广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.5 正态总体均值与方差的区间估计

第七章参数估计第五节正态总体均值与方差的区间估计一、单个总体的情况二、两个总体的情况三、小结概率论与数理统计（第4版）

第五节 正态总体均值与方差的 区间估计 一、单个总体的情况 二、两个总体的情况 三、小结

75正态总体均值与方差的态向估计一、单个总体N(u,α2)的情况设给定置信水平为1-α，并设X,Xz,X为总体N(u,)的样本,X,s2分别是样本均值和样本方差1.均值u的置信区间由上节例1可知(1)为已知,u的一个置信水平为1－α的置信区间X±zZα12

一、单个总体 N(, 2 ) 的情况 (1) ,  2为已知 由上节例1可知: 的一个置信水平为1 − 的置信区间 . / 2          z n X 1. 均 值  的置信区间 设给定置信水平为1 −, , , , 并设 X1 X2  Xn ( , ) , 为总体N   2 的样本 X, S 2 分别是样本均值和 样本方差

75正态总体均值与方差的在向信计(2)α为未知Sμ的置信度为1-α的置信区间X±ta/2(n-1Vn推导过程如下：0由于区间X±中含有未知参数.Zα12Y不能直接使用此区间但因为s2是2的无偏估计，可用S=/s2替换

(2) ,  2为未知 2 可用S = S 的置信度为1 −的置信区间 ( 1) . / 2        t n − n S X  推导过程如下: , / 2   由于区间  中含有未知参数       z n X 不能直接使用此区间, , 但因为S 2 是 2 的无偏估计 替换

75正态总体均值与方差的态向估计X-μ~ t(n-1),又根据第六章定理三知S/VnX-μ<ta/2(n-1)|=1-α,P}-ta/2(n-1)则S//n即p/X-;fa12(n-1)<μ<X + %tan2(n-1) =1-a,Ft于是得u的置信度为1－α的置信区间SX+ta/2(n-I

      − ( − 1)   + ( − 1) / 2 t / 2 n n S t n X n S P X    于是得 的置信度为 1 −  的置信区间 ~ ( 1), / − − t n S n X         − − − −  ( 1) / ( 1) / 2 t / 2 n S n X P t n   又根据第六章定理三知 则 即 = 1 − , = 1−, ( 1) . / 2        t n − n S X 

75正态总体约值与方差的在向计例1有一大批糖果，现从中随机地取16袋称得重量（克）如下：5045104975125065084995035145054934965065022509496设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体均值u的置信度为0.95的置信区间解1 - α = 0.95,α/2 = 0.025to.02s(15) = 2.1315,n-1 = 15,计算得X = 503.75, s = 6.2022,K

解 (15) 0.025 t  的置信度为0.95的置信区间. = 2.1315, 例1 有一大批糖果, 现从中随机地取 16 袋, 称得重量(克)如下: 514 505 493 496 506 502 509 496 506 508 499 503 504 510 497 512 设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值 1 − = 0.95, n − 1 = 15,  2 = 0.025 计算得 x = 503.75, s = 6.2022

75正态总体均值与方差的在向计得u的置信度为95%的置信区间6.2022即 (500.4,507.1)× 2.1315503.75±V16就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1这个估计的可信程度为95%克之间，若依此区间内任一值作为μ的近似值，6.2022×2.1315×2 = 6.61(克)其误差不大于V16这个误差的可信度为95%

        2.1315 16 6.2022 503.75 (500.4, 507.1). 这个估计的可信程度为95%. 即 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1 克之间, 若依此区间内任一值作为的近似值, 其误差不大于 这个误差的可信度为95%.  2.1315 2 = 16 6.2022 6.61(克). 得 的置信度为95%的置信区间

75正态总体均值与方差的态向估计例2（续例）求补充1中总体标准差的置信度为0.95的置信区间αα,n-1=15.0.975,解= 0.025,22查x(n-1)分布表可知：附表2-1附表2-2X0.025(15)=27.488,X0.975(15) = 6.262,计算得S=6.2022,代入公式得标准差的置信区间（4.58，9.60)

解 0.025, 2 =  ( 1) : 查  2 n − 分布表可知 (15) 2 0.025 计算得 s = 6.2022, (15) 2 0.975 代入公式得标准差的置信区间 (4.58, 9.60). (续例) 求补充1中总体标准差  的置信度为 27.488, 6.262, 例2 0.975, n −1 = 15, 2 1− =  0.95的置信区间. = = 附表2-1 附表2-2

75正态总体均值与方差的在向信计2. 方差α2的置信区间根据实际需要，只介绍u未知的情况，方差2的置信度为1一α的置信区间(n-1)s?(n -1)s2xa/2(n-1)Xi-α/2(n - 1)推导过程如下：因为S2是2的无偏估计(n-1)s2根据第六章第二节定理二知~ x(n-1),29

推导过程如下: 1 方 差 2 的置信度为 − 的置信区间. ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2         − − − − − n n S n n S     只介绍 未知的情况. 2. 方 差 2 的置信区间 根据实际需要, , 因 为S 2 是 2 的无偏估计 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   根据第六章第二节定理二知

75正态总体均值与方差的态向估计则P xia/2(n-1)<(n-1)S2xa/2(n-1))=1-α,292即(n-1)s2(n-1)s2P=1-α,(xa/2(n-1)xi-α/2(n-1)于是得方差2的置信度为1一α的置信区间(n- 1)s2(n - 1)s?xa/2(n - 1) xi-α/2(n -1))

       − − − −  ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 / 2 2 2 1 / 2 n n S P  n           − −   − − − ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 2 / 2 2 n n S n n S P      则 即 = 1 − , = 1 − , 1 于是得方差 2 的置信度为 −  的置信区间 . ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2         − − − − − n n S n n S    

75正态总体均值与方差的在向估计进一步可得：标准差的一个置信度为1－α的置信区间Vn-1sVn-1S/xa/2(n -1)/ xi-α/2(n -1)注意：在密度函数不对称时，如?分布和F分布，aeXa/2(n-1)Xa2(m-1)习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间（如图）

标准差 的一个置信度为1 −  的置信区间 . ( 1) 1 , ( 1) 1 2 1 / 2 2 / 2         − − − − − n n S n n S     进一步可得: 在密度函数不对称时, , 如 2分布和F分布 注意: 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图)