陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.2 柯西－古萨基本定理

陕西师聚大学乐数学与信息科学学院2SHAANXNORMAIUNIVERS第二节 柯西一古萨基本定理一、问题的提出二、 基本定理三、典型例题四、小结与思考

第二节 柯西－古萨基本定理 一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMA问题的提出观察上节例1被积函数f(z)=z在复平面内处处解析，此时积分与路线无关观察上节例4，被积函数当n=0时为Z-Zo它在以z.为中心的圆周C的内部不是处处解析的，此时。dz=2元i±0.cZ-Zo

一、问题的提出 观察上节例1, 被积函数 f (z)  z 在复平面内处处解析 , 此时积分与路线无关. 观察上节例4, , 1 0 0 z z n  被积函数当  时为 , 它在以 z0 为中心的圆周 C 的内部不是处处解析的     c  z i z z d 2 0. 1 0 此时

陕西师報大學陈数学与信息科学学院SHAANXNORME虽然在除去 z.的C的内部函数处处解析但此区域已不是单连通域观察上节例5.被积函数 f(z)=z=x-iy,由于不满足柯西一黎曼方程，故而在复平面内处处不解析此时积分值zdz与路线有关由以上讨论可知.积分是否与路线有关，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性

观察上节例5, 被积函数 f (z)  z  x  iy, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内 处处不解析. 此时积分值 zdz与路线有关. c . , 0 但此区域已不是单连通 域 虽然在除去 z 的C 的内部函数处处解析 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可 能决定于被积函数的解析性及区域的连通性

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXINORMALN基本定理柯西一古萨基本定理柯西介绍古萨介绍如果函数f(z)在单连通域B内处处解析，那末函数f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为零 ： f(z)dz= 0.定理中的C可以不是简单曲线。B此定理也称为柯西积分定理

B 二、基本定理 柯西－古萨基本定理 : ( )d 0. ( ) ( ) ,   c f z z f z B C f z B 的积分为零 那末函数 沿 内的任何一条封闭曲线 如果函数 在单连通域 内处处解析 C 定理中的 C 可以不是简 单曲线. 此定理也称为柯西积分定 理. 柯西介绍 古萨介绍

陕西师乾大学味数学与信息科学学院AAN关于定理的说明：(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界，函数 f(z)在B内与C上解析,即在闭区域 B=B+C上解析那末f f(z)dz = 0.(2)如果曲线 C是区域 B 的边界，函数 f(z)在B内解析，在闭区域B=B+C上连续，那末定理仍成立

关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z)在 B内与C 上解析, 即在闭区域 B  B  C 上解析,   c 那末 f (z)dz 0. (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z)在 B内解析, 在闭区域 B  B  C 上连续, 那末 定理仍成立

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORM典型例题二、1例1计算积分dz.z=12z-31解函数在≤1内解析,2z-3根据柯西一古萨定理，有dz = 0.Jz/=12z-3

三、典型例题 例1 解  1  d . 2 3 1 z z z 计算积分 1 , 2 3 1 函数 在  内解析  z z 根据柯西－古萨定理, 有    1  d 0. 2 3 1 z z z

陕西师報大學陈数学与信息科学学院HOAN例2 证明(z-α)"dz=0 (n±-1),其中C 是任意闭曲线。证(1)当n为正整数时,(z-α)"在z平面上解析(z-α)"dz = 0.由柯西一古萨定理(2)当n为负整数但不等于-1时(z-α)"在除点α的整个z平面上解析，情况一：若C不包围α点

例2 . ( ) d 0 ( 1), 任意闭曲线 证明 z z n 其中C 是 c n       证 (1)当n为正整数时, (z ) 在 z 平面上解析, n  由柯西－古萨定理, (  ) d  0. c n z  z (2)当n为负整数但不等于  1时, (z ) 在除点 的整个 z 平面上解析, n   情况一 : 若C 不包围 点

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAN(z-α)" 在C围成的区域内解析, (z -α)"dz = 0;由柯西一古萨定理情况二：若C包围α点，由上节例4可知，(zα)"dz=0

由柯西－古萨定理, (  ) d  0; c n z  z 情况二 : 若C 包围 点, 由上节例4可知, (  ) d  0. c n z  z (z ) 在 C 围成的区域内解析 , n 

陕品师乾大学乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMANCR例3计算积分dz..解z(z因为-和-上解析都在-i≤12z+i7根据柯西一古萨定理得107=7z(z° + 1)2z+i27-7z-i

例3 d . ( 1) 1 2 1  2    z i z z z 计算积分 解 , 1 1 2 1 1 ( 1) 1 2            z z  z z i z i , 2 1 1 1 因为 和 都在   上解析  z i z z i 根据柯西－古萨定理得     2 1 2 d ( 1) 1 z i z z z               2 1 d 1 2 1 1 2 1 1 z i z z z i z i

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERSIdzdz1z+7C12元i=一元i.2

              2 1 2 1 2 1 d 1 2 1 d 1 2 1 d 1 z i z i z i z z i z z i z z  0       2 1 d 1 2 1 z i z z i    2i 2 1  i