知识名称授课教学12理论课（）、实践课（）、习题题（）、其它（方式时数教学了解几何学的历史，激发学生对数学的兴趣和探究欲望的目学会几个常用几何性质要求思人目1、培养严谨求实的科学精神；政2、锤炼坚持不懈的意志品质；育标3、增强文化自信与民族自豪感。教学讲解法、讨论法方法教学重点：几个常用几何性质的运用重点难点：几个常用几何性质的证明难点教学步骤及内容：，1.1预备知识通过了解几何学的历史，结合九章算术、几何原本等中外经典，讲好中国古代数学家刘徽和祖冲之的贡献，树立文化认同。讲好欧几里得的“几何原本”，让学生可以深刻体会到数学逻辑的严密性和演绎体系的力量，从而激发学生对数学的兴趣和探究欲望，进一步得到思维上的拓展和提升，对他们未来的学习和生活产生积极的影响。几个常用的几何性质1、在一个圆内，同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等或互补。2、在一个圆内，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍。3、圆的内接四边形对角互补。2
2 授课时间 第 1 周 课 次 第 1 次 节 称 章 名 ξ1.1 预备知识 课 式 授 方 理论课 ( √ )、实践课（ ）、习题题（ ）、其它 ( ) 教学 时数 2 教 目 要 学 的 求 了解几何学的历史，激发学生对数学的兴趣和探究欲望 学会几个常用几何性质 思 政 育 人 目 标 1、培养严谨求实的科学精神； 2、锤炼坚持不懈的意志品质； 3、增强文化自信与民族自豪感。 学 法 教 方 讲解法、讨论法 教 重 难 学 点 点 重点：几个常用几何性质的运用 难点：几个常用几何性质的证明 教学步骤及内容： ξ1.1 预备知识 通过了解几何学的历史，结合九章算术、几何原本等中外经典，讲好中国古代数 学家刘徽和祖冲之的贡献，树立文化认同。 讲好欧几里得的“几何原本”，让学生可以深刻体会到数学逻辑的严密性和演绎体系 的力量，从而激发学生对数学的兴趣和探究欲望，进一步得到思维上的拓展和提升，对他 们未来的学习和生活产生积极的影响。 几个常用的几何性质 1、在一个圆内，同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等或互补。 2、在一个圆内，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍。 3、圆的内接四边形对角互补
关键是180°，有三种做法，（1)、利用三角形内角180°；(2)、利用圆周角360°；(3)、利用直径所对的角为90。P4、AP是圆的切线，求证7PAB=7BAC5、切割线定理：PA切圆于A，PC交圆于E、C，PD交圆于B、D。求证：PA?=PE×PC=PB×PD.3
3 关键是 180 0 ，有三种做法，(1)、利用三角形内角 180 0 ； (2) 、利用圆周角 360 0 ； (3)、利用直径所对的角为 90 0。 4 、AP 是圆的切线，求证7 PAB= 7 BAC 5、切割线定理： PA切圆于 A，PC 交圆于 E、C，PD 交圆于 B、D。 求证：PA 2 =PE×PC=PB×PD
6、圆内弦BD、AC相交于E，求证：AE×EC-BExED。7、BC是四边形ABCD的外接圆的直径，MN切该圆于A，上MAB=25°，求上D。B解：上ACB=上MAB=25°，用到AB是直径，即上BAC=90°，故上B=65°，故上D=115°。8、PA切圆于A，PB交圆于B、C，上BPA=30°，PA=2/3，PC=1，求该圆半径。解：AE=2/3tan300=2，PE=4，故CE=EP-PC=3,又由切割线定理PA2=PB×PC，即12=1×PB=PB，故DBC=11，即BE=8，由CE×BE=AE×ED，故24=2×ED，故ED=12，故半径=7。9、四边形ABCD中，EF//BC，FP//AD，EFFP求：BCADA10、圆内接AABC的上C的平分线CD交圆于E，连接BE已知BD=3，CE=7，BC=5，求BE。解：△CAD和△BED和△CEB相似，故CE×BD21BE-BC5
4 6、圆内弦 BD、AC 相交于 E，求证：AE×EC=BE×ED。 7、BC是四边形 ABCD 的外接圆的直径，MN切该圆于 A， 上 MAB=25 0 ，求上D。 解：上 ACB=上 MAB=25 0 ，用到 AB 是直径，即 上 BAC=90 0 ，故上B=65 0 ，故上D=115 0。 8、PA切圆于A，PB 交圆于B、C，上BPA=30 0 ，PA=2 ， PC=1，求该圆半径。 解：AE= 2 tan 30 0 = 2 ，PE=4，故 CE=EP-PC=3， 又由切割线定理 PA 2 =PB× PC，即 12=1 × PB=PB，故 BC=11，即 BE=8，由 CE×BE=AE×ED，故 24=2×ED，故 ED=12，故半径=7。 9、四边形 ABCD 中，EF∥BC，FP∥AD， 求： 10、圆内接ΔABC 的上 C 的平分线 CD 交圆于 E，连接 BE， 已知 BD=3，CE=7，BC=5，求 BE。 解： Δ CAD 和Δ BED 和Δ CEB 相似，故
复习思考题、作业题：勾股定理、射影定理下次课预习要点教学后记5
5 复习思考题、作业题：勾股定理、射影定理 下次课预习要点 学 记 教 后
授课时间第周2课次第2次章节名称1.2等线段的证法授课教学理论课（√）、实践课（）、习题题（）、其它（方式时数教学目的两条相等线段的证法。要求教学讲解法、讨论法布法教学重点：构造全等三角形。重点难点：怎么作辅助线。点难教学步骤及内容：1.2等线段的证法教学目的：两条相等线段的证法。教学重点：构造全等三角形。教学难点：怎么作辅助线。证明等角最常用的方法就是利用相似三角形，求证等线段最常用的方法就是利用两个三角形全等。1、在△ABC的两条边AB和AC上向外作正方形ABEF和ACGH，求证：BC边上的高AD平分FH。FMHEGBDCBDCA
6 授课时间 第 2 周 课 次 第 2 次 节 称 章 名 1.2 等线段的证法 课 式 授 方 理论课 ( √ )、实践课（ ）、习题题（ ）、其它 ( ) 教学 时数 教 目 要 学 的 求 两条相等线段的证法。 学 法 教 方 讲解法、讨论法 教 重 难 学 点 点 重点：构造全等三角形。 难点：怎么作辅助线。 教学步骤及内容： 1.2 等线段的证法 教学目的：两条相等线段的证法。 教学重点：构造全等三角形。 教学难点：怎么作辅助线。 证明等角最常用的方法就是利用相似三角形，求证等线段最常用的方法就是利用两 个三角形全等。 1、在ΔABC 的两条边 AB 和 AC 上向外作正方形 ABEF 和 ACGH， 求证：BC 边上的高 AD 平分 FH
分析：主体是△ABC，但一定要用到ABEF和ACGH是正方形，即AB=AF和AC-AH。证明：作FP工DA交DA于P，作HQ工DA交DA于Q，上BAD+上BAF+上FAP=180°，故上DBA=上FAP，故△BDA与△APF全等，即FP=AD，同理，HQ=AD，故FP=HQ，故△FMP与△HMQ全等，故AD平分FH。利用两个三角形全等来求证两条线段相等，首先必须求证全等三角形，在这种情况下求证全等三角形所需要的条件一定需要角相等，而求证角相等一般用相似和在一个圆内，同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等或互补。2、C是圆O的一条弦的中点，PQ是该圆过C的另一条弦，XP切圆于P，交AB于X，QY切圆于Q交AB于Y，求证：①、XP=QY②、AX=BY证明：XPIOP，XCIOC，故X、P、C、O四点共圆于以XO为直径的圆，故上XOP=上XCP，QYOQ，CYOC，故Y、Q、C、O四点共圆于以YO为直径的圆，故上QOY=上QCY，故上XOP=上QOY，故△XOP和△YOQ，故XP=QY和OX-OY，显然AC=BC，故AX-BY.3、圆的二弦AB、CD相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与BC相交于F，FG切圆于G，求证：EF=FG证明：AEFB与ACFE相似，故-BFCFEF即EF=CF×BF，由切割线定理GF=CF×BF可知EF=FG7
7 分析：主体是 ΔABC，但一定要用到ABEF和ACGH 是正方形，即AB=AF和AC=AH。 证明：作FP丄 DA交DA于P，作HQ丄 DA交DA于Q，上BAD+上BAF+上FAP=180 0， 故 上 DBA=上 FAP，故ΔBDA 与ΔAPF全等，即 FP=AD， 同理，HQ=AD，故 FP=HQ，故ΔFMP 与ΔHMQ 全等，故 AD 平分 FH。 利用两个三角形全等来求证两条线段相等，首先必须求证全等三角形，在这种情况 下求证全等三角形所需要的条件一定需要角相等，而求证角相等一般用相似和在一个圆 内，同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等或互补。 2 、C 是圆 O 的一条弦的中点，PQ 是该圆过 C 的另一条弦，XP 切圆于 P，交 AB 于 X，QY切圆于 Q 交 AB 于 Y， 求证：①、XP=QY ②、AX=BY 证明：XP丄 OP，XC丄OC，故 X、P、C、O 四点 共圆于以 XO 为直径的圆，故上 XOP=上 XCP， QY丄OQ，CY丄OC，故Y、Q、C、O四点共圆于以YO为直径的圆，故上QOY=上QCY， 故上 XOP=上 QOY，故ΔXOP 和ΔYOQ ，故 XP=QY 和 OX=OY，显然 AC=BC，故 AX=BY。 3、圆的二弦 AB、CD 相交于圆外一点 E，由 E 引 AD 的平行线与 BC 相交于 F，FG 切圆于 G， 求证：EF=FG 证明： Δ EFB 与Δ CFE 相似，故 ， 即EF 2 = CF × BF ，由切割线定理GF 2 = CF ×BF 可知 EF=FG
4、AB是圆的直径，弦AC使ZBAC=30°，过点C引切线交AB的延长线于D，求证：AC=CD证明：ZBAC=ZBCD=30°，ABC=60°，故P8ZBDA=30°，故三角形ACD是等腰三角形。5、AB、CD是圆的直径，P为圆上任意一点，PF工DC,PELAB。求证EF为一定值。B证明：PFDC，PE工AB，故四边形PEOF对角互补，故P、E、O、F四点共圆，由于/EOF固定，EF为该圆周角所对的弦，故EF为一定值。6、EF与三角形ABC的底边BC平行，AO是三角形ABC的中线，D为EF和AO的交点。求证：ED=DF。807、A、B、C、D四点共圆，ACBD，FEIAB交CD于G，求证：CG=GD。证明：ZCDB=ZCAB，又ZAFE=CED=90°，故ZDCE=ZAEF=ZGEC=LABE，即三角形CEG是等腰三角形，同理，三角形EGD也是等腰三角形，故CG=GE=GD。8
8 4、AB 是圆的直径，弦 AC 使 BAC=30 0 ，过点 C 引切线交 AB 的延长线于 D， 求证：AC=CD 证明： BAC= BCD=30 0 ， ABC=60 0 ，故 BDA=30 0 ，故三角形 ACD 是等腰三角形。 5、AB、CD 是圆的直径，P 为圆上任意一点，PF丄DC， PE丄AB。 求证 EF 为一定值。 证明：PF丄 DC，PE丄AB，故四边形 PEOF对角互补， 故 P、E、O、F 四点共圆，由于 EOF 固定，EF 为该 圆周角所对的弦，故 EF 为一定值。 6、EF 与三角形 ABC 的底边 BC 平行，AO 是三角形 ABC 的中线，D 为 EF 和 AO 的交点。 求证：ED=DF。 7、A、B、C、D 四点共圆，AC丄 BD，FE丄AB 交 CD于 G， 求证：CG=GD。 证明： CDB= CAB，又 AFE=CED=90 0， 故 DCE= AEF= GEC= ABE，即三角形 CEG 是 等腰三角形，同理，三角形 EGD 也是等腰三角形，故 CG=GE=GD
8、设ABC中BC边上的高为AD，直线AD交外接圆于E，H是垂心。求证：HD=DE。分析：若HD=DE，则BDH和vBDE必全等，即只需证明BH=BE证明：7BFC=7BDH=90°，故7BHD=7BCA=7BEA，故BH=BE，故BDH和BDE全等，故HD=DE。9、在vABC中，分别以AB和AC为一边作等边三角形ABD和ACE，求证：CD-BE分析：利用全等三角形，并且必须用到两个等边三角形。证明：在vABE和ADC中，AB=AD，7EAB=7CAD，AE=AC，故vABE和>ADC全等，故CD=BE。复习思考题、作业题：下次课预习要点教学后记
9 8、设▽ABC 中 BC 边上的高为 AD，直线 AD 交外接圆于 E，H 是垂心。 求证：HD=DE。 分析：若 HD=DE，则 ▽BDH 和 ▽BDE 必全等，即只需 证明 BH=BE 证明：7 BFC= 7 BDH=90 0，故7 BHD= 7 BCA= 7 BEA， 故 BH=BE，故 ▽BDH 和 ▽BDE 全等，故 HD=DE。 9、在 ▽ABC 中，分别以 AB 和 AC 为一边作等边三角形 ABD 和 ACE，求证：CD=BE 分析：利用全等三角形，并且必须用到两个等边三角形。 证明：在 ▽ABE 和 ▽ADC 中，AB=AD，7 EAB= 7 CAD， AE=AC ，故 ▽ABE 和 ▽ADC 全等，故 CD=BE。 复习思考题、作业题： 下次课预习要点 学 记 教 后
授课时间第周课次第3次3章节1.3等角的证法名称授课教学2理论课（）、实践课（）、习题题（）、其它（方式时数教学目的两个相等角的证法。要求教学讲解法、讨论法方法教学重点：构造相似三角形。点重难点：找出相似三角形。点难教学步骤及内容：1.3等角的证法证明等角最常用的方法就是利用相似三角形和在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，求证二个三角形相似一般求证两组对边相等，如果利用在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，则首先必须证明四点共圆，而证明四点共圆一般用对角互补。1、设AD、BE、CF是锐角ABC的高，交点为H。求证：AD平分7FDE。证明：7FBE+7FHB=90°，7ECF+7EHC=90°又7FHB=7EHC，故7FBE=7ECF。（其实也可以FBC的外接圆是以BC为直径的圆，VEBC的外接圆是以BC为直径的圆，故vFBC的外接圆和EBC的外接圆是同圆，故B、C、E、F四点共圆，故7FBE=7ECF。）由于7BFH=7BDH=90°，故B、F、H、D四点共圆，故7FBE=7FDH，由于7CEH=7CDH=90°，故D、C、D、H四点共圆，故7FCE=7EDH，故7 FDH=7 EDH。10
10 授课时间 第 3 周 课 次 第 3 次 节 称 章 名 1.3 等角的证法 课 式 授 方 理论课 ( √ )、实践课（ ）、习题题（ ）、其它 ( ) 教学 时数 2 教 目 要 学 的 求 两个相等角的证法。 学 法 教 方 讲解法、讨论法 教 重 难 学 点 点 重点：构造相似三角形。 难点：找出相似三角形。 教学步骤及内容： 1.3 等角的证法 证明等角最常用的方法就是利用相似三角形和在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周 角相等，求证二个三角形相似一般求证两组对边相等，如果利用在一个圆内，同弧或等 弧所对的圆周角相等，则首先必须证明四点共圆，而证明四点共圆一般用对角互补。 1、设 AD、BE、CF 是锐角▽ABC 的高，交点为 H。 求证：AD 平分7 FDE。 证明：7 FBE+ 7 FHB=90 0 ，7 ECF+ 7 EHC=90 0 ， 又7 FHB= 7 EHC，故7 FBE= 7 ECF。 （其实也可以▽FBC 的外接圆是以 BC 为直径的圆， ▽EBC 的外接圆是以 BC 为直径的圆，故▽FBC 的外接圆和 ▽EBC 的外接圆是同圆， 故 B、C、E、F 四点共圆，故7 FBE= 7 ECF。） 由于7 BFH= 7 BDH=90 0 ，故 B、F、H、D 四点共圆，故7 FBE= 7 FDH， 由于7 CEH= 7 CDH=90 0 ，故 D、C、D、H 四点共圆，故7 FCE= 7 EDH， 故7 FDH= 7 EDH