陕品师乾大学乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMALUNIVERSI第二节复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考
第二节 复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 三、小结与思考
陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMA复平面1.复平面的定义复数z=x+i与有序实数对(x,y)成一一对应.因此，一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数，通常把横轴叫实轴或x轴，纵轴叫虚轴或轴.这种用来表示复数的平面叫复平面.z=x+iy (x,y)复数z=x+i可以用复平面上的点（x,J）)表示X
一、复平面 1. 复平面的定义 . . , , . , ( , ) 面 叫虚轴或 轴 这种用来表示复数的平 面叫复平 用来表示复数 通常把横轴叫实轴或 轴 纵轴 对应 因此 一个建立了直角坐标系 的平面可以 复数 与有序实数对 成一一 y x z x iy x y 面上的点 ( , ) 表示. 复数 可以用复平 x y z x iy ( x, y) x y x y o z x iy
陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXENORMAN2.复数的模(或绝对值)复数z=x+iv可以用复平面上的向量OP表示向量的长度称为z的模或绝对值7记为 z=r= /x2+y2.Pz=x+iy显然下列各式成立+XX，,=zZ.Z=z≤+
2. 复数的模(或绝对值) 向量的长度称为 z的模或绝对值, 复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示, . 2 2 记为 z r x y x y x y o z x iy P 显然下列各式成立 r x z, y z, z x y , . 2 2 zz z z
陕西师大学陈数学与信息科学学院SHAANXNORMAIN3.复数的辐角在z≠0的情况下，以正实轴为始边，以表示z的向量OP为终边的角的弧度数θ称为z的辐角记作 Argz =.说明任何一个复数z≠0有无穷多个辐角，如果θ是其中一个辐角，那么z的全部辐角为Argz=,+2k元（k为任意整数）特殊地，当z=0时，z=0，辐角不确定
3. 复数的辐角 Arg . , 0 , , z z OP z z 记作 的向量 为终边的角的弧度数 称为 的辐角 在 的情况下 以正实轴为始边 以表示 说明 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角, , 如果 1 是其中一个辐角 Arg 2 π ( ). z 1 k k为任意整数 特殊地, 当 z 0时, z 0, 那么 z的全部辐角为 辐角不确定
陕西师大學陈数学与信息科学学院NORMA辐角主值的定义：在z (± 0)的辐角中,把满足一元 0,z ≠0 辐角的主值x元x=0,y±0,土2argz =V=±元，×<0,±0,arctanxx<0,y= 0.元，元V元(其中<arctan一22x
辐角主值的定义: Arg , arg . ( 0) , π π 0 0 0 z z z 称为 的主值 记作 在 的辐角中 把满足 的 x 0, ) 2 arctan 2 ( x y 其中 z 0 辐角的主值 arg z x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0. arctan , x y , 2 π arctan π , x y π
陕品师敦大學乐数学与信息科学学院2SHAANXNORMAINERS4.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致+XX
4. 利用平行四边形法求复数的和差 x y o 1z 2 z 1 2 z z x y o 1z 2 z 1 2 z z 2 z 两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致
陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA5.复数和差的模的性质因为-z2表示点 zi 和 zz 之间的距离,故(1) 1 + z2≤z+2 ;-Z7ZZ1(2) [1 -z2|≥[z/-z2+x一对共轭复数z和z在z=x+iy复平面内的位置是关于X实轴对称的，z=x-iy
5. 复数和差的模的性质 (1) ; 1 2 1 2 z z z z (2) . 1 2 1 2 z z z z , 因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离 故 1z 2 z 1 2 z z x y o 1z 2 z 实轴对称的. 复平面内的位置是关于 一对共轭复数 z 和 z 在 x y o z x iy z x iy
陕西师聚大學陈数学与信息科学学院SHAANXENORMA1N6.复数的三角表示和指数表示x=rcoso,利用直角坐标与极坐标的关系y=rsino,复数可以表示成z=r(cos+isinの)复数的三角表示式欧拉介绍再利用欧拉公式eio=cosa+isin,复数可以表示成 z=reio复数的指数表示式
利用直角坐标与极坐标的关系 sin , cos , y r x r 复数可以表示成 z r(cos isin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 cos sin , e i i 复数可以表示成 i z re 复数的指数表示式 欧拉介绍 6.复数的三角表示和指数表示
陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AAN例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式：元元(1) z = -/12 -2i;(2) z = sin+icos155(cos5p +isin5@)3(3) z :(cos3p -isin3p)3解(1)r=z=/12+4=4，因为z在第三象限，V35-2所以日=arctan元一元=arctan元三36V12故三角表示式为z=4cos元+isin-1
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ; 5 cos 5 (1) 12 2 ; (2) sin z i z i . (cos3 sin3 ) (cos5 sin5 ) (3) 3 2 i i z 解 (1) r z 12 4 4, 因为 z 在第三象限, π 12 2 arctan 所以 3 3 arctan , 6 5 故三角表示式为 , 6 5 sin 6 5 4 cos z i
陕西师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVEE指数表示式为 z = 4e 6元元显然r=z=1,(2)z=sin=+icos553元元元元sin:Cos:COS二102553元元元元sinsincOS二510523元3元故三角表示式为zisin7=COS一10103元指数表示式为z=elom
指数表示式为 4 . 6 5 i z e 5 cos 5 (2) sin z i 显然 r z 1, 2 5 cos 5 sin , 10 3 cos 2 5 sin 5 cos , 10 3 sin 故三角表示式为 , 10 3 sin 10 3 cos z i 指数表示式为 . 10 3 i z e