陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.4 平面场的复势

陕品师乾大学乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMAIUNIVERS*第四节平面场的复势一、用复变函数表示平面向量场二、平面流速场的复势三、静电场的复势四、小结与思考

*第四节 平面场的复势 一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNOIRMA用复变函数表示平面向量场平面定常向量场：向量场中的向量都平行于某一个平面S.而且在垂直于S的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的场中的向量也都与时间无关显然，向量场在所有平行于S的平面内的分布情况是完全相同的，可以用S平面内的场表示

一、用复变函数表示平面向量场 平面定常向量场: 向量场中的向量都平 行于某一个平面S, 而且在 垂直于S 的任何一条直线 上的所有点处的向量都是 相等的; 场中的向量也都与 时间无关. S S0 显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情 况是完全相同的, 可以用So平面内的场表示

陕西师報大學数学与信息科学学院在平面 S,内取定一直角坐标系 xoy向量A=Ai+A,j可表示为复数 A=A,+iA,由于场中的点可用复数 z=x+i表示所以平面向量场 A=A,(x,y)i+A,(x,J)j可表示为复变函数 A= A(z)= A,(x,J)+iA,(x,)反之,已知一个复变函数w=u(x,y)+iv(x,j),也可作出对应的平面向量场A=ux,y）i+v(x,y）

, 0 在平面 S 内取定一直角坐标系 xoy o x y Ay A . Ax x y x y A A iA A A i A j     为复数 向量 可表示    由于场中的点可用复数 z  x  iy 表示, ( ) ( , ) ( , ). ( , ) ( , ) A A z A x y iA x y A A x y i A x y j x y x y      示为复变函数 所以平面向量场 可表    ( , ) ( , ) . , ( , ) ( , ), A u x y i v x y j w u x y iv x y        可作出对应的平面向量 场 反之 已知一个复变函数 也

陕西师乾大學味数学与信息科学学院SHAANXINRNN例如，一个平面定常流速场(如河水的表面)=vr(x,y)i +v,(x,y)j可以用复变函数 =v(z)=v(x,)+iv,(x,y)表示,平面电场强度向量为E=E,(x,y)i+E,(x,J))可以用复变函数E=E(z)=E(x,y)+,(x,y)表示

例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面) v v x y i v x y j x y     ( , )  ( , ) 可以用复变函数 v v(z) v (x, y) iv (x, y) 表示,   x  y 平面电场强度向量为 E E x y i E x y j x y     ( , )  ( , ) . ( ) ( , ) ( , ) 表示 可以用复变函数 E E z E x y iE x y   x  y

陕西师報大學陈数学与信息科学学院SHAANX平面流速场的复势1.流函数：设向量场是不可压缩的定常的理想流体的流速场：=vx(x,y)i +v,(x,y)j其中速度分量(x,J)与v,(x,y)都有连续偏导数。如果它在单连域B内是无源场（即管量场）OvOvavOv即那末 div=0axaxayay

二、平面流速场的复势 1. 流函数: 体的流速场 : 设向量场 v 是不可压缩的定常的理 想流  v v (x, y)i v (x, y) j, x y      其中速度分量 v (x, y)与v (x, y)都有连续偏导数. x y 如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场), div  0,       y v x v v 那末  x y , y v x v x y       即

陕品师聚大學陈数学与信息科学学院HOANXM于是-v,dx+v.dy为某个二元函数(x,J)的全微分，dy(x,)=-v,dx+v,dy.ayay-V1axay因为等值线 y(x,J)=c流线dydy(x,y)=-v,dx+v,dy=0, 所以dx场在等值线y(x,)=c上每一点处的向量都与等值线相切。函数y(x,）称为场的流函数

流线 , d d ( , ) 的全微分 于是 v x v y 为某个二元函数 x y  y  x  d (x, y) v dx v dy.    y  x , . y x v y v x         ( , ) , 1 因为等值线  x y  c d (x, y)  v dx  v dy  0,  y x . d d x y v v x y 所以  , ( , ) 1 都与等值线相切 场 v 在等值线 x y c 上每一点处的向量 v     函数 (x, y) 称为场 v 的流函数.  

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院HAANX2.势函数：如果又是 B内的无旋场(即势量场)OvyOvx2=0即那么rot=0,axay于是vdx+v,dy为某个二元函数(x,y)的全微分，dp(x,y)=v,dx+v,dy,aapgradp =i.1raxay函数β(xJ）称为场的势函数（或位函数）等势线（或等位线）等值线p(x,y) =C2

2. 势函数: 如果 v 又是 B内的无旋场 (即势量场),  rot v  0,  那么  0.      y v x v 即 y x , d d ( , ) 的全微分 于是 v x v y 为某个二元函数 x y x  y  d (x, y) v dx v dy,   x  y , . x y v y v x        grad v.    函数 (x, y) 称为场 v 的势函数(或位函数).   ( , ) 等势线(或等位线) 2 等值线  x y  c

陕品师聚大學陈数学与信息科学学院2SHAANXLNORMA3.平面流速场的复势函数：如果在单连域B内.向量场既是无源场又是无旋场，ayaaya与，同时成立D1xaxayoyaxayaeOU柯西-黎曼比较后得axax方程d在单连域内可以作一个解析函数平面流速场的复w= f(z)=p(x,y)+iy(x,y势函数（复势）

平面流速场的复 势函数(复势) 柯西 –黎曼 方程 3. 平面流速场的复势函数: , , 是无旋场 如果在单连域 B内 向量场 v 既是无源场又  y , v x 与 y v x         , 同时成立, x y v y v x        , , x y y x              比较后得 在单连域内可以作一个解析函数 w  f (z)  (x, y)  i (x, y)

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXNOae+,_- f(z),因为 =+ivaxayaxax所以流速场可以用复变函数 =f(z)表示给定一个单连域内的无源无旋平面流速场就可以构造一个解析函数一一它的复势与之对应：反之，如果在某一区域（不管是否单连)内给定一个解析函数，就有以它为复势的平面流速场对应，并可以写出该场的流函数和势函数，得到流线与等势线方程，画出流线和等势线的图形，即得描绘该场的流动图象

x y 因为 v  v  iv y i x         x i x          f (z), 所以流速场 v 可以用复变函数 v  f (z) 表示.  给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对 应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给 定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速 场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得 到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图 形, 即得描绘该场的流动图象

陕品师聚大學陈数学与信息科学学院AANX例1 设一平面流速场的复势 为 f(z)=az (a>0 为实常数),试求该场的速度、流函数和势函数解因为 f'(z)=a,所以场中任一点的速度v= f'(z)=a>0,等势线V方向指向x轴正向流函数y(x,y)=ay,流线流线是直线族y=c;X势函数p(x,y)=ax0等势线是直线族x=C

例1 ), . ( ) ( 0 实常数 试求该场的速度、流函 数和势函数 设一平面流速场的复势 为 f z  az a  为 解 因为 f (z)  a, 所以场中任一点的速度 v  f (z)  a  0, 方向指向 x 轴正向. 流函数 (x, y)  ay, ; 1 流线是直线族 y  c 势函数 (x, y)  ax, . 2 等势线是直线族 x  c x y o    流线  等  势  线