习题课 判断线性系统 x(n (n) T[] 如果n(n)=[x1(n)y2(n)=7[x2(m) 有 [a1x1(m)+a2x2(m)]=a1[x1(m)+a27[x2(m) 则系统为线性系统
习题课 一.判断线性系统 如果 ( ) [ ( )], ( ) [ ( )] y1 n = T x1 n y2 n = T x2 n 有 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] T a1 x1 n + a2 x2 n = a1 T x1 n + a2 T x2 n 则系统为线性系统。 x(n) y(n) T[ ]
例1.判断下列系统是否为线性系统。 (ay(n) nr(n (b)y(m)=x(n); (c)y(n)=x(m); (a)y(n)=3x(n) 解:(a)y(m)=mx(m) y,(n)=nx, (n)=T[x (n)],y2(n=nx, (n)=T[x,(n) TLa,x, (n)+a,x,n]=a,nx, (n)+a, nx, (n) a,y,(n)+a2y2(n a1[x(n)+a27[x2(n) 故为线性系统。操作:乘n
例1. 判断下列系统是否为线性系统。 ( ) ( ) 3 ( ) 5 ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); 2 2 = + = = = d y n x n c y n x n b y n x n a y n nx n 解：(a) ( ) ( ) [ ( )], ( ( ) [ ( )] ( ) ( ) y1 n nx1 n T x1 n y2 n nx2 n T x2 n y n nx n = = = = = ） [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a T x n a T x n a y n a y n T a x n a x n a nx n a nx n = + = + + = + 故为线性系统。 操作：乘 n
(b) y(n)=x(n) ∵y(m)=x1(n2)=T[x1(m)y2(mn=x2(n2)=T[x2(m) Tla,x,(n)a,x2(n]=a, x,(n)+a2x2 (n) =a1y1(n)+a2y2(n) =a17x1(m)+a27[x2(m) 故为线性系统。 2 操作:n→)n
（b) ( ) ( ) [ ( )], ( ( ) [ ( )] ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 1 2 y n x n T x n y n x n T x n y n x n = = = = = ） [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 a T x n a T x n a y n a y n T a x n a x n a x n a x n = + = + + = + 故为线性系统。 操作： 2 n → n
( c) y(n)=x(n) ∷y(m)=x1(m)=T[x1(m)],y2(n)=x2(m)=T[x2(m) Tlax(mn)+a2x2(n)=[ax;(m)+a2x2(n)]2 =a12x2(m)+a2x2(n)+2aa2x(m)x(n) a1[x(n)+a2Tx2(H)]=a1x2(m)+a2x2(m) 可见:T44x(m)+a2x2(m)≠a[x(m)+a27[x2(m 故不是线性系统 操作:平方
( ) ( ) [ ( )], ( ( ) [ ( )] ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 1 2 y n x n T x n y n x n T x n y n x n = = = = = ） ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a x n a x n a a x n x n T a x n a x n a x n a x n = + + + = + 故不是线性系统。 操作：平方。 (c) [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 可见： T a1 x1 n + a2 x2 n a1 T x1 n + a2 T x2 n [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) 2 2 2 2 a1 T x1 n + a2 T x2 n = a1 x1 n + a x n
y(n)=3x(m)+5 y(n)=3x1(m)+5=TLx1(m)y2(mn)=3x2(n)+5=7[x2(m) 即,系统操作为乘3加5 1[a1x(n)+a2x2(m)=3a1x(m)+a2x2(m)+5 a1[x(n)+a2[x2(m)=3a1x1(m)+5a1+3a2x2(m)+5a2 可见:7ax(n)+a2x(m)≠a17x(m)+a27x2(m) 故不是线性系统
(d) 即，系统操作为乘 加 。 ） 3 5 ( ) 3 ( ) 5 [ ( )], ( 3 ( ) 5 [ ( )] ( ) 3 ( ) 5 y1 n x1 n T x1 n y2 n x2 n T x2 n y n x n = + = = + = = + T[a1 x1 (n)+ a2 x2 (n)] = 3[a1 x1 (n)+ a2 x2 (n)]+5 故不是线性系统。 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 可见： T a1 x1 n + a2 x2 n a1 T x1 n + a2 T x2 n 1 1 2 2 1 1 1 2 2 5 2 aT[x (n)]+a T[x (n)] = 3a x (n)+5a +3a x (n)+ a
判断移不变系统 如果T[x(m)=y(n)有T[x(n-m)=y(n-m),则系统 为移(时)不变系统 例2]判断系统y(n)=ax(m)+b是否是移不变系统 其中a和b均为常数 解: TIx(n=ax(n)+b=y(n) TIx(n-m=ax(n-m)+b=y(n-m) 故为移不变系统
如果 有 ，则系统 为移（时）不变系统 T[x(n)] = y(n) T[x(n − m)] = y(n − m) 二. 判断移不变系统. [例2] 判断系统 是否是移不变系统。 其中a和b均为常数 y(n) = ax(n) + b 解： [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) T x n m ax n m b y n m T x n ax n b y n − = − + = − = + = 故为移不变系统
[例3]判断系统y(n)=x(n)sn(2m+0.1m)是否是移不变系统 解: Tx(n=x(n)sin( 2n+0.lr)=y(n) .7[x(n-m)]=x(n-m)sin(2m+0.1) -[系统操作 X:y(n-m)=x(n-m)sin[ 2r(n-m)+0.1TI [函数操作] 显然T[x(n-m)]≠y(n-m) 故不是移不变系统
[例3] 判断系统 y(n) = x(n)sin( 2n + 0.1 ) 是否是移不变系统。 解： [ ] [ ( )] ( )sin( 2 0.1 ) [ ( )] ( )sin( 2 0.1 ) ( ) − − − 系统操作 − = − + = + = T x n m x n m n T x n x n n y n 故不是移不变系统。 又： [ ] ( ) ( )sin[ 2 ( ) 0.1 ] − − − 函数操作 y n − m = x n − m n − m + 显然 T[x(n − m)] y(n − m)
例4.判断下列系统是否为移不变系统。 (ay(n=nx(n) (b)y(m)=x(n)-x(n-1) 解: (a)TL(n]=nx(n)=y(n) T[x(n-m)=nx(n-m)---系统操作 又(n-m)=(n-m)x(n-m)---函数操作 显然7[x(n-m)≠y(n-m) 故不是移不变系统
( ) ( ) ( ) ( 1); ( ) ( ) ( ); = − − = b y n x n x n a y n nx n 例4. 判断下列系统是否为移不变系统。 解： − = − − − −系统操作 = = [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) T x n m nx n m T x n nx n y n 故不是移不变系统。 又： y(n−m) = (n−m)x(n−m)−−−函数操作 显然 T[x(n − m)] y(n − m) （a）
(b)y(m)=x(m)-x(n-1) T[x(n)]=x(n)-x(n-1)=y(mn) 7[x(n-m)]=x(n-m)-x(n-m-1) X: y(n-m=x(n-m)-x(n-m-D 显然T[x(n-m)]=y(n-m) 故是移不变系统
[ ( )] ( ) ( 1) [ ( )] ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) − = − − − − = − − = = − − T x n m x n m x n m T x n x n x n y n y n x n x n 故是移不变系统。 又： y(n − m) = x(n − m) − x(n − m −1) 显然 T[x(n − m)] = y(n − m) （b)
三判断线性移不变系统 个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统,这 完全由边界条件决定。例如:差分方程 D=x(n) (a)边界条件y(0)=0时,是线性的但不是移不变的 (b)边界条件y(-1)=0时,是线性移不变的。 (c)边界条件y(0)=1时,既不是线性的也不是移不变的
一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这 完全由边界条件决定。例如：差分方程 （c) 边界条件 时，既不是线性的也不是移不变的。 三. 判断线性移不变系统. y(n) − ay(n −1) = x(n) （a) 边界条件 y(0) = 0 时，是线性的但不是移不变的。 （b) 边界条件 y(−1) = 0 时，是线性移不变的。 y(0) =1
