陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.4 原函数与不定积分

陕品师大學乐数学与信息科学学院?SHAANXLNORMALUNIVERSI第四节原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考

第四节 原函数与不定积分 一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMALNE主要定理和定义1.两个主要定理：定理一如果函数f(z)在单连通域 B内处处解析那末积分f(z)dz与连结起点及终点的路线C无关.由定理一可知：解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关，（如下页图）

一、主要定理和定义 定理一 . ( )d ( ) , 无关 那末积分 与连结起点及终点的路 线 如果函数 在单连通域 内处处解析 C f z z f z B C 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理:

陕品师敦大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N如果起点为 zo,终点为 z1BBZ11010C2" f(z)dzf(z)dz = [ f(z)dz=C如果固定 zo,让 z在B内变动,并令 zi= z,便可确定 B内的一个单值函数F(z)=~f(S)d

B B  0 z 1 z  0 z 1 z C1 C2 C1 C2 , , 0 1 如果起点为 z 终点为 z    1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z   1 0 ( )d z z f z z , , , 0 1 1 如果固定 z 让 z 在 B内变动 并令 z  z ( ) ( )d . 0   z z 便可确定 B内的一个单值函数 F z f  

陕西师報大學陈数学与信息科学学院AANORMAINE定理二如果函数 f(z)在单连通域 B内处处解析那末函数 F(z)=[~f()d 必为 B内的一个解析函数,并且 F(z)=f(z)证利用导数的定义来证设z为B内任一点ZB以z为中心作一含于B内的小圆K

, ( ) ( ). ( ) ( )d ( ) , 0 F z f z F z f B f z B z z     析函数 并且 那末函数 必为 内的一个解 如果函数 在单连通域 内处处解析   定理二 证 利用导数的定义来证. B 设 z 为 B内任一点, z K, z B 小圆 以 为中心作一含于 内的 K

陕西师聚大學味数学与信息科学学院SHAANXINOMN取△z充分小使 z + △z 在 K 内, 由 F(z)的定义z+Azf(s)d -"f(s)dsF(z + △z)- F(z) =Z0由于积分与路线无关，z+Azf(S)d的积分路线可先取z.到z,JZo(注意：这一段与(S)d的B路线相同）SZo然后从z沿直线到z+△z

B z K 取 z 充分小使 z  z 在 K 内, z  z F(z  z)  F(z)     z z z z z f f 0 0 ( )d ( )d 由于积分与路线无关, ( )d , 0 0 f z z z z z 的积分路线可先取 到    然后从 z 沿直线到 z  z,  0 z  ) ( : ( )d 0 路线相同 注意 这一段与  的 z z f   由F(z)的定义

陕西师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINUEZ+Az于是 F(z +△z)-F(z)=f()dg,Z+A2Z+z因为f(z)d =f(z)d5 = f(z)△z,F(z+△z) - F(z)所以- f(z)Azz+Azf()dg-f(z)AzBZ+42Lf()-f(z)]dsSNZZ0

于是 F(z  z)  F(z)  ( )d ,  zz z f     zz z 因为 f (z)d  zz z f (z) d  f (z)z, B z K z  z  0 z  ( ) ( ) ( ) f z z F z z F z      所以 ( )d ( ) 1 f f z z z z z        [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z     

陕西师大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNORRAF因为 f(z)在 B内解析，所以 f(z)在 B内连续故V>0,3>0,使得满足-z<S的一切都在K内即△z<时， 总有f(S)-f(z)<,由积分的估值性质F(z+z)-F(z) _fzBAzSZ0

B z K z  z  0 z  因为 f (z)在 B内解析, 所以 f (z)在 B内连续, 故   0,   0, 使得满足   z   的一切 都在 K 内, 即 z  时, 总有 f ( )  f (z)   , 由积分的估值性质, ( ) ( ) ( ) f z z F z z F z     

陕西师大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1NF(z + △z) - F(z)z+Azf(5)-f(z)]d57AzAz f(S)- f(z) /dg≤=8AZAzF(z +△z)- F(z)于是limf(z)= 0,AzAz0[证毕]即 F'(z)=f(z).此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似

( ) ( ) ( ) f z z F z z F z      [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z      | ( ) ( ) | d 1 f f z z z z z      . 1         z z ( ) 0, ( ) ( ) lim 0         f z z F z z F z z 于是 即 F(z)  f (z). 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. [证毕]

陕西师聚大學味数学与信息科学学院SHAANXM2.原函数的定义：如果函数 β(z)在区域 B内的导数为f(z),即β(z)= f(z),那末称 (z)为 f(z)在区域 B内的原函数.显然 F(z)=(~f()d 是 f(z)的一个原函数原函数之间的关系：f(z）的任何两个原函数相差一个常数证设G(z)和H(z)是 f(z)的任何两个原函数

2. 原函数的定义: . ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), 的原函数 即 那末称 为 在区域 内 如果函数 在区域 内的导数为 z f z z f z B z B f z      ( ) ( )d ( ) . 0 显然 F z f 是 f z 的一个原函数 z z    原函数之间的关系: f (z)的任何两个原函数相差 一个常数. 证 设G(z)和 H(z)是 f (z)的任何两个原函数

陕西师乾大學味数学与信息科学学院SHAANXLNORMA那末 [G(z) - H(z)] = G'(z)- H'(z)= f(z)- f(z)= 0[证毕]于是 G(z)-H(z)= c. (c为任意常数)根据以上讨论可知：如果 f(z)在区域 B内有一个原函数 F(z),那末它就有无穷多个原函数一般表达式为F（z）+c（c为任意常数）

G(z) H(z)  G(z)  H(z)  那末   f (z)  f (z)  0 于是 G(z)  H(z)  c. (c 为任意常数) 如果 f (z)在区域 B内有一个原函数 F(z), 那末它就有无穷多个原函数, 一般表达式为 F(z)  c (c为任意常数). 根据以上讨论可知: [证毕]