西安交通大学：《信号与系统 Signals and Systems》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 周期信号的傅里叶级数表示

类交通太净 购络教育资源建设工程 信≡ SIGNALS AND SYSTEMS 与系统 第3章周期信号的傅里叶级数表示 FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS

FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS 第3章 周期信号的傅里叶级数表示

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考与纽 主讲教师 王本章内容: 霞 鸿森教 教授 授 Ⅰ.周期信号的频域分析 Ⅱ.LTI系统的频域分析 Ⅲ.傅立叶级数的性质

本章内容： Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考 与系统 捷3.0引言 Introduction 教 师 王阎 时域分析方法的基础 霞 鸿森教 1)信号在时域的分解。 教授 授 2)LTI系统满足线性、时不变性。 从分解信号的角度出发,基本信号单元必须满 足两个要求: 1本身简单,且LTI系统对它的响应能简便得到。 2具有普遍性,能够用以构成相当广泛的信号

3.0 引言 Introduction v 时域分析方法的基础： 1) 信号在时域的分解。 2) LTI系统满足线性、时不变性。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 v 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求：

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考与纽 31历史的回顾( A Historical Perspective) 教 师 王阁任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多 霞森 要人不懈的努力而得来的,其中有争论,还有人为 授 之献出了生命。历史的经验告诉我们,要想在 科学的领域有所建树,必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅立叶分析法,也经历了曲 折漫长的发展过程,刚刚发布这一理论时,有人 反对,也有人认为不可思议。但在今天,这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用

3.1历史的回顾 （A Historical Perspective） 任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多 人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人 反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考 与系统 主 將傅里叶生平 王阎 1768年生于法国 霞 鸿森教 集÷1807年提出“任何周 教授 期信号都可以用正弦 授 函数的级数来表示” 拉格朗日反对发表 冷1822年首次发表“热 的分析理论” 1829年狄里赫利第 个给出收敛条件 1768-1830

v 1768年生于法国 v 1807年提出“任何周 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” v 拉格朗日反对发表 v 1822年首次发表“热 的分析理论” v 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 傅里叶生平 1768—1830

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考 与系统 主 斯傅里叶的两个最重要的贡献 王阎 鸿 霞森 副数“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 教授 授 号的加权和”—傅里叶的第一个主要论点 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点

傅里叶的两个最重要的贡献—— v “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 v “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考 与系统 毒3.2LTI系统对复指数信号的响应 教 师 王阎 The response of ltI Systems to Complex 鸿 霞森 Exponentials 敔今考查LT系统对复指数信号e和z"的响应 授 echoey(r) z" h(n)y(n) 由时域分析方法有, y(0)=e((edt =e"t h(G)esdr=h(s)en y(n)=∑=8h(k)=="∑h(k)2=H()z 一0

由时域分析方法有， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t st s st y t e h d e h e d H s e                  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k n k n k k y n z h k z h k z H z z              3.2 LTI系统对复指数信号的响应 The Response of LTI Systems to Complex Exponentials st e n z h(t) h(n) st e y(t) n z y(n) v 考查LTI系统对复指数信号 和 的响应

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考 与系统 主 可见LT系统对复指数信号的响应是很容易求得 师 王阎 的。这说明e和zn符合对单元信号的第一项要 霞 鸿森教 求 教授 特征函数( Eigenfunction) 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘 以一个常数,则称该信号是这个系统的特征函数。 系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对 应的特征值

可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得 的。这说明 和 符合对单元信号的第一项要 求。 st e n z 特征函数 (Eigenfunction) v 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘 以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。 系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对 应的特征值

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考 与系统 走结论: 师今复指数函数e、zn是一切LTI系统的特征函 王阎 西数。H(s)、H()分别是LT系统与复指数信号相对 数接应的特征值。 授 H(s)=M(e"tB)=∑MO) 只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征 函数。 对时域的任何一个信号x(1)或者x(m),若能将 其表示为下列形式:x(t)=a1e+a2+a3e

结论： v 只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征 函数。 v 复指数函数 、 是一切LTI系统的特征函 数。 、 分别是LTI系统与复指数信号相对 应的特征值。 ( ) ( ) st H s h t e dt      ( ) ( ) n k H z h n z      st e n z H(s) H(z) 对时域的任何一个信号 或者 ,若能将 其表示为下列形式： x(t) x(n) s t s t s t x t a e a e a e 1 2 3 1 2 3 ( )   

ep 通大学 网络教育资源建设工程 信考与纽 毒利用系统的齐次性与叠加性 教 由于e→>H(s)ee→>H(s2)e 王阎 霞 鸿森教 e→H(3)e所以有 教授 授 x(t)->v(t)=aH(se+a2H(S2)e+a3H(S3)e 即:x()=∑ae y(t)=2a,H(SkJe k 同理:x(m)=∑a2y(m)=∑aH(zk)z k 问题:究竞有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示?

利用系统的齐次性与叠加性 n k k x(n)  akZ n k k y(n)  akH(Zk )Z s t k k k k y(t)  a H(s )e s t k k k 即： x(t)  a e *问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？ s t s t s t x t y t a H s e a H s e a H s e 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   1 1  2 2  3 3 所以有 1 1 1 ( ) s t s t e  H s e 2 2 2 ( ) s t s t e  H s e 3 3 3 ( ) s t s t e  H s e 由于