《数值分析》课程大纲一、课程名称：数值分析二、课程性质：选修、理论课三、学时与学分：32学时，2学分四、课程先导课：高等数学、线性代数、高级语言程序设计等五、课程简介“数值分析”是介绍使用计算机求解连续性数学问题的数值方法与理论，具有很强的理论性、实践性与应用的厂泛性，它是数学科学的一个分支，且与计算机科学技术的发展紧密相关，是计算机典型而深入的重要应用领域，是继理论与实验后另一科学研究手段。“数值分析”是包括计算机科学技术、数据科学与技术等在内的工科专业的一专业基础课。课程以计算机求解数学问题的数值计算原理与误差分析理论为基础，详细讨论科学与工程应用中常见的基本数学问题如函数的数值逼近、数值积分与微分、常微分方程数值解、非线性方程求根，以及线性方程组数值解等问题的求解方法、数值算法、误差估计、收敛性与稳定性分析理论，从而可在计算机上通过编程实现对相关数学问题的实用、可靠与有效的数值求解。在现代科学研究与工程实践中，存在许多建模为连续性数学模型的问题，数值计算是解决这些问题的主要手段，通过该课程的学习与应用实践，有助于提升学生的数学建模能力，应用问题求解能力与工程化实践能力。六、课程目标通过相关教学活动，使学生理解数值计算基本原理，掌握典型数值计算问题的数值求解方法、处理技巧与数值算法，并能够对数值解进行误差分析，掌握相应的收敛性与稳定性分析的理论与方法，通关数值求解编程实践提高学生运用数值分析方法解决实际问题的能力与科学计算程序设计的能力。课程具体目标包括：目标1：理解数值计算基本原理，掌握离散化、递推化与近似替代等常用数值算法设计技术，能将科学与工程应用中的一般连续性数学问题转化为数值计算问题，培养计算机应用中的数值计算思维。目标2：掌握典型数值计算问题如函数插值与逼近、数值积分、常微分方程数值解、非线性方程与初步数值代数等问题的求解方法，及其中计算处理技巧
《数值分析》课程大纲 一、课程名称：数值分析 二、课程性质：选修、理论课 三、学时与学分：32 学时，2 学分 四、课程先导课：高等数学、线性代数、高级语言程序设计等 五、课程简介 “数值分析”是介绍使用计算机求解连续性数学问题的数值方法与理论，具 有很强的理论性、实践性与应用的广泛性，它是数学科学的一个分支，且与计算 机科学技术的发展紧密相关，是计算机典型而深入的重要应用领域，是继理论与 实验后另一科学研究手段。“数值分析”是包括计算机科学技术、数据科学与技 术等在内的工科专业的一门专业基础课。课程以计算机求解数学问题的数值计算 原理与误差分析理论为基础，详细讨论科学与工程应用中常见的基本数学问题如 函数的数值逼近、数值积分与微分、常微分方程数值解、非线性方程求根，以及 线性方程组数值解等问题的求解方法、数值算法、误差估计、收敛性与稳定性分 析理论，从而可在计算机上通过编程实现对相关数学问题的实用、可靠与有效的 数值求解。在现代科学研究与工程实践中，存在许多建模为连续性数学模型的问 题，数值计算是解决这些问题的主要手段，通过该课程的学习与应用实践，有助 于提升学生的数学建模能力，应用问题求解能力与工程化实践能力。 六、课程目标 通过相关教学活动，使学生理解数值计算基本原理，掌握典型数值计算问题 的数值求解方法、处理技巧与数值算法，并能够对数值解进行误差分析，掌握相 应的收敛性与稳定性分析的理论与方法，通关数值求解编程实践提高学生运用数 值分析方法解决实际问题的能力与科学计算程序设计的能力。 课程具体目标包括： 目标 1：理解数值计算基本原理，掌握离散化、递推化与近似替代等常用数 值算法设计技术，能将科学与工程应用中的一般连续性数学问题转化为数值计算 问题，培养计算机应用中的数值计算思维。 目标 2：掌握典型数值计算问题如函数插值与逼近、数值积分、常微分方程 数值解、非线性方程与初步数值代数等问题的求解方法，及其中计算处理技巧
认识其模型的数学特征，理解它们的应用背景，提升对应用问题进行抽象分析与数学建模的能力。目标3：在掌握典型数值计算问题求解方法的基础上，进行一定的数值算法设计与数值计算程序设计，认识数值计算程序设计的特征，通过小型工程应用实践，进一步培养学生编制数值计算软件或软件模块的能力。目标4：掌握误差分析的基本方法，包括典型问题数值解的截断误差与舍入误差估计，以及数值算法收敛性与稳定性的概念与分析方法；并通过一定的数值计算实验，加深理解数值算法收敛性与稳定性的含义：能根据数值算法的收敛速度、稳定性与计算复杂度等方面进行合理选择。目标5：了解数值分析/数值计算的发展历史，认识到计算机技术与科学和工程应用技术驱动看数值分析学科的不断发展，新的数值计算问题及新的数值计算方法不断涌现，培养学生在专业学习的过程中提炼数值计算问题与应用数值计算方法的自觉性，不断提高数值计算及其应用能力。七、课程目标对毕业要求的支撑关系支撑的毕业要求二级指标点对应课程目标1.1能将数学、自然科学和信息科学的语言工具用于计算机复杂工程目标1问题的表述1.2能针对计算机复杂工程问题的具体对象进行建模和求解目标23.2能为计算机复杂工程问题解决方案设计满足特定需求的软/硬件目标3模块4.3能对实验结果进行理论分析，对实验现象进行解释，并能通过信目标4息综合得到合理有效的结论。12.1能认识到计算机技术日新月异的发展特点，认同自主学习和终目标5身学习的必要性12.2具备自主学习能力，能通过多种途径拓展自己的知识和能力，目标5包括理解能力、归纳总结能力和提出问题的能力等八，教学设计及对课程目标的支持第一章数值分析引论1.教学目标1）理解数值分析的课程特点，常用的数值算法思想，了解数值分析发展的历史与未来趋势；2）掌握误差的基本理论，包括误差的来源，误差、误差限、相对误差与有效数字及其相互关系；
认识其模型的数学特征，理解它们的应用背景，提升对应用问题进行抽象分析与 数学建模的能力。 目标 3：在掌握典型数值计算问题求解方法的基础上，进行一定的数值算法 设计与数值计算程序设计，认识数值计算程序设计的特征，通过小型工程应用实 践，进一步培养学生编制数值计算软件或软件模块的能力。 目标 4：掌握误差分析的基本方法，包括典型问题数值解的截断误差与舍入 误差估计，以及数值算法收敛性与稳定性的概念与分析方法；并通过一定的数值 计算实验，加深理解数值算法收敛性与稳定性的含义；能根据数值算法的收敛速 度、稳定性与计算复杂度等方面进行合理选择。 目标 5：了解数值分析/数值计算的发展历史，认识到计算机技术与科学和 工程应用技术驱动着数值分析学科的不断发展，新的数值计算问题及新的数值计 算方法不断涌现，培养学生在专业学习的过程中提炼数值计算问题与应用数值计 算方法的自觉性，不断提高数值计算及其应用能力。 七、课程目标对毕业要求的支撑关系 支撑的毕业要求二级指标点 对应课程目标 1.1 能将数学、自然科学和信息科学的语言工具用于计算机复杂工程 问题的表述 目标 1 1.2 能针对计算机复杂工程问题的具体对象进行建模和求解 目标 2 3.2 能为计算机复杂工程问题解决方案设计满足特定需求的软/硬件 模块 目标 3 4.3 能对实验结果进行理论分析，对实验现象进行解释，并能通过信 息综合得到合理有效的结论。 目标 4 12.1 能认识到计算机技术日新月异的发展特点，认同自主学习和终 身学习的必要性 目标 5 12.2 具备自主学习能力，能通过多种途径拓展自己的知识和能力， 包括理解能力、归纳总结能力和提出问题的能力等 目标 5 八、教学设计及对课程目标的支持 第一章 数值分析引论 1.教学目标 1） 理解数值分析的课程特点，常用的数值算法思想，了解数值分析发展的 历史与未来趋势； 2）掌握误差的基本理论，包括误差的来源，误差、误差限、相对误差与有 效数字及其相互关系；
3）掌握四则运算的误差传播分析方法，了解函数运算稳定性分析原理：4）理解近似计算应注意的一些原则以及数值方法的评价准则本章教学支持课程目标1、目标4和课程目标5。2.教学重点1）截断误差与舍入误差的概念在误差的四种来源中，截断误差与舍入误差和数值方法直接相关，也是后面每章都需分析的问题，要求学生能理解截断误差与舍入误差的概念，能举例说明它们的区别。2）误差、误差限、相对误差与有效数字数值计算是以允许误差为基础的，学生必须掌握误差的几种表示形式，以及它们相互之间的转换方法。3.教学难点1）算术运算的误差传播分析稳定性是评价数值算法性能的重要方面，算术运算的误差传播分析是基础，学生必须掌握基本的误差分析公式，并可以应用到简单计算的误差传播分析之中4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、作业、课外阅读等教学形式。1）讨论在数值分析对应用问题求解过程中会产生哪几种不同类型的误差？举例说明截断误差与舍入误差的区别。在科学研究与工程实践中，讨论数值计算的典型应用实例。2）作业主要练习误差限与有效数字的相互转化，算术运算的误差分析。3）课外阅读阅读数值分析发展史与趋势分析的文献。第二章插值法与曲线拟合本章的主要知识点包括多项式插值的概念及存在唯一性；Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值；曲线拟合的最小二乘法。1.教学目标1）掌握多项式插值的基本概念以及插值多项式的存在唯一性；2）掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段线性插值的插值公式及其利用基函数法的推导过程，以及它们的余项公式及其证明方法；
3）掌握四则运算的误差传播分析方法，了解函数运算稳定性分析原理； 4）理解近似计算应注意的一些原则以及数值方法的评价准则。 本章教学支持课程目标 1、目标 4 和课程目标 5。 2.教学重点 1）截断误差与舍入误差的概念 在误差的四种来源中，截断误差与舍入误差和数值方法直接相关，也是后面 每章都需分析的问题，要求学生能理解截断误差与舍入误差的概念，能举例说明 它们的区别。 2）误差、误差限、相对误差与有效数字 数值计算是以允许误差为基础的，学生必须掌握误差的几种表示形式，以及 它们相互之间的转换方法。 3.教学难点 1）算术运算的误差传播分析 稳定性是评价数值算法性能的重要方面，算术运算的误差传播分析是基础， 学生必须掌握基本的误差分析公式，并可以应用到简单计算的误差传播分析之中。 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、作业、课外阅读等教 学形式。 1）讨论 在数值分析对应用问题求解过程中会产生哪几种不同类型的误差？举例说 明截断误差与舍入误差的区别。在科学研究与工程实践中，讨论数值计算的典型 应用实例。 2）作业 主要练习误差限与有效数字的相互转化，算术运算的误差分析。 3）课外阅读 阅读数值分析发展史与趋势分析的文献。 第二章 插值法与曲线拟合 本章的主要知识点包括多项式插值的概念及存在唯一性；Lagrange 插值、 Newton 插值、Hermite 插值、分段插值；曲线拟合的最小二乘法。 1.教学目标 1）掌握多项式插值的基本概念以及插值多项式的存在唯一性； 2）掌握 Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、分段线性插值的插值 公式及其利用基函数法的推导过程，以及它们的余项公式及其证明方法；
3）掌握直线拟合的最小二乘法；理解正规方程组及其特征；4）能熟练利用上述插值法与直线拟合法对给定数据建立多项式近似模型。本章教学支持的课程目标为目标2、目标3与目标4。2.教学重点1）Lagrange插值、分段线性插值Lagrange插值是插值法的基础，也是教学的重点；龙格现象说明Lagrange插值多项式不具有收敛性，而分段线性插值多项式具有一致收敛性。2）直线拟合的最小二乘法为已知复杂函数或给定数据建立近似多项式表示，除了插值法之外，另有一类数值方法就是曲线拟合，让学生重点掌握直线拟合的最小二乘法基本原理，正规方程组及其应用，理解插值法与曲线拟合的区别，3.教学难点1）Lagrange插值余项公式截断误差分析是数值分析课程理论性的一个方面，要求学生理解利用数学方法推导Lagrange插值余项公式的基本方法，并会利用余项公式估计插值计算结果的截断误差限。2）Hermite插值Hermite插值相比于Lagrange插值多了一类插值条件，Hermite插值基函数比Lagrange插值基函数更复杂，Hermite插值公式的推导过程、形式特征及余项估计也比Lagrange插值复杂得多，并且在数学方法运用上具有代表性，是本章教学的难点之一。4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲解、直观演示、讨论、作业与课外数值实验等教学形式。1）课堂讨论待定系数法求解插值多项式的计算复杂度与可行性，不同插值法的计算特征与应用局限性，多项式插值与曲线拟合的区别。2）作业主要练习依据给定函数表应用几种插值公式求解相应的插值多项式，利用插值余项公式估计计算结果的误差：并对不规则Hermite低次插值问题，建立其插值多项式，推导与证明其插值余项：直线拟合实例求解等。3）直观演示
3）掌握直线拟合的最小二乘法；理解正规方程组及其特征； 4）能熟练利用上述插值法与直线拟合法对给定数据建立多项式近似模型。 本章教学支持的课程目标为目标 2、目标 3 与目标 4。 2.教学重点 1）Lagrange 插值、分段线性插值 Lagrange 插值是插值法的基础，也是教学的重点；龙格现象说明 Lagrange 插值多项式不具有收敛性，而分段线性插值多项式具有一致收敛性。 2）直线拟合的最小二乘法 为已知复杂函数或给定数据建立近似多项式表示，除了插值法之外，另有一 类数值方法就是曲线拟合，让学生重点掌握直线拟合的最小二乘法基本原理，正 规方程组及其应用，理解插值法与曲线拟合的区别。 3.教学难点 1）Lagrange 插值余项公式 截断误差分析是数值分析课程理论性的一个方面，要求学生理解利用数学方 法推导 Lagrange 插值余项公式的基本方法，并会利用余项公式估计插值计算结 果的截断误差限。 2）Hermite 插值 Hermite 插值相比于 Lagrange 插值多了一类插值条件，Hermite 插值基函数比 Lagrange 插值基函数更复杂，Hermite 插值公式的推导过程、形式特征及余项估 计也比 Lagrange 插值复杂得多，并且在数学方法运用上具有代表性，是本章教 学的难点之一。 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲解、直观演示、讨论、作业与课 外数值实验等教学形式。 1）课堂讨论 待定系数法求解插值多项式的计算复杂度与可行性，不同插值法的计算特征 与应用局限性，多项式插值与曲线拟合的区别。 2）作业 主要练习依据给定函数表应用几种插值公式求解相应的插值多项式，利用插 值余项公式估计计算结果的误差；并对不规则 Hermite 低次插值问题，建立其插 值多项式，推导与证明其插值余项；直线拟合实例求解等。 3）直观演示
利用直观图表或数值计算程序演示，揭示高次插值龙格现象，分段线性插值的一致收敛性等，形成直观认识，加深理解。4）课外实验可让学生在课外实现Lagrange插值计算程序，并就龙格现象计算实例进行求解实验，分析计算结果及其误差发散现象。第三章数值积分与数值微分本章的主要知识点包括机械求积法与代数精度的概念、求积公式的构造方法，NewtonCotes求积公式，复化求积法、变步长梯形算法、Romberg求积公式与Romberg算法，数值微分。1.教学目标1）理解机械求积、积分余项与代数精度的概念，掌握代数精度的判别方法；2）掌握插值型求积公式的构造方法与特征；3）掌握NewtonCotes求积公式，包括其推导过程、低阶公式的余项估计与数值稳定性；4）掌握复化求积法，如复化梯形公式、复化Simpson公式等及其余项公式；5）掌握Romberg求积公式、变步长梯形算法与Romberg算法：6）掌握数值微分的差商近似法与插值型公式；本章教学支持的课程目标为目标2、目标3与目标4。2.教学重点1）Newton_Cotes求积公式NewtonCotes求积公式是等距节点的插值型求积公式，作为本章的基础。2）复化求积公式及Romberg算法复化求积公式及Romberg算法，能够较好地控制数值求积的稳定性与收敛性，保证结果的精度，是较实用的方法。3.教学难点1）Newton_Cotes求积公式与复化求积公式的余项公式余项公式的推导以及公式本身具有较强的数学性，注意其推导方法2）外推原理与Romberg公式外推原理在数值方法中使用普遍，使学生理解应用外推原理推导Romberg公式的方法。4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、演示、作业与课外数值计算实验等手段
利用直观图表或数值计算程序演示，揭示高次插值龙格现象，分段线性插值 的一致收敛性等，形成直观认识，加深理解。 4）课外实验 可让学生在课外实现 Lagrange 插值计算程序，并就龙格现象计算实例进行求 解实验，分析计算结果及其误差发散现象。 第三章 数值积分与数值微分 本章的主要知识点包括机械求积法与代数精度的概念、求积公式的构造方法、 Newton_Cotes 求积公式，复化求积法、变步长梯形算法、Romberg 求积公式与 Romberg 算法，数值微分。 1.教学目标 1） 理解机械求积、积分余项与代数精度的概念，掌握代数精度的判别方法； 2）掌握插值型求积公式的构造方法与特征； 3）掌握 Newton_Cotes 求积公式，包括其推导过程、低阶公式的余项估计与 数值稳定性； 4） 掌握复化求积法，如复化梯形公式、复化 Simpson 公式等及其余项公式； 5）掌握 Romberg 求积公式、变步长梯形算法与 Romberg 算法； 6）掌握数值微分的差商近似法与插值型公式； 本章教学支持的课程目标为目标 2、目标 3 与目标 4。 2.教学重点 1）Newton_Cotes 求积公式 Newton_Cotes 求积公式是等距节点的插值型求积公式，作为本章的基础。 2）复化求积公式及 Romberg 算法 复化求积公式及 Romberg 算法，能够较好地控制数值求积的稳定性与收敛性， 保证结果的精度，是较实用的方法。 3.教学难点 1）Newton_Cotes 求积公式与复化求积公式的余项公式 余项公式的推导以及公式本身具有较强的数学性，注意其推导方法。 2）外推原理与 Romberg 公式 外推原理在数值方法中使用普遍，使学生理解应用外推原理推导 Romberg 公 式的方法。 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、演示、作业与课外数 值计算实验等手段
1）讨论插值型求积公式的特征、低阶NewtonCotes求积公式的数值稳定性、如何估计低阶NewtonCotes求积公式的截断误差？2）作业主要练习机械求积公式的构造、求解代数精度，应用低阶NewtonCotes、复化梯形公式、变步长梯形算法与Romberg算法进行积分计算，对误差进行先验估计与后验估计。3）直观演示课堂中可用图表或数值积分计算程序，直观演示几种典型复化求积公式的收敛速度比较。4）课外实验可让学生在课外实现变步长梯形算法或Romberg算法，并观察给定问题的计算结果，对比分析理论误差与实际误差。第四章常微分方程数值解本章的主要知识点包括常微分方程数值解的概念，Euler法、隐式Euler法与二步Euler法，局部截断误差与公式的阶，梯形公式与改进的Euler法、龙格-库塔法，收敛性与稳定性分析，一阶方程组与边值问题的数值解法。1.教学目标1）理解常微分方程数值解、局部截断误差与公式精度的概念；2）掌握Euler法、隐式Euler法与二步Euler法的基本公式与构造方法，能利用它们求解常微分方程数值解；3）掌握梯形公式与改进的Euler法：4）理解龙格-库塔法的基本思想，掌握二阶龙格-库塔法的推导，能利用二阶龙格-库塔法与经典四阶龙格-库塔公式求常微分方程数值解；5）掌握单步法的收敛性与稳定性分析方法，能分析典型低阶公式的稳定性区间与局部截断误差：6）了解一阶常微分方程组与边值问题的数值解法。本章教学支持课程目标2一目标4。2.教学重点DEuler法、隐式Euler法与二步Euler法重点介绍这三个基本公式的构造方法、形式特征及其区别，掌握其使用方法。2）二阶龙格-库塔法与经典四阶龙格-库塔公式引入龙格-库塔法的基本思想，详细介绍二阶龙格-库塔公式构造过程
1）讨论 插值型求积公式的特征、低阶 Newton_Cotes 求积公式的数值稳定性、如何 估计低阶 Newton_Cotes 求积公式的截断误差？ 2）作业 主要练习机械求积公式的构造、求解代数精度，应用低阶 Newton_Cotes、复 化梯形公式、变步长梯形算法与 Romberg 算法进行积分计算，对误差进行先验 估计与后验估计。 3）直观演示 课堂中可用图表或数值积分计算程序，直观演示几种典型复化求积公式的收 敛速度比较。 4）课外实验 可让学生在课外实现变步长梯形算法或 Romberg 算法，并观察给定问题的计 算结果，对比分析理论误差与实际误差。 第四章 常微分方程数值解 本章的主要知识点包括常微分方程数值解的概念，Euler 法、隐式 Euler 法与 二步 Euler 法，局部截断误差与公式的阶， 梯形公式与改进的 Euler 法、龙格- 库塔法，收敛性与稳定性分析，一阶方程组与边值问题的数值解法。 1.教学目标 1）理解常微分方程数值解、局部截断误差与公式精度的概念； 2）掌握 Euler 法、隐式 Euler 法与二步 Euler 法的基本公式与构造方法，能 利用它们求解常微分方程数值解； 3）掌握梯形公式与改进的 Euler 法； 4）理解龙格-库塔法的基本思想，掌握二阶龙格-库塔法的推导，能利用二 阶龙格-库塔法与经典四阶龙格-库塔公式求常微分方程数值解； 5）掌握单步法的收敛性与稳定性分析方法，能分析典型低阶公式的稳定性 区间与局部截断误差； 6）了解一阶常微分方程组与边值问题的数值解法。 本章教学支持课程目标 2—目标 4。 2.教学重点 1）Euler 法、隐式 Euler 法与二步 Euler 法 重点介绍这三个基本公式的构造方法、形式特征及其区别，掌握其使用方法。 2）二阶龙格-库塔法与经典四阶龙格-库塔公式 引入龙格-库塔法的基本思想，详细介绍二阶龙格-库塔公式构造过程
3.教学难点1）局部截断误差与整体截断误差的区别、求解方法2）单步法的收敛性分析，以二阶公式为重点与突破点4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、演示、作业与课外数值计算实验等手段。1）讨论Euler法、隐式Euler法与二步Euler法的区别，局部截断误差与整体截断误差的区别，常微分方程数值解收敛性与稳定性的具体含义。2）作业使用典型方法求解微分方程初值问题数值解、证明一阶或二阶公式阶的结论，判断单步法的收敛性、分析基本公式的稳定性区间。3）直观演示课堂中可用图表或有关计算程序，直观演示典型数值求解公式的求解结果，观察其局部截断误差与整体截断误差变化趋势，分析其收敛性。4）课外实验课外可编程实现Euler法，通过具体算例并选取不同步长，观察其收敛性与稳定性状态。第五章非线性方程求根与线性方程组求解的送代法本章的主要知识点包括根的隔离与二分法、不动点迭代法及其收敛性、收敛速度与收敛加速公式、Newton迭代法与近似Newton选代法、向量与矩阵的范数、解线性方程组的简单送代法。1.教学目标1）理解隔根区间与根的隔离的基本方法，掌握逐步搜索法与二分法；2）掌握不动点选代法与收敛性定理，误差的先验估计与后验估计及相应的停机准则，能应用不动点迭代法求方程的根，并判断其收敛性或局部收敛性；3）掌握收敛阶的概念，能确定送代格式收敛的阶，掌握典型的加速公式；4）熟练掌握Newton迭代法求根、掌握Newton下山选代法与近似Newton选代法；5）了解向量与矩阵范数的概念，线性方程组的选代法及其收敛性、误差估计，了解简单迭代法。本章教学支持课程目标2一目标4。2.教学重点
3.教学难点 1）局部截断误差与整体截断误差的区别、求解方法 2）单步法的收敛性分析，以二阶公式为重点与突破点 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、演示、作业与课外数 值计算实验等手段。 1）讨论 Euler 法、隐式 Euler 法与二步 Euler 法的区别，局部截断误差与整体截断误 差的区别，常微分方程数值解收敛性与稳定性的具体含义。 2）作业 使用典型方法求解微分方程初值问题数值解、证明一阶或二阶公式阶的结论、 判断单步法的收敛性、分析基本公式的稳定性区间。 3）直观演示 课堂中可用图表或有关计算程序，直观演示典型数值求解公式的求解结果， 观察其局部截断误差与整体截断误差变化趋势，分析其收敛性。 4）课外实验 课外可编程实现 Euler 法，通过具体算例并选取不同步长，观察其收敛性与 稳定性状态。 第五章 非线性方程求根与线性方程组求解的迭代法 本章的主要知识点包括根的隔离与二分法、不动点迭代法及其收敛性、收敛 速度与收敛加速公式、Newton 迭代法与近似 Newton 迭代法、向量与矩阵的范数、 解线性方程组的简单迭代法。 1.教学目标 1）理解隔根区间与根的隔离的基本方法，掌握逐步搜索法与二分法； 2）掌握不动点迭代法与收敛性定理，误差的先验估计与后验估计及相应的 停机准则，能应用不动点迭代法求方程的根，并判断其收敛性或局部收敛性； 3）掌握收敛阶的概念，能确定迭代格式收敛的阶，掌握典型的加速公式； 4）熟练掌握 Newton 迭代法求根、掌握 Newton 下山迭代法与近似 Newton 迭代法； 5）了解向量与矩阵范数的概念，线性方程组的迭代法及其收敛性、误差估 计，了解简单迭代法。 本章教学支持课程目标 2—目标 4。 2.教学重点
1）不动点送代法及其收敛性2）Newton送代法及其应用3.教学难点1）局部收敛性及其判定2）送代法收敛阶及其确定3）矩阵范数与解线性方程组迭代法的收敛性判定4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，按如下方式综合应用课堂讲授与讨论、演示、作业与课外数值计算实验等手段。1）讨论二分法的优缺点、选代法大范围收敛性与局部收敛性的关系、Newton选代法适用条件。2）作业练习利用二分法、不动点迭代法与Newton送代法进行方程求根，判定局部收敛性，确定收敛的阶等。3）直观演示课堂中可用图表或有关计算程序，直观演示方程求根过程中选代格式与初值对收敛性的影响。4）课外实验课外可编程实现Newton选代法或Newton下山选代法，通过具体算例并选取不同初始根进行迭代求近似根，观察其收敛性。九、教与学1.教学方法主要的教学环节包括课堂讲授、可视化演示、研讨、课后作业及课外自主选择性实验等环节。本课程的教学设计特色主要体现在如下四个方面：1）融入生动的应用实例，增加课程的趣味性。数值分析在科学与工程实践中有广泛的应用，从等离子物理、量子化学、地球仿真、气候建模、心脏仿真，到飞机设计、汽车防碰撞，再到深度学习、数据挖掘，通过介绍这些丰富而生动的应用实例，激发学生的学习兴趣与学习热情。2）从问题入手，逐步展开对数值求解方法及数值求解性能的探究。课程从第二章开始，每章面对一类数学问题，教学中首先描述问题，然后基于一般数值计算原理探讨数值求解该问题的可能方法，面临的困难，把学生的思维引向问题
1）不动点迭代法及其收敛性 2）Newton 迭代法及其应用 3.教学难点 1）局部收敛性及其判定 2）迭代法收敛阶及其确定 3）矩阵范数与解线性方程组迭代法的收敛性判定 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，按如下方式综合应用课堂讲授与讨论、演示、作 业与课外数值计算实验等手段。 1）讨论 二分法的优缺点、迭代法大范围收敛性与局部收敛性的关系、Newton 迭代 法适用条件。 2）作业 练习利用二分法、不动点迭代法与 Newton 迭代法进行方程求根，判定局部 收敛性，确定收敛的阶等。 3）直观演示 课堂中可用图表或有关计算程序，直观演示方程求根过程中迭代格式与初值 对收敛性的影响。 4）课外实验 课外可编程实现 Newton 迭代法或 Newton 下山迭代法，通过具体算例并选 取不同初始根进行迭代求近似根，观察其收敛性。 九、教与学 1.教学方法 主要的教学环节包括课堂讲授、可视化演示、研讨、课后作业及课外自主选 择性实验等环节。本课程的教学设计特色主要体现在如下四个方面： 1）融入生动的应用实例，增加课程的趣味性。数值分析在科学与工程实践 中有广泛的应用，从等离子物理、量子化学、地球仿真、气候建模、心脏仿真， 到飞机设计、汽车防碰撞，再到深度学习、数据挖掘，通过介绍这些丰富而生动 的应用实例，激发学生的学习兴趣与学习热情。 2）从问题入手，逐步展开对数值求解方法及数值求解性能的探究。课程从 第二章开始，每章面对一类数学问题，教学中首先描述问题，然后基于一般数值 计算原理探讨数值求解该问题的可能方法，面临的困难，把学生的思维引向问题
解决的探索之中。以学生为主体，教师为主导，最终形成完整科学的数值求解方案，并进行收敛性与稳定性的理论思维。3）借助可视化手段，强化对数值算法收敛性、稳定性等抽象元素的认识。在课堂教学中，充分利用Excel计算图表、动态可视化模型及数值计算程序展现数值计算过程、近似解序列及其直观演化过程，使学生对诸如龙格现象、一致收敛性、稳定域、二阶收敛速度的抽象元素有直观的感性认识，进而深刻理解数值算法理论分析的含义。4）以数值计算实例化练习为基础，将手动计算与定性分析相结合。数值分析课程具有实践性与理论性，实践性要求数值计算方法的训练、数值实验与应用实践，理论性则强调数值求解离不开理论保证与定性分析，课堂教学与作业中需要把两者有机结合。2.学习方法“数值分析”是一门实用性、理论性与实践性很强的专业基础课程，学习过程中，首先要建立“数值计算既要充许误差、又要重视误差”基本理念，注重对典型数值算法思想的理解与运用，章与章之间既具有问题展开模式的相似并行性，又具有方法应用的贯通性；注意打好基础，多项式插值法是课程的基础，其应用到后续多个章节之中：掌握数值公式特征，公式的导出与理论证明无处不显示数学智慧与技巧，感受其形式美与数学美；注意计算与理论相结合，重视与理解误差分析方法，收敛性与稳定性含义及分析方法；课外积极自主实验，提高实践能力与应用能力，体现数值计算技术科学价值与实用价值，实现课程教学目标十、学时分配序号主要内容学时分配13第一章数值分析引论28第二章插值法与曲线拟合6第三章数值积分与数值微分74第四章常微分方程数值解法85第五章方程求根与解线性方程组的简单选代法32总计十一、课程考核与成绩评定1.课程成绩构成课程最终成绩由平时成绩、课程期末考试成绩综合而成，各部分成绩的比例如下：
解决的探索之中。以学生为主体，教师为主导，最终形成完整科学的数值求解方 案，并进行收敛性与稳定性的理论思维。 3）借助可视化手段，强化对数值算法收敛性、稳定性等抽象元素的认识。 在课堂教学中，充分利用 Excel 计算图表、动态可视化模型及数值计算程序展现 数值计算过程、近似解序列及其直观演化过程，使学生对诸如龙格现象、一致收 敛性、稳定域、二阶收敛速度的抽象元素有直观的感性认识，进而深刻理解数值 算法理论分析的含义。 4）以数值计算实例化练习为基础，将手动计算与定性分析相结合。数值分 析课程具有实践性与理论性，实践性要求数值计算方法的训练、数值实验与应用 实践，理论性则强调数值求解离不开理论保证与定性分析，课堂教学与作业中需 要把两者有机结合。 2.学习方法 “数值分析”是一门实用性、理论性与实践性很强的专业基础课程，学习过程 中，首先要建立“数值计算既要允许误差、又要重视误差”基本理念，注重对典 型数值算法思想的理解与运用，章与章之间既具有问题展开模式的相似并行性， 又具有方法应用的贯通性；注意打好基础，多项式插值法是课程的基础，其应用 到后续多个章节之中；掌握数值公式特征，公式的导出与理论证明无处不显示数 学智慧与技巧，感受其形式美与数学美；注意计算与理论相结合，重视与理解误 差分析方法，收敛性与稳定性含义及分析方法；课外积极自主实验，提高实践能 力与应用能力，体现数值计算技术科学价值与实用价值，实现课程教学目标。 十、学时分配 序号 主要内容 学时分配 1 第一章 数值分析引论 3 2 第二章 插值法与曲线拟合 8 3 第三章 数值积分与数值微分 6 4 第四章 常微分方程数值解法 7 5 第五章 方程求根与解线性方程组 的简单迭代法 8 总计 32 十一、课程考核与成绩评定 1.课程成绩构成 课程最终成绩由平时成绩、课程期末考试成绩综合而成，各部分成绩的比例 如下：
1）作业与平时成绩：30%。平时成绩以上课考勤与课堂讨论参与为依据，要求学生按时到课，认真听课，积极讨论。作业将以分析题、计算题与证明题为基本形式，使学生复习和巩固讲授的内容（基本原理、基本数值方法、误差分析与收敛性稳定性理论、数值求解应用等），主要考查作业完成率和完成质量。2）期末考试成绩：70%。主要考核学生对数值分析基础知识的掌握程度和基本能力的熟练程度，是对学生学习情况的全面检验。考试强调对数值分析基本概念、基本数值方法及其理论分析、数值求解技术的掌握，并通过应用实例分析型试题考核学生综合运用所学知识解决科学与工程应用中数值计算问题的实践能力。考试采用书面闭卷考试形式。题型包括分析求解、计算、证明与综合应用等类型。课程考核成绩评定如表1所示。表1数值分析课程考核与成绩评定考核与评价方式及成绩比例（约）课程目标作业及平时成绩期末考试31712282233412285232.考核与评价标准1）作业成绩考核与评价标准表2数值分析作业考核与成绩评定评价标准良好优秀中-及格不及格按时提交作业，概念按时提交作业，概念按时提交作业，概念未按时交作业，概念准确，存在少量错欠准确，计算结果错准确，计算结果正基本准确，计算结果误较多。确，分析充分，论述误，分析较充分，论存在一些错误，论述清晰，层次分明。述清晰，层次分明。基本清晰。2）课程考核与成绩评定根据期末考试的试卷评分标准进行评定。数值分析课程组2021年5月制定
1）作业与平时成绩：30%。平时成绩以上课考勤与课堂讨论参与为依据， 要求学生按时到课，认真听课，积极讨论。作业将以分析题、计算题与证明题为 基本形式，使学生复习和巩固讲授的内容（基本原理、基本数值方法、误差分析 与收敛性稳定性理论、数值求解应用等），主要考查作业完成率和完成质量。 2）期末考试成绩：70%。主要考核学生对数值分析基础知识的掌握程度和 基本能力的熟练程度，是对学生学习情况的全面检验。考试强调对数值分析基本 概念、基本数值方法及其理论分析、数值求解技术的掌握，并通过应用实例分析 型试题考核学生综合运用所学知识解决科学与工程应用中数值计算问题的实践 能力。考试采用书面闭卷考试形式。题型包括分析求解、计算、证明与综合应用 等类型。 课程考核成绩评定如表 1 所示。 表 1 数值分析课程考核与成绩评定 课程目标 考核与评价方式及成绩比例（约） 作业及平时成绩 期末考试 1 3 7 2 12 28 3 2 3 4 12 28 5 2 3 2.考核与评价标准 1）作业成绩考核与评价标准 表 2 数值分析作业考核与成绩评定 评价标准 优秀 良好 中-及格 不及格 按时提交作业，概念 准确，计算结果正 确，分析充分，论述 清晰，层次分明。 按时提交作业，概念 准确，存在少量错 误，分析较充分，论 述清晰，层次分明。 按时提交作业，概念 基本准确，计算结果 存在一些错误，论述 基本清晰。 未按时交作业，概念 欠准确，计算结果错 误较多。 2）课程考核与成绩评定 根据期末考试的试卷评分标准进行评定。 数值分析课程组 2021 年 5 月制定