陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）1.1 复数及其代数运算

陕品师大學乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMALUNIVERSI第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考

第一节 复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXI复数的概念1.虚数单位：实例：方程x2=-1在实数集中无解。为了解方程的需要，引入一个新数i称为虚数单位对虚数单位的规定：(1) i =-1;（2）i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算

一、复数的概念 1. 虚数单位: . , , 称为虚数单位 为了解方程的需要 引入一个新数 i : 1 . 实例 方程 x 2   在实数集中无解 对虚数单位的规定: (1) 1; 2 i   . (2) 四则运算 i 可以与实数在一起按同 样的法则进行

陕西师報大學陈数学与信息科学学院HAANXNC虚数单位的特性：il=i;i-i.=-i;i =-1; =i.i=i;i4 = i2.i? =1;i = i4.i = -1;i =i4.i3 =-i;i8 = i4.i4 = 1;一般地，如果n是正整数,则i4n+1 =i, i4n+2 = -1,i4n = 1,i4n+3 = -i.FU

虚数单位的特性: ; 1 i  i 1; 2 i   ; 3 2 i  i  i  i 1; 4 2 2 i  i  i  ; 5 4 1 i  i  i  i 1; 6 4 2 i  i  i   ; 7 4 3 i  i  i  i 1; 8 4 4 i  i  i  . 一般地，如果 n是正整数, 则 1, 4  n i , 4 1 i i n   1, 4 2   n i . 4 3 i i n   

陕西师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXINORMINE2.复数：对于任意两实数x,y,我们称z=x+yi或z=x+i为复数，其中x,V分别称为z的实部和虚部，记作 x =Re(z), y=Im(z)当x=0,y±0时，z=i称为纯虚数当y=0时，z=x+0i我们把它看作实数x

2.复数: . , , 或 为复数 对于任意两实数 我们称 z x iy x y z x yi     其中 x, y 分别称为 z的实部和虚部, 记作 x  Re(z), y  Im(z). 当 x  0, y  0时, z  iy 称为纯虚数; 当 y  0时, z  x  0i,我们把它看作实数 x

陕西师大學数学与信息科学学院SHAANXENORMA1N例1 实数m取何值时,复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i是(1)实数；(2)纯虚数解 令x=m2-3m-4，=m2-5m-6,(1)如果复数是实数,则y=0.由m2-5m-6=0知m= 6或m=-1.(2)如果复数是纯虚数，则x=0且y±0由m2-3m-4=0知m=4或m=-1.但由y±0知m=-1应舍去.即只有m=4

例1 实数m取何值时, 复数 (  3  4)  2 m m (m 5m 6)i是(1)实数; (2)纯虚数. 2   解 令 3 4, 2 x  m  m  5 6, 2 y  m  m  (1) 如果复数是实数, 则y  0, 5 6 0 6 1. 2 由m  m   知m  或m   (2) 如果复数是纯虚数 , 则x  0且y  0, 3 4 0 4 1. 2 由m  m   知m  或m   但由y  0知m  1应舍去. 即只有m  4

陕西师大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERS两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0说明两个数如果都是实数，可以比较它们的大小，如果不全是实数，就不能比较大小，也就是说，复数不能比较大小

两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院SHAANXINC复数的代数运算设两复数z=x+i，=x+i,1.两复数的和：z ±z2 =(x ±x2)+i(yi ±y2)2.两复数的积：ZI Z2 =(xiX2 -yiy2)+i(x2yi+Xiy2)3.两复数的商：Zi-XiX2+iy22+i2Ji-Xiy22Z2X+y2X2+y2

二、复数的代数运算 , , 1 1 1 2 2 2 设两复数 z  x  iy z  x  iy 1. 两复数的和: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 z  z  x  x  i y  y 2. 两复数的积: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z  x x  y y  i x y  x y 3. 两复数的商: . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z      

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXNORMAIN4.共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数．与z共轭的复数记为z，若z=x+iy，则z=x-iy.例2 计算共轭复数 x+ yi与 x- yi的积解(x- yi)(x+ yi)=x? -(yi)’ =x +y2结论：两个共轭复数 z，z的积是一个实数

4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为 z, 若 z  x  iy, 则 z  x  iy. 例2 计算共轭复数 x  yi 与 x  yi 的积. 解 ( x  yi)(x  yi) 2 2  x  ( yi) . 2 2  x  y 两个共轭复数 z, z 的积是一个实数. 结论：

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXILNORMAN5.共轭复数的性质：(1)±=± Z=ZZ (2) z = z;(3) z· z = [Re(z) +[Im(z):(4) z+z = 2Re(z), z -z = 2ilm(z)以上各式证明略

5. 共轭复数的性质: (1) ; 1 2 1 2 z  z  z  z ; 1 2 1 2 z z  z z ; 2 1 2 1 z z z z        (2) z  z; (3) Re( ) Im( ) ; 2 2 zz  z  z (4) z  z  2Re(z), z  z  2iIm(z). 以上各式证明略

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院A例3 将下列复数表示为 x +iv的形式(1)7(1-i)?(1-i)2-1解-i(1)2+i(1+i)(1-i)1-i-=(-i) = i.1+i1-i i+(1-i)2-1-2i2(1-i)i1+i(-1-2i)(1-i)3222

例3 将下列复数表示为 x  iy的形式. . 1 1 ; (2) 1 1 (1) 7 i i i i i i            解 i i   1 1 (1) (1 )(1 ) (1 ) 2 i i i     2 (1 ) 2  i   i, 7 7 ( ) 1 1 i i i           i. i i i i    1 1 (2) i i i i (1 ) (1 ) 2 2     i i     1 1 2 2 (1  2i)(1  i)  . 2 1 2 3    i