广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.4 区间估计

第七章参数估计第四节区间估计一、区间估计的基本概念二、 典型例题三、小结概率论与数理统计（第4版）

第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题 三、小结

7.4区向估计一、区间估计的基本概念1.置信区间的定义设总体X的分布函数F(x:①)含有一个未知参数0, ①,对于给定值α(0<α<1),若由样本X,X2,X，确定的两个统计量=0(Xi,X2,"",X,)和0 = 0(X1,X2,..,Xn) (@<0),对于任意0e满足P(0(Xi,X2,..",Xn) <0<0(X,X2,..,Xn)) =1-α,则称随机区间0,の)是0的置信水平为1一α的置信区

一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的定义 设总体X的分布函数F(x; )含有一个未知参 数 , 对于给定值 (0    1), X1 ,X2 ,  ,Xn 确定的两个统计量 ( , , , ) ( , , , ) ( ) ,  =  X1 X2  Xn 和 =  X1 X2  Xn    对于任意  满足 { ( , , , ) ( , , , )} P  X1 X2  Xn     X1 X2  Xn = 1−, 则称随机区间( , )是的置信水平为1−的置信区   ， 若由样本

7.4区向估计间，①和日分别称为置信度为1-α的双侧置信区间的置信下限和置信上限.1一α为置信水平关于定义的说明被估计的参数虽然未知，但它是一个常数，没有随机性,而区间0,)是随机的因此定义中下表达式P(0(X1,X2,...,Xn) <0<0(X,X2,..",Xn)) = 1 - α的本质是：随机区间0,の以1-α的概率包含着参数0的真值

的置信下限和置信上限, 1 −  为置信水平. 关于定义的说明 被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性,而区间( , )是随机的. 因此定义中下表达式 { ( , , , ) ( , , , )} P  X1 X2  Xn     X1 X2  Xn = 1 − 的本质是: 随机区间( , )以1− 的概率包含着参数 的真值, 间,  和 分别称为置信度为1−的双侧置信区间

7.4区向估针而不能说参数以1-α的概率落入随机区间①,の)另外定义中的表达式P((X1,X2,..*,Xn)<0<0(X,X2,..,Xn)) = 1 - α还可以描述为：若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是n）每个样本值确定一个区间(0,0),每个这样的区间或包含θ的真值或不包含的真值，按伯努利大数定理在这样多的区间中,包含填值的约占100(1-α)%不包含的约占100α%

还可以描述为: 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 每个样本值确定一个区间( , ), 另外定义中的表达式 { ( , , , ) ( , , , )} P  X1 X2  Xn     X1 X2  Xn = 1 − 而不能说参数以1−的概率落入随机区间( , ). 包含 的真值或不包含 的真值, 每个这样的区间或 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1 − )%, 不包含的约占100%

7.4区向计例如若α=0.01，反复抽样1000次则得到的1000个区间中不包含0真值的约为10个

例如 若 = 0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000个区间中不包含 真值的约为10个

7.4区向估计2.求置信区间的一般步骤(共3步)(1)寻求一个样本X,X,,X,和0的函数W = W(Xi,X2,..",Xn;0),使W的分布不依赖于0以及其他未知参数称具这种性质的函数W为枢轴量K

2. 求置信区间的一般步骤(共3步) 使 W的分布不依赖于以及其他未知参数， (1) 寻求一个样本 X1 , X2 ,  , Xn和的函数 W = W(X1 , X2 ,  , Xn ; )， 称具这种性质的函数 W 为枢轴量

7.4区向估计(2)对于给定的置信水平1-α，定出两个常数a,b使得 P(a< Z(X,X2,...,X,;0)<b) =1-α,(3) 从a< Z(X,X2,",X,;0)<b 得到等价的不等式 <<0, 其中 =X,X2,..,X,)=(Xi,X2,,X,)都是统计量,那么(, ) 就是θ的一个置信水平为1一α的置信区间

( , , , ), 其中  =  X1 X2  Xn 等式      , ( , , , ) ,  =  X1 X2  Xn 都是统计量 是 的一个置信水平为1− 的置信区间. 那么( ,  ) 就 (2) 对于给定的置信水平1− , 定出两个常数a,b 使得 P{a  Z(X1 , X2 ,  , Xn ; )  b} =1−, (3) 从 a  Z(X1 , X2 ,  , Xn ; )  b 得到等价的不

74区向估针样本容量n固定，置信水平1-α增大，置信区间长度增大，可信程度增大，区间估计精度降低。置信水平1一α固定，样本容量n增大.置信区间长度减小，可信程度不变，区间估计精度提高单击图形播放/暂停ESC键退出单击图形播放/暂停ESC键退出0.4样本容量200置信水平0.050.4置信水平0.95样本容量1000.3置信区间882329置信区间-0.1318640.30.2601290.20.20.10.151015510152020-0.1-0.1-0.2-0.2-0.3-0.30.4-0.4R

样本容量n固定, 置信水平1− 固定, 单击图形播放/暂停 ESC键退出 单击图形播放/暂停 ESC键退出 间长度增大,可信程度增大, 区间估计精度降低. 置信水平1− 增大, 置信区 间长度减小,可信程度不变, 区间估计精度提高. 样本容量n 增大, 置信区

7.4区向估计二、典型例题例 设总体X～N(μ,2）,2为已知，μ为未知,设X,X2，·,X，是来自X的样本,求u的置信水平为1－α的置信区间x-μ~ N(0,1),解因为x是μ的无偏估计，且a/VnX-μ所服从的分布N(0,1)是不依赖于任何未知a/n参数的,按标准正态分布的上α分位点的定义,有

解 因为X 是  的无偏估计, 参数的, 例1 ~ ( , ) , 2 设总体X N   ,  2为已知 为未知, 设 X1 , X2 ,  , Xn 是来自X的样本，求的置信水平 为1 −  的置信区间. 且 n X  / −  ~ N(0,1), 所服从的分布 (0,1)是不依赖于任何未知 / N n X  −  按标准正态分布的上 分位点的定义, 有 二、典型例题

7.4区向估计X-H<zα/2=1-αa/-Za/2Zap即Px--Zα/2<μ<X+1α/2

/ / 2        −    z n X P       −  / 2   +  / 2    z n z X n P X =1 −, 即 = 1 −